効果量

ピアソンの相関係数（ rで表されることが多く、カール・ピアソンによって提唱された）は、ペアになった量的データが利用可能な場合の効果量として広く用いられています。例えば、出生体重と寿命の関係を研究する場合などがこれに該当します。相関係数は、データが二値データの場合にも使用できます。ピアソンのrの値は-1から1まで変化し、-1は完全な負の線形関係、1は完全な正の線形関係、0は2つの変数間に線形関係がないことを示します。

コーエンのf ^2は、 ANOVAまたは重回帰のF 検定で使用される効果量尺度の 1 つです。そのバイアス (ANOVA の効果量の過大評価) の量は、説明される分散の基礎となる測定値 (例: R ²、η ²、ω ² )のバイアスに依存します。

重回帰分析におけるf2効果量指標は、次のように定義され ます^。$${\displaystyle f^{2}={R^{2} \over 1-R^{2}}.}$$

同様に、f ^{2 は}次のように定義できます。 $${\displaystyle f^{2}={\eta ^{2} \over 1-\eta ^{2}}}$$または$${\displaystyle f^{2}={\omega ^{2} \over 1-\omega ^{2}}}$$ これらの効果量指標で記述されるモデルの場合。^{[ 20 ]}

の${\displaystyle f^{2}}$逐次多重回帰における効果量尺度であり、PLSモデリングでも一般的に用いられる^{[ 21 ]}は、次のように定義される。 $${\displaystyle f^{2}={R_{AB}^{2}-R_{A}^{2} \over 1-R_{AB}^{2}}}$$ ここで、R ² _Aは 1 つ以上の独立変数Aのセットによって説明される分散であり、R ² _ABはAと関心のある別の 1 つ以上の独立変数Bのセットによって説明される結合分散です。慣例として、f ²効果量は$0.1^2$、$0.25^2$、 そして$0.4^2$それぞれ小、中、大と呼ばれます。^{[ 10 ]}

コーエンの${\displaystyle {\hat {f}}}$また、以下の方法を用いて、逆算して因子分散分析（ANOVA）を行うこともできます。 $$\displaystyle {\hat {f}}_{\text{effect}}={\sqrt {(F_{\text{effect}}df_{\text{effect}}/N)}}.}$$

ANOVAのバランスのとれたデザイン（グループ間でサンプルサイズが等しい）では、対応する母集団パラメータは${\displaystyle f^{2}}$は $${\displaystyle {SS(\mu _{1},\mu _{2},\dots ,\mu _{K})} \over {K\times \sigma ^{2}},}$$ ここで、μ _{j は}全K個のグループのうちj^番目のグループにおける母平均を表し、σ は各グループにおける母標準偏差を表します。SSはANOVA における平方和です。

相関差で用いられるもう1つの指標は、コーエンのqです。これは、2つのフィッシャー変換されたピアソン回帰係数の差です。記号で表すと次のようになります。 $${\displaystyle q={\frac {1}{2}}\log {\frac {1+r_{1}}{1-r_{1}}}-{\frac {1}{2}}\log {\frac {1+r_{2}}{1-r_{2}}}}$$

ここで、r 1_とr 2_は比較対象の回帰係数です。q の期待値はゼロで、その分散は $${\displaystyle \operatorname {var} (q)={\frac {1}{N_{1}-3}}+{\frac {1}{N_{2}-3}}}$$ ここで、N ₁とN ₂はそれぞれ第1回および第2回回帰におけるデータポイントの数である。

平均値に基づく（母集団）効果量θは、通常、2つの母集団間の標準化平均差（SMD）を考慮する^{[ 22 ]： 78}$${\displaystyle \theta ={\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{\sigma }},}$$ ここで、μ ₁は一方の母集団の平均、μ ₂はもう一方の母集団の平均、σ はどちらか一方または両方の母集団に基づく標準偏差である。

実際の現場では、母集団の値は通常不明であり、標本統計量から推定する必要がある。平均値に基づく効果量のいくつかのバージョンは、使用する統計量によって異なる。

この効果量の形式は、 t検定統計量の計算に似ていますが、 t検定統計量には係数が含まれているという重要な違いがあります。${\displaystyle {\sqrt {n}}}$これは、特定の効果量に対して、有意水準はサンプルサイズとともに上昇することを意味します。t検定統計量とは異なり、効果量は母集団パラメータを推定することを目的としており、サンプルサイズの影響を受けません。

SMD値が0.2～0.5の場合は小さい、0.5～0.8の場合は中程度、0.8より大きい場合は大きいとみなされます。^{[ 23 ]}

コーエンのdは、2つの平均値の差をデータの標準偏差で割った値として定義されます。 $${\displaystyle d={\frac {{\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2}}{s}}.}$$

ジェイコブ・コーエンは、プールされた標準偏差sを（2つの独立したサンプルについて）次のように定義した。 ^{[ 10 ]： 67}$${\displaystyle s={\sqrt {\frac {(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}}}$$ ここで、一方のグループの分散は次のように定義される。 $${\displaystyle s_{1}^{2}={\frac {1}{n_{1}-1}}\sum _{i=1}^{n_{1}}(x_{1,i}-{\bar {x}}_{1})^{2},}$$ そして、もう一方のグループについても同様である。

他の著者らは、「コーエンのd」を参照する際に、分母に「-2」を含まない標準偏差の計算方法をわずかに変更している^{[ 24 ] [ 25 ]： 14}$${\displaystyle s={\sqrt {\frac {(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}}}}}$$ この「コーエンのd 」の定義は、ヘッジスとオルキン^{[ 22 ]}によって最尤推定量と呼ばれ、スケーリング係数によってヘッジスのg と関連付けられています（下記参照）。

2つのペアサンプルでは、​​差分スコアの分布を調べるというアプローチがあります。この場合、sは差分スコアの分布の標準偏差です（差分スコアの標準偏差は、ペアサンプル間の相関に依存することに注意してください）。これにより、2つのペアグループの平均値の差を検定するためのt統計量と、Cohenのd'（差分スコアで計算）の間には、次の関係が生まれます。 $${\displaystyle t={\frac {{\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}}{{\text{SE}}_{diff}}}={\frac {{\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}}{\frac {{\text{SD}}_{diff}}{\sqrt {N}}}}={\frac {{\sqrt {N}}({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})}{SD_{diff}}}}$$ そして $${\displaystyle d'={\frac {{\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}}{{\text{SD}}_{diff}}}={\frac {t}{\sqrt {N}}}}$$しかし、ペアサンプルについては、コーエンは、d' は d の検定力を得るための正しい推定値を提供しないため、d の表で値を調べる前に、次の式のように r で補正する必要があると述べています。^{[ 26 ]}$${\displaystyle {\frac {d'}{\sqrt {1-r}}}.}$$ここで、rはペアになった測定値間の相関係数です。サンプルサイズが同じ場合、rの値が大きいほど、ペアになった差の検定における検出力が高くなります。

d' は r に依存するため、効果量の尺度としては解釈が困難です。したがって、ペア分析の文脈では、d' または d (プールされた標準偏差、またはグループまたは時点の標準偏差で推定) を計算できるため、どちらが報告されているかを明示的に示す必要があります。効果量の尺度としては、d (プールされた標準偏差、またはグループまたは時点の標準偏差で推定) の方が、例えばメタ分析においてより適切です。^{[ 27 ]}

コーエンのdは、統計的検定のサンプルサイズを推定する際によく使用されます。コーエンのdが低いほど、より大きなサンプルサイズが必要であることを示し、その逆もまた然りです。これは、望ましい有意水準と統計的検出力という追加のパラメータとともに決定できます。^{[ 28 ]}

1976年、ジーン・V・グラスは、第2グループの標準偏差のみを使用する効果量の推定値を提案した^{[ 22 ]： 78}$${\displaystyle \Delta ={\frac {{\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2}}{s_{2}}}}$$

2番目のグループは対照群とみなすことができ、グラスは、複数の治療法を対照群と比較する場合、平均値が等しく分散が異なる場合でも効果の大きさが異ならないように、対照群から計算された標準偏差のみを使用する方が良いと主張した。

母集団の分散が等しいという正しい仮定の下では、σの統合推定値はより正確である。

1981年にラリー・ヘッジスによって提案されたヘッジスのg ^{[ 29 ]}は、 標準化された差に基づく他の尺度と同様である^{[ 22 ]： 79}$${\displaystyle g={\frac {{\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2}}{s^{*}}}}$$ ここでプールされた標準偏差${\displaystyle s^{*}}$計算方法は以下のとおりです。 $${\displaystyle s^{*}={\sqrt {\frac {(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}}.}$$

しかし、母集団効果量θの推定値としては偏りがある。とはいえ、この偏りは係数を乗じることで近似的に補正できる。 $${\displaystyle g^{*}=J(n_{1}+n_{2}-2)\,\,g\,\approx \,\left(1-{\frac {3}{4(n_{1}+n_{2})-9}}\right)\,\,g}$$ ヘッジスとオルキンはこのバイアスの少ない推定量について言及している。${\displaystyle g^{*}}$dと同様ですが、^{[ 22 ]}コーエンのdとは異なります。補正係数J ()の正確な形式はガンマ関数を含みます^{[ 22 ] : 104}$${\displaystyle J(a)={\frac {\Gamma (a/2)}{{\sqrt {a/2\,}}\,\Gamma ((a-1)/2)}}.}$$ ヘッジのgの多段階バリアントもあり、例えばクラスター無作為化比較試験（CRT）で使用されるものなどがあります。^{[ 30 ]} CRTでは、学校や教室などのクラスターを異なる条件に無作為に割り当て、教育研究で頻繁に使用されます。

多重比較（ ANOVAなど）に対する同様の効果量推定値は、Ψ二乗平均平方根標準化効果です。^{[ 20 ]}$${\displaystyle \Psi ={\sqrt {{\frac {1}{k-1}}\cdot \sum _{j=1}^{k}\left({\frac {\mu _{j}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}}$$ ここで、kは比較対象となるグループの数である。

これは基本的に、 dやgと同様に、二乗平均平方根で調整されたモデル全体の包括的な差分を示しています。

さらに、多因子設計に対する一般化も提供されている。^{[ 20 ]}

データがガウス分布に従う場合、スケーリングされたヘッジのg、${\textstyle {\sqrt {n_{1}n_{2}/(n_{1}+n_{2})}}\,g}$は、非心度パラメータを持つ非心t分布に従います。${\textstyle {\sqrt {n_{1}n_{2}/(n_{1}+n_{2})}}\theta }$そして、( n ₁ + n ₂ − 2)の自由度を持つ。同様に、スケーリングされたグラスの Δ は、 n ₂ − 1の自由度で分布する。

分布から、効果量の期待値と分散を計算することが可能です。

場合によっては、分散の大きなサンプル近似が使用される。ヘッジの不偏推定量の分散に関する提案の1つは^{[ 22 ]： 86である。}$${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}(g^{*})={\frac {n_{1}+n_{2}}{n_{1}n_{2}}}+{\frac {(g^{*})^{2}}{2(n_{1}+n_{2})}}.}$$

統計パラメータとして、SSMD（次のように表記される）${\displaystyle \beta }$は、2 つのグループからそれぞれ得られた 2 つのランダム値の差の平均と標準偏差の比として定義されます。ランダム値を持つ一方のグループの平均が であると仮定します。${\displaystyle \mu _{1}}$および分散${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$また別のグループの平均は${\displaystyle \mu _{2}}$および分散${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$2つのグループ間の共分散は${\displaystyle \sigma _{12}.}$ 次に、これら2つのグループの比較のためのSSMDは次のように定義されます^{[ 31 ]}

${\displaystyle \beta ={\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{12}}}}.}$

2つのグループが独立している場合、

${\displaystyle \beta ={\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}}.}$

2 つの独立したグループの分散が等しい場合${\displaystyle \sigma ^{2}}$、

${\displaystyle \beta ={\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{{\sqrt {2}}\sigma }}.}$

マハラノビス距離（D）は、変数間の関係を考慮に入れたコーエンのdの多変量一般化である。^{[ 32 ]}

スビンのE（${\displaystyle E_{HBG}}$）は、ペアになった反復評価データに対する制限付き効果量です。これは、参照スプレッドを使用して平均ゲインを標準化し、個々のゲインスコアの異質性を組み込み、制限付きアークタンジェント変換を適用します。これは、反復評価の機会にわたるグループ内のペア比較を目的としています。^{[ 33 ] [ 34 ]}

$${\displaystyle E_{HBG}={\frac {2}{\pi }}\arctan \left({\frac {J({\bar {X}}_{2}-{\bar {X}}_{1})}{k\,S_{ref}{\sqrt {1+\lambda \left({\frac {s_{D}}{S_{ref}}}\right)^{2}}}}}\right)}$$

どこ

$${\displaystyle S_{ref}={\sqrt {\frac {s_{1}^{2}+s_{2}^{2}}{2}}}.}$$

この方法の公表された校正では、推奨されるパラメータ値は以下のとおりでした。${\displaystyle \lambda =2.8759}$そして${\displaystyle k=0.5069}$[ ^{33 ]​}

ここ${\displaystyle {\bar {X}}_{1}}$そして${\displaystyle {\bar {X}}_{2}}$2つの評価時点における平均値を表す。${\displaystyle s_{1}}$そして${\displaystyle s_{2}}$対応する標準偏差を表す。${\displaystyle s_{D}}$は個々のゲインスコアの標準偏差であり、${\displaystyle J}$は小標本補正係数です。この方法について報告されている実際的な近似では、${\displaystyle J\approx 1-{\frac {3}{4n-5}}}$[ ^{33 ]​}

公開されている校正では、絶対値は${\displaystyle E_{HBG}}$以下の経験的バンドを使用して解釈されています。^{[ 33 ] [ 34 ]}

カイ二乗検定で使用される効果量のもう1つの尺度は、コーエンのオメガ（${\displaystyle \omega }$これは次のように定義されます。 $${\displaystyle \omega ={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}{\frac {(p_{1i}-p_{0i})^{2}}{p_{0i}}}}}}$$ ここで、p _{0 i}はH _{0の下にある}i^番目の細胞の割合、p _{1 i}はH ₁の下にあるi^番目の細胞の割合、mは細胞の数です。

オッズ比（OR）は、もう一つの有用な効果量です。これは、研究課題が2つの二値変数間の関連性の程度に焦点を当てている場合に適しています。たとえば、スペリング能力の研究を考えてみましょう。対照群では、不合格者1人に対して合格者が2人なので、合格のオッズは2対1（または2/1 = 2）です。治療群では、不合格者1人に対して合格者が6人なので、合格のオッズは6対1（または6/1 = 6）です。治療群の合格のオッズは対照群の3倍である（6÷2は3なので）ことに注目すれば、効果量を計算できます。したがって、オッズ比は3です。オッズ比の統計量はコーエンのdとは異なる尺度であるため、この「3」はコーエンのdの 3とは比較できません。

相対リスク（RR）、またはリスク比とは、ある独立変数に対する事象のリスク（確率）のことです。この効果量の尺度は、オッズ比とは異なり、オッズではなく確率を比較しますが、確率が小さい場合は漸近的にオッズ比に近づきます。上記の例を用いると、対照群と治療群の合格確率はそれぞれ 2/3（または 0.67）と 6/7（または 0.86）です。効果量は、上記と同様に計算できますが、確率を使用します。したがって、相対リスクは 1.28 です。合格確率がかなり高かったため、相対リスクとオッズ比の間には大きな差があります。もし事象として（合格ではなく）失敗（より低い確率）を使用していたら、2 つの効果量の尺度の差はそれほど大きくなかったでしょう。

どちらの指標も有用ですが、統計的な用途が異なります。医学研究では、オッズ比は症例対照研究でよく使用されます。これは、確率ではなくオッズが通常推定されるためです。^{[ 37 ]} 相対リスクはランダム化比較試験やコホート研究でよく使用されますが、相対リスクは介入の効果を過大評価する原因となります。^{[ 38 ]}

リスク差（RD）は、絶対リスク減少とも呼ばれ、2 つのグループ間のイベントのリスク（確率）の差です。RD は、実験的介入がイベントまたは結果の確率をどの程度変化させるかを示すため、実験研究において有用な指標です。上記の例では、対照群と治療群の合格確率はそれぞれ 2/3（または 0.67）と 6/7（または 0.86）であり、RD 効果量は 0.86  −  0.67 = 0.19（または 19%）です。RD は、介入の有効性を評価するための優れた指標です。^{[ 38 ]}

2つの独立した比率を比較する際の検出力分析で使用される指標の1つに、コーエンのhがあります。これは次のように定義されます。  $${\displaystyle h=2(\arcsin {\sqrt {p_{1}}}-\arcsin {\sqrt {p_{2}}})}$$ ここで、p ₁とp ₂は比較対象となる 2 つのサンプルの割合であり、arcsin はアークサイン変換です。

統計学以外の人々に効果量の意味をより簡単に説明するために、その名の通り、平易な英語で伝えることを目的とした共通言語効果量が考案されました。これは2つのグループ間の差を説明するために使用され、1992年にケネス・マクグローとSP・ウォンによって提案され、命名されました。^{[ 39 ]}彼らは、共通言語効果量の母集団値を説明する際に、次の例（男性と女性の身長について）を使用しました。「若い成人男性と女性の任意のランダムなペアリングでは、男性が女性より背が高い確率は0.92です。さらに簡単に言うと、若い成人の100回のブラインドデートのうち92回は、男性が女性より背が高いでしょう」^{[ 39 ]}。

クリフのデルタまたは${\displaystyle d}$もともとノーマン・クリフが順序データで使用するために開発した^{[ 40 ]}は、ある分布の値が別の分布の値よりも大きい頻度を測定するものです。重要なのは、2つの分布の形状や広がりについて何の仮定も必要としないことです。

サンプル推定値${\displaystyle d}$次のように与えられます。 $${\displaystyle d={\frac {\sum _{i,j}[x_{i}>x_{j}]-[x_{i}<x_{j}]}{mn}}}$$ ここで、2つの分布のサイズは${\displaystyle n}$そして${\displaystyle m}$アイテム付き${\displaystyle x_{i}}$そして${\displaystyle x_{j}}$それぞれ、${\displaystyle [\cdot ]}$これはアイバーソンブラケットであり、内容が真の場合は1、偽の場合は0になります。

${\displaystyle d}$はマン・ホイットニーU統計量と線形関係にあるが、符号の差の方向を捉えている。マン・ホイットニー${\displaystyle U}$、${\displaystyle d}$は： $${\displaystyle d={\frac {2U}{mn}}-1}$$

割合が50%からどれだけ異なるかを測定する最も単純な効果量の1つは、コーエンのgです。^{[ 10 ]： 147}これは、割合が50%からどれだけ異なるかを測定します。たとえば、自動車窃盗で逮捕された人の85.2%が男性である場合、コーエンのgで測定した逮捕に対する性別の効果量は次のようになります。${\displaystyle g=0.852-0.5=0.352}$。 一般的に：

${\displaystyle g=P-0.50{\text{ or }}0.50-P\quad ({\text{directional}}),}$

${\displaystyle g=|P-0.50|\quad ({\text{nondirectional}}).}$

コーエンのgの単位は、他の効果量に比べて直感的に理解しやすい（割合）ものです。二項検定と組み合わせて使用​​されることもあります。