多変量分散分析

統計学において、多変量分散分析（MANOVA ）は、複数のサンプル平均を比較するための手順です。多変量手順として、2つ以上の従属変数がある場合に使用され、^{[ 1 ]}個々の従属変数を個別に扱う有意性検定が後に続くことがよくあります。^{[ 2 ]}

画像とは関係なく、従属変数は、連続する時点において測定されたk個の生活満足度スコアと、連続する時点において測定されたp個の仕事満足度スコアであると考えられる。この場合、k+p個の従属変数が存在し、それらの線形結合は多変量正規分布に従い、多変量分散共分散行列は均一であり、線形関係であり、多重共線性はなく、それぞれに外れ値はない。

仮定する${\textstyle n}$${\textstyle q}$次元観測では、${\textstyle i}$'番目の観察$y_i$グループに割り当てられています${\textstyle g(i)\in \{1,\dots ,m\}}$グループの中心周辺に分散配置されています$\mu^{(g(i))}\in \mathbb{R}^{q}}$多変量ガウスノイズの場合：$${\displaystyle y_{i}=\mu ^{(g(i))}+\varepsilon _{i}\quad \varepsilon _{i}{\overset {\text{iid}}{\sim }}{\mathcal {N}}_{q}(0,\Sigma )\quad {\text{ for }}i=1,\dots ,n,}$$どこ${\textstyle \Sigma }$は共分散行列です。次に、帰無仮説を次のように 定式化します。$${\displaystyle H_{0}\!:\;\mu ^{(1)}=\mu ^{(2)}=\dots =\mu ^{(m)}.}$$

MANOVAは、一変量分散分析（ANOVA）の一般化された形式です^{[ 1 ]。}ただし、一変量ANOVAとは異なり、平均差の統計的有意性を検定する際に、結果変数間の共分散を使用します。

単変量分散分析では平方和が現れるが、多変量分散分析では特定の正定値行列が現れる。対角要素は単変量ANOVAに現れる平方和と同じ種類のものである。非対角要素は対応する積和である。誤差分布に関する正規性の仮定の下では、誤差による平方和の対応するものはウィシャート分布に従う。

まず、以下を定義します。${\textstyle n\times q}$行列:

• ${\textstyle Y}$:${\textstyle i}$- 番目の行は$y_i$

• ${\textstyle {\hat {Y}}}$:${\textstyle i}$グループメンバーシップを考慮すると、 番目の行が最良の予測です${\textstyle g(i)}$これはグループ全体の観測値の平均値です。${\textstyle g(i)}$:${\textstyle {\frac {1}{{\text{グループのサイズ}}g(i)}}\sum _{k:g(k)=g(i)}y_{k}}$。

• ${\textstyle {\bar {Y}}}$:${\textstyle i}$番目の行は、情報がない場合の最良の予測です。これは、すべての行の経験的平均です。${\textstyle n}$観察結果${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}y_{k}}$

次に行列${\textstyle S_{\text{モデル}}:=({\hat {Y}}-{\bar {Y}})^{T}({\hat {Y}}-{\bar {Y}})}$これは、グループによって説明される二乗和の一般化であり、${\textstyle S_{\text{res}}:=(Y-{\hat {Y}})^{T}(Y-{\hat {Y}})}$これは残差平方和の一般化です。^{[ 3 ] [ 4 ]} 上記の行列が 1/(n-1) でスケーリングされている場合、共分散について話すこともできます。なぜなら、後続の検定統計量は乗算によって変化しないからです。${\textstyle S_{\text{model}}}$そして${\textstyle S_{\text{res}}}$同じ非ゼロ定数によって。

最も一般的な統計量^{[ 3 ] [ 5 ]}は、根（または固有値）に基づく要約です。$\lambda_p$行列の${\textstyle A:=S_{\text{モデル}}S_{\text{res}}^{-1}}$

• サミュエル・スタンリー・ウィルクス${\displaystyle \Lambda _{\text{Wilks}}=\prod _{1,\ldots ,p}(1/(1+\lambda _{p}))=\det(I+A)^{-1}=\det(S_{\text{res}})/\det(S_{\text{res}}+S_{\text{model}})}$ラムダ（Λ）として分布
• KCスリダラン ピライ– MS バートレットの痕跡、${\displaystyle \Lambda _{\text{Pillai}}=\sum _{1,\ldots ,p}(\lambda _{p}/(1+\lambda _{p}))=\operatorname {tr} (A(I+A)^{-1})}$^{[ 6 ]}
• ローリー-ホテリングの痕跡、${\displaystyle \Lambda _{\text{LH}}=\sum _{1,\ldots ,p}(\lambda _{p})=\operatorname {tr} (A)}$
• ロイの最大の根（ロイの最大根とも呼ばれる）、${\displaystyle \Lambda _{\text{Roy}}=\max _{p}(\lambda _{p})}$

それぞれの長所についての議論は続いているが、^{[ 1 ]}最大根は一般的に実用的な関心事ではない有意性の境界にしか繋がらない。さらに複雑なのは、ロイの最大根を除いて、帰無仮説の下でのこれらの統計量の分布は単純ではなく、いくつかの低次元の場合を除いて近似することしかできないということである。帰無仮説の下でのロイの最大根の分布のアルゴリズムは^{[ 7 ]}で導出され、対立仮説の下での分布は^{[ 8 ]で研究されている。}

ウィルクスのラムダの最もよく知られた近似値は、 CR Raoによって導出された。

2つのグループの場合、すべての統計量は同等であり、検定はホテリングのT二乗に帰着します。

共変量を調整した後でもグループ効果があるかどうかをテストすることもできます。そのためには、上記の手順に従いますが、${\textstyle {\hat {Y}}}$グループと共変量を含む一般線形モデルの予測値を用いて、${\textstyle {\bar {Y}}}$一般線形モデルの予測値には共変量（および切片）のみが含まれる。${\textstyle S_{\text{model}}}$グループ情報を追加することで説明される追加の平方和は、${\textstyle S_{\text{res}}}$は、グループ化と共変量を含むモデルの残差平方和です。^{[ 4 ]}

データが不均衡な場合、共変量を追加する順序が重要になることに注意してください。

MANOVAの検出力は、従属変数の相関と、それらの変数に関連する効果量によって影響を受けます。たとえば、2つのグループと2つの従属変数がある場合、相関が小さい標準化効果量と大きい標準化効果量の比に等しいときに、MANOVAの検出力は最も低くなります。^{[ 9 ]}

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