シュタッケルベルク大会

スタックルベルク リーダーシップ モデルは、経済学における戦略ゲームで、リーダー企業が最初に動き、その後フォロワー企業が順に動きます (そのため、「リーダー フォロワー ゲーム」と呼ばれることもあります)。このモデルは、1934 年にこのモデルを説明した「Marktform und Gleichgewicht (市場構造と均衡)」を出版したドイツの経済学者ハインリッヒ フライヘル フォン スタックルベルクにちなんで名付けられました。ゲーム理論の用語では、このゲームのプレーヤーはリーダーとフォロワーであり、量を競います。スタックルベルク リーダーは、マーケット リーダーと呼ばれることもあります。

スタックベルグ均衡の維持には、さらにいくつかの制約があります。リーダーは、フォロワーが自分の行動を観察していることを事前に知っていなければなりません。フォロワーは、将来の非スタックベルグ リーダーの行動にコミットする手段を持ってはならず、リーダーはこれを知っていなければなりません。実際、「フォロワー」がスタックベルグ リーダーの行動にコミットでき、「リーダー」がこれを知っていれば、リーダーの最善の対応はスタックベルグ フォロワーの行動を実行することです。

企業がスタッケルベルグ競争に参加するのは、何らかの優位性があり、最初に行動できる場合です。より一般的には、リーダーはコミットメントパワーを持っていなければなりません。目に見える形で最初に行動することは、最も明白なコミットメントの手段です。リーダーはいったん行動を起こすと、それを元に戻すことはできません。その行動にコミットしているからです。リーダーが業界の既存の独占企業で、フォロワーが新規参入者であれば、最初に行動できる可能性があります。余剰生産能力を保持することも、コミットメントの手段の 1 つです。

スタックベルグモデルを解くと、サブゲーム完全ナッシュ均衡または均衡 (SPNE)、つまり、他のプレイヤーの戦略を与えられた場合に各プレイヤーに最も適した戦略プロファイル、およびすべてのサブゲームですべてのプレイヤーがナッシュ均衡でプレイすることを必要とする戦略プロファイルを見つけることができます。

ごく一般的に言えば、（複占）業界の価格関数を とします。価格は単に（業界の）総生産量の関数なので であり、下付き文字はリーダー企業を表し、 はフォロワー企業を表します。企業のコスト構造が であるとします。モデルは、後方帰納法によって解かれます。リーダー企業は、フォロワー企業の最善の反応は何か、つまり、リーダー企業の量を観察した後でフォロワー企業がどのように反応するかを検討します。次に、リーダー企業は、フォロワー企業の予測される反応を予想して、自身の見返りが最大となる量を選択します。フォロワー企業は実際にこれを観察し、均衡状態で期待される量を反応として選択します。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle P(q_{1}+q_{2})}$${\displaystyle _{1}}$${\displaystyle _{2}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle C_{i}(q_{i})}$

SPNE を計算するには、フォロワーの 最適な応答関数を最初に計算する必要があります (後方誘導のため、計算は「後方」に移動します)。

企業（フォロワー） の利益は、収益から費用を引いたものです。収益は価格と数量の積で、費用は企業の費用構造によって決まるため、利益は です。最善の対応は、を最大化するの値を見つけることです。つまり、リーダー企業（）の出力が与えられれば、フォロワーの利益を最大化する出力が見つかります。したがって、に関する の最大値を見つけます。まずを について微分します。 ${\displaystyle 2}$${\displaystyle \Pi _{2}=P(q_{1}+q_{2})\cdot q_{2}-C_{2}(q_{2})}$${\displaystyle q_{2}}$${\displaystyle \Pi _{2}}$${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \Pi _{2}}$${\displaystyle q_{2}}$${\displaystyle \Pi _{2}}$${\displaystyle q_{2}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi _{2}}{\partial q_{2}}}={\frac {\partial P(q_{1}+q_{2})}{\partial q_{2}}}\cdot q_{2}+P(q_{1}+q_{2})-{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}.}$

最大化のためにこれをゼロに設定します。

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi _{2}}{\partial q_{2}}}={\frac {\partial P(q_{1}+q_{2})}{\partial q_{2}}}\cdot q_{2}+P(q_{1}+q_{2})-{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}=0.}$

この式を満たすの値が最適な応答です。次に、リーダーの最適な応答関数を検討します。この関数は、先ほど計算したように、フォロワーの出力をリーダーの出力の関数として考慮することによって計算されます。 ${\displaystyle q_{2}}$

企業（リーダー）の利益は であり、 はリーダーの量の関数としてのフォロワーの量、つまり上で計算した関数です。を最大化するの値を見つけることが最善の対応策です。つまり、フォロワー（企業 ）の最適な対応関数が与えられれば、リーダーの利益を最大化する出力が見つかります。したがって、に関するの最大値を見つけます。まず、について微分します。 ${\displaystyle 1}$${\displaystyle \Pi _{1}=P(q_{1}+q_{2}(q_{1}))\cdot q_{1}-C_{1}(q_{1})}$${\displaystyle q_{2}(q_{1})}$${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle \Pi _{1}}$${\displaystyle q_{2}(q_{1})}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \Pi _{1}}$${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle \Pi _{1}}$${\displaystyle q_{1}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi _{1}}{\partial q_{1}}}={\frac {\partial P(q_{1}+q_{2})}{\partial q_{2}}}\cdot {\frac {\partial q_{2}(q_{1})}{\partial q_{1}}}\cdot q_{1}+{\frac {\partial P(q_{1}+q_{2})}{\partial q_{1}}}\cdot q_{1}+P(q_{1}+q_{2}(q_{1}))-{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}.}$

最大化のためにこれをゼロに設定します。

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi _{1}}{\partial q_{1}}}={\frac {\partial P(q_{1}+q_{2})}{\partial q_{2}}}\cdot {\frac {\partial q_{2}(q_{1})}{\partial q_{1}}}\cdot q_{1}+{\frac {\partial P(q_{1}+q_{2})}{\partial q_{1}}}\cdot q_{1}+P(q_{1}+q_{2}(q_{1}))-{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}=0.}$

次の例は非常に一般的なものです。これは一般化された線形需要構造を前提としています。

${\displaystyle p(q_{1}+q_{2})={\bigg (}a-b(q_{1}+q_{2}){\bigg )}}$

そして、問題を解決できるように、単純化のためにコスト構造にいくつかの制限を課します。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}C_{i}(q_{i})}{\partial q_{i}\cdot \partial q_{j}}}=0,\forall j}$そして${\displaystyle {\frac {\partial C_{i}(q_{i})}{\partial q_{j}}}=0,j\neq \ i}$

計算を簡単にするため。

フォロワーの利益は:

${\displaystyle \pi _{2}={\bigg (}a-b(q_{1}+q_{2}){\bigg )}\cdot q_{2}-C_{2}(q_{2}).}$

最大化問題は次のように解決されます（一般的なケースから）。

${\displaystyle {\frac {\partial {\bigg (}a-b(q_{1}+q_{2}){\bigg )}}{\partial q_{2}}}\cdot q_{2}+a-b(q_{1}+q_{2})-{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}=0,}$

${\displaystyle \Rightarrow \ -bq_{2}+a-b(q_{1}+q_{2})-{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}=0,}$

${\displaystyle \Rightarrow \ q_{2}={\frac {a-bq_{1}-{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}}{2b}}.}$

リーダーの問題について考えてみましょう。

${\displaystyle \Pi _{1}={\bigg (}a-b(q_{1}+q_{2}(q_{1})){\bigg )}\cdot q_{1}-C_{1}(q_{1}).}$

フォロワーの問題から を代入します:${\displaystyle q_{2}(q_{1})}$

${\displaystyle \Pi _{1}={\bigg (}a-b{\bigg (}q_{1}+{\frac {a-bq_{1}-{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}}{2b}}{\bigg )}{\bigg )}\cdot q_{1}-C_{1}(q_{1}),}$

${\displaystyle \Rightarrow \Pi _{1}={\bigg (}{\frac {a-b.q_{1}+{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}}{2}}){\bigg )}\cdot q_{1}-C_{1}(q_{1}).}$

最大化問題は次のように解決されます（一般的なケースから）。

${\displaystyle {\frac {\partial \pi _{1}}{\partial q_{1}}}={\bigg (}{\frac {a-2bq_{1}+{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}}{2}}{\bigg )}-{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}=0.}$

ここで、リーダーの最適なアクション であるyieldsを解きます。${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle q_{1}^{*}}$

${\displaystyle q_{1}^{*}={\frac {a+{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}-2\cdot {\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}}{2b}}.}$

これは、平衡状態にあるフォロワーの反応に対するリーダーの最適な応答です。フォロワーの実際の応答は、これを先ほど計算した反応関数に入力することで見つけることができます。

${\displaystyle q_{2}^{*}={\frac {a-b\cdot {\frac {a+{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}-2\cdot {\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}}{2b}}-{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}}{2b}},}$

${\displaystyle \Rightarrow q_{2}^{*}={\frac {a-3\cdot {\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}+2\cdot {\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}}{4b}}.}$

ナッシュ均衡はすべて です。リーダーが大きな優位性を持っていることは明らかです (限界費用がゼロであると仮定した場合、つまり費用が本質的に無視される場合)。直感的には、リーダーがフォロワーよりも有利でない場合、リーダーは単にクールノー競争戦略を採用するでしょう。 ${\displaystyle (q_{1}^{*},q_{2}^{*})}$

フォロワーの数量 をリーダーの最善の応答関数に代入しても は得られません。これは、リーダーが出力をコミットし、フォロワーを観察すると、常に事後的に出力を減らそうとするためです。しかし、それができないため、クールノーの場合よりも高い利益を受け取ることができます。 ${\displaystyle q_{2}}$${\displaystyle q_{1}}$

スタックベルグ リーダー フォロワー モデルの分析には、拡張形式表現がよく使用されます。「決定木」とも呼ばれるこのモデルは、スタックベルグ ゲームで両社が得るアウトプットとペイオフの組み合わせを示します。

左の図は、スタックベルグ ゲームを広範囲に表したものです。右側には、ペイオフが表示されています。この例は非常に単純です。限界費用のみを含む基本的なコスト構造があります (固定費用はありません)。需要関数は線形で、需要の価格弾力性は 1 です。ただし、リーダーの優位性を示しています。

フォロワーは、その利益を最大化することを選択したい。1次導関数を取ってそれをゼロに等しくすると（最大化のため）、 の最大値が得られる。 ${\displaystyle q_{2}}$${\displaystyle q_{2}\times (5000-q_{1}-q_{2}-c_{2})}$${\displaystyle q_{2}={\frac {5000-q_{1}-c_{2}}{2}}}$${\displaystyle q_{2}}$

リーダーは、その利得 を最大化するように選択したいと考えています。しかし、均衡状態では、リーダーはフォロワーが上記のように選択することを知っています。したがって、実際には、リーダーは（フォロワーの最善の応答関数を に置き換えることによって）その利得 を最大化したいと考えています。微分化により、最大利得は で与えられます。これをフォロワーの最善の応答関数に代入すると、 が生成されます。企業の限界費用が等しく（したがって、リーダーには先手以外に市場優位性がない）、特に であるとします。リーダーは 2000 を生産し、フォロワーは 1000 を生産します。これにより、リーダーの利益（利得）は 200 万、フォロワーの利益は 100 万になります。単に先に動くだけで、リーダーはフォロワーの 2 倍の利益を獲得しています。ただし、ここでのクールノー利益は1 人あたり 178 万（厳密には1 人あたり）であるため、リーダーはあまり利益を得ておらず、フォロワーは損失を被っています。ただし、これは例に固有のものです。スタックルベルグリーダーがクールノー利得を超えて独占利得に近い大きな利益を得る場合があるかもしれない（例えば、リーダーが生産関数の優位性などにより、コスト構造上の大きな優位性も有している場合）。また、フォロワーがリーダーよりも実際に高い利益を享受している場合もあるが、それは単にコストがはるかに低いためである。この行動は、企業が非対称であっても、複占市場では一貫して機能する。 ${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle q_{1}\times (5000-q_{1}-q_{2}-c_{1})}$${\displaystyle q_{2}}$${\displaystyle q_{1}\times (5000-q_{1}-{\frac {5000-q_{1}-c_{2}}{2}}-c_{1})}$${\displaystyle q_{2}}$${\displaystyle q_{1}={\frac {5000-2c_{1}+c_{2}}{2}}}$${\displaystyle q_{2}={\frac {5000+2c_{1}-3c_{2}}{4}}}$${\displaystyle c_{1}=c_{2}=1000}$${\displaystyle (16/9)10^{6}}$

リーダーが均衡量を選択した後に、フォロワーが均衡から外れて最適でない量を選択した場合、フォロワーは自分自身に損害を与えるだけでなく、リーダーにも損害を与える可能性があります。フォロワーが最善の対応よりもはるかに大きな量を選択した場合、市場価格は低下し、リーダーの利益はおそらくクールノー レベルの利益を下回るほど打撃を受けるでしょう。この場合、フォロワーはゲーム開始前に、リーダーがクールノー均衡量を選択しない限り、リーダーの利益に打撃を与える逸脱した量を選択することをリーダーに通知できます。結局のところ、均衡状態でリーダーが選択した量は、フォロワーも均衡状態でプレイする場合のみ最適です。ただし、リーダーは危険にさらされていません。リーダーが均衡量を選択した後は、フォロワーが逸脱することは不合理です。フォロワーも損害を受けるからです。リーダーが選択すると、均衡パスでプレイする方がフォロワーにとって有利になります。したがって、信者によるそのような脅迫は信用できないでしょう。

しかし、（無期限に）繰り返されるスタックベルグゲームでは、フォロワーは、現在の期間に最適でない戦略を選択しない限り、次の期間にリーダーを罰すると脅す罰則戦略を採用する可能性があります。フォロワーが次の期間に罰則を適用して、リーダーがその後クールノー量を選択することが合理的である可能性があるため、この脅しは信憑性がある可能性があります。

スタックルベルグモデルとクールノーモデルは、どちらも量の競争であるため類似しています。しかし、ご覧のとおり、スタックルベルグでは先手が決定的な優位性を得ます。スタックルベルグゲームには、完全情報という重要な仮定もあります。つまり、フォロワーはリーダーが選択した量を観察する必要があり、そうでない場合はゲームはクールノーになります。情報が不完全であれば、上記の脅威は信じられる可能性があります。フォロワーがリーダーの動きを観察できない場合、フォロワーがたとえばクールノーレベルの量を選択することはもはや不合理ではありません (実際、それが均衡アクションです)。しかし、情報が不完全であり、フォロワーがリーダーの動きを観察できないことは間違いありません。なぜなら、リーダーが動いた後にフォロワーが観察できるのに観察しないのは不合理だからです。観察できる場合は、最適な決定を下せるように観察します。観察できるのに観察しないと主張するフォロワーによる脅威は、上記の脅威と同じくらい信じられません。これは、情報が多すぎるとプレイヤーが不利になる例です。クールノー競争では、ゲームの同時性 (知識の不完全性) により、どちらのプレイヤーも (他の条件が同じであれば) 不利になることはありません。

前述のように、リーダーシップ ゲームにおける不完全情報はクールノー競争に帰着します。ただし、一部のクールノー戦略プロファイルはナッシュ均衡として維持されますが、サブゲーム完全性のソリューション コンセプトを適用することで、信じられないほどの脅威として排除できます (前述のとおり) 。実際、スタックベルグ ゲームでクールノー戦略プロファイルをナッシュ均衡にする要素こそが、サブゲーム完全性を妨げるものです。

スタックベルク ゲーム (つまり、スタックベルク均衡を維持するための上記の要件を満たすゲーム) を考えてみましょう。このゲームでは、何らかの理由で、リーダーは自分が取るアクションが何であれ、フォロワーはクールノー量を選択するだろうと確信しています (おそらく、リーダーはフォロワーが非合理的であると確信しています)。リーダーがスタックベルク アクションを実行した場合、フォロワーはクールノーを実行すると (確信しています)。したがって、リーダーがスタックベルクを実行することは最適ではありません。実際、リーダーの最善の応答 (クールノー均衡の定義による) は、クールノー量をプレイすることです。リーダーがこれを実行すると、フォロワーの最善の応答はクールノーをプレイすることです。

以下の戦略プロファイルを考えてみましょう。リーダーはクールノーをプレイします。リーダーがクールノーをプレイする場合はフォロワーはクールノーをプレイし、リーダーがスタックベルグをプレイする場合はフォロワーはスタックベルグをプレイし、リーダーが他の戦略をプレイする場合はフォロワーは任意の戦略をプレイします (したがって、これは実際には複数のプロファイルを説明しています)。このプロファイルはナッシュ均衡です。上で議論したように、均衡パスではプレイは最善の応答に対する最善の応答です。しかし、フォロワーがスタックベルグをプレイする場合、リーダーがスタックベルグをプレイするとしたら、クールノーをプレイすることはリーダーの最善の応答ではなかったでしょう。この場合、リーダーの最善の応答はスタックベルグをプレイすることです。したがって、このプロファイル (またはこれらのプロファイル) をナッシュ均衡 (またはナッシュ均衡) にしているのは、リーダーがスタックベルグをプレイする場合、フォロワーは非スタックベルグをプレイするという事実です。

しかし、まさにこの事実 (リーダーが Stackelberg をプレイする場合、フォロワーは非 Stackelberg をプレイする) は、リーダーが Stackelberg (均衡パスから外れたサブゲーム) をすでにプレイしているときから、このプロファイルがサブゲームのナッシュ均衡ではないことを意味します。リーダーが Stackelberg をすでにプレイしている場合、フォロワーの最善の対応は Stackelberg をプレイすることです (したがって、それがこのサブゲームでナッシュ均衡を生み出す唯一のアクションです)。したがって、戦略プロファイル (クールノー) はサブゲーム完全ではありません。

他の寡占モデルと比較すると、

• スタックルベルクの総出力はクールノーの総出力よりも大きいが、ベルトランの総出力よりも小さい。
• Stackelberg 価格は Cournot 価格よりも低いですが、Bertrand 価格よりも高くなります。
• シュタッケルベルク消費者余剰はクールノー消費者余剰より大きいが、ベルトラン消費者余剰よりは小さい。
• スタックルベルク総生産量は、純粋独占やカルテルよりも大きいが、完全競争生産量よりも小さい。
• シュタッケルベルグ価格は、純粋独占価格やカルテル価格よりも低いですが、完全競争価格よりも高くなります。

スタックベルクの概念は動的スタックベルクゲームに拡張されました。^{[1] [2]}時間という次元が追加されたことにより、リーダーによる最適性原則の違反など、静的ゲームでは見られなかった現象が発見されました。^[2]

近年、スタックベルグゲームはセキュリティ分野で応用されている。^[3]この文脈では、防御側（リーダー）は、攻撃側（フォロワー）が採用した戦略に関係なく、リソースが安全であるようにリソースを保護する戦略を設計します。スタックベルグ微分ゲームは、サプライチェーンやマーケティングチャネルのモデル化にも使用されます。^[4]スタックベルグゲームのその他の応用には、異種ネットワーク、^[5] 遺伝的プライバシー、^{[6] [7]} ロボット工学、^{[8] [9]} 自動運転、^{[10] [11]} 電力網、^{[12] [13]}統合エネルギーシステムなどがあります。^[14]

• 経済理論
• クールノー競争
• ベルトラン競争
• 拡張フォームゲーム
• 産業組織
• 均衡制約を伴う数理計画法

• H. フォン スタックベルク、市場構造と均衡: 初版英訳、バザン、アーチ & ヒル、シュプリンガー 2011、XIV、134 ページ、ISBN 978-3-642-12585-0 
• Fudenberg, D. およびTirole, J. (1993)ゲーム理論、MIT 出版 (第 3 章、セクション 1 を参照)
• ギボンズ、R. (1992)ゲーム理論入門、ハーベスター・ウィートシーフ。(第 2 章、セクション 1B を参照)
• オズボーン、MJ およびルーベンシュタイン、A . (1994)ゲーム理論講座、MIT 出版 (p 97-98 を参照)
• 寡占理論を簡単に説明する、ヒュー・ディクソン著『サーフィン経済学』第 6 章。