生態学的安定性

大規模生態系の安定性を分析するために、メイは統計力学のアイデア、特にユージン・ウィグナーの研究を参考にしました。ウィグナーは、ウランのハミルトニアンをランダム行列で近似できると仮定することでウランの特性を予測することに成功し、その結果、システムの正確な相互作用に依存しない特性が得られました。^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}メイは、次のような生態系を検討しました。${\displaystyle S}$個体数の多い種${\displaystyle N_{1},\ldots ,N_{S}}$そのダイナミクスは、常微分方程式のカップルシステムによって支配される。$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} N_{i}}{\mathrm {d} t}}=g_{i}(N_{1},\ldots ,N_{S}),\qquad i=1,\ldots ,S.}$$システムが固定点を持つと仮定すると、${\displaystyle N_{1}^{\star },\ldots ,N_{S}^{\star }}$5月の線形化されたダイナミクスは、$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} N_{i}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{j=1}^{S}J_{ij}(N_{j}-N_{j}^{\star }),\qquad i=1,\ldots ,S.}$$ヤコビ行列のすべての固有値が線形安定である場合、固定点は線形安定になります。${\displaystyle J_{ij}}$は正です。行列${\displaystyle J}$コミュニティ行列とも呼ばれる。メイはヤコビ行列が非対角要素がランダムな行列であると仮定した。${\displaystyle J_{ij}\;(i\neq j)}$これらはすべて確率分布からのランダム変数として抽出され、その対角要素は${\displaystyle J_{ii}}$すべてが -1 であるため、各種は自身の成長を抑制し、種間相互作用がない場合には安定性が保証されます。ギルコの循環法則によれば、${\displaystyle S\gg 1}$の固有値${\displaystyle J}$は、半径が の円内に複素平面上に均一に分布している。$\displaystyle {\sqrt {S}}\sigma }$そしてその中心は${\displaystyle -1}$、 どこ${\displaystyle \sigma }$は、ヤコビ行列の非対角要素の分布の標準偏差です。この結果を使用して、スペクトルのサポートに含まれる実部が最大の固有値は、${\displaystyle J}$は${\displaystyle -1+{\sqrt {S}}\sigma }$したがって、システムは次のような場合に安定性を失います。$$\displaystyle {\sqrt {S}}>{\frac {1}{\sigma }}.}$$この結果はメイ安定性基準として知られている。これは、動的安定性が多様性によって制限されることを意味し、このトレードオフの厳しさは相互作用の変動の大きさに関係している。

最近の研究では、May のアプローチを拡張して、無秩序な相互作用を持つ大規模で複雑なコミュニティを持つ、一般化ロトカ・ボルテラ モデルや消費者-資源モデルなどの生態学的モデルの相図を構築しています。^{[ 11 ] [ 12 ] [ 9 ]}この研究は、ランダム行列理論、キャビティ法、レプリカ形式、およびスピングラス物理学に触発されたその他の方法の使用と拡張に依存しています。

動的安定性とは、時間経過に伴う安定性を指す。

抵抗と慣性は、何らかの外乱に対するシステムの固有の反応に関わる概念である。

摂動とは、通常短期間に発生する、外部から課せられた条件の変化のことです。抵抗とは、外部からの圧力に対する関心のある変数の変化の小ささの尺度です。慣性（または持続性）とは、生物システムが外部の変動に抵抗できることを意味します。氷河期後の北米の生態系の変化という文脈で、 EC Pielouは概説の冒頭で次のように述べています。

「氷河によって削られた岩や氷河堆積物の上に成熟した植生が定着するには、明らかにかなりの時間がかかります。また、相互依存する多数の植物種、それらが作り出す生息地、そしてその生息地に生息する動物など、生態系全体が変化するにもかなりの時間がかかります。したがって、気候変動によって引き起こされる生態系群集の変動は、それらを引き起こす気候変動の減衰され、平滑化されたバージョンです。」^{[ 15 ]}

レジリエンスとは、システムがその機能的および組織的構造を維持し、擾乱や障害の後に回復する能力を持つ傾向のことである。 ^{[ 16 ]}レジリエンスは持続の必要性も表しているが、管理アプローチでは、幅広い選択肢を持ち、事象は均一に分布していると見なされるという形で表現される。 ^{[ 17 ]}弾力性と振幅はレジリエンスの尺度である。弾力性とは、システムが元の/以前の状態に戻る速度である。振幅は、システムが以前の状態からどれだけ離れても戻ることができるかを測定する。生態学は、近隣安定性と吸引領域の概念を動的システム理論から借用している。