コミュニティマトリックス

数理生物学 において、コミュニティ行列は、平衡点における一般化ロトカ・ヴォルテラ方程式の線形化である。^[1]コミュニティ行列の固有値は、平衡点の 安定性を決定する。

例えば、ロトカ・ヴォルテラ捕食者・被食者モデルは

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\dfrac {dx}{dt}}&=&x(\alpha -\beta y)\\{\dfrac {dy}{dt}}&=&-y(\gamma -\delta x),\end{array}}}$

ここで、x ( t ) は獲物の数、y ( t ) は捕食者の数、α、β、γ、δは定数である。ハートマン・グロブマン定理によれば、非線形システムは平衡点 ( x *, y *)を中心としたシステムの線形化と位相的に等価であり、次の式で表される。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {du}{dt}}\\{\frac {dv}{dt}}\end{bmatrix}}=\mathbf {A} {\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}},}$

ここで、u = x − x *、v = y − y *です。数理生物学では、平衡点( x *、y *)で評価されたヤコビ行列は コミュニティ行列と呼ばれます。^[2]安定多様体定理により、の1つまたは両方の固有値が正の実部を持つ場合、平衡は不安定ですが、すべての固有値が負の実部を持つ場合は安定します。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$

• 富裕化のパラドックス

• マレー、ジェームズ・D. (2002)、数理生物学I.入門、学際応用数学、第17巻（第3版）、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95223-9。