スペクトル横軸

数学において、行列または有界線型演算子のスペクトル横軸は、行列のスペクトル（その固有値の集合）の最大の実部である。 ^[1] これは と表記されることもある。変換として、スペクトル横軸は正方行列をその最大の実固有値に写像する。^[2]${\displaystyle \alpha (A)}$${\displaystyle \alpha :\mathrm {M} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$

λ ₁ , ..., λ _sを行列A ∈ C ^{n × n}の（実数または複素数の）固有値とします。そのスペクトル横座標は次のように定義されます。

${\displaystyle \alpha (A)=\max _{i}\{\operatorname {Re} (\lambda _{i})\}\,}$

安定性理論では、行列で表される連続システムは、その固有値の実部がすべて負の場合、つまり の場合に安定していると言われます。^[3]同様に、制御理論では、微分方程式の解は同じ条件下で安定します。^[2]${\displaystyle A}$${\displaystyle \alpha (A)<0}$${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$${\displaystyle \alpha (A)<0}$

• スペクトル半径