コンパクト埋め込み

させて${\displaystyle X}$を位相空間とし、${\displaystyle V}$そして${\displaystyle W}$のサブセットである${\displaystyle X}$私たちはこう言います${\displaystyle V}$コンパクトに埋め込まれている${\displaystyle W}$もし

• ${\displaystyle V\subseteq \operatorname {Cl} (V)\subseteq \operatorname {Int} (W)}$、 どこ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)}$閉包を表す${\displaystyle V}$、 そして${\displaystyle \operatorname {Int} (W)}$内部を示す${\displaystyle W}$; そして
• ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)}$コンパクトです。

ハウスドルフ空間の場合、これはコンパクト集合が存在することと同等である。${\displaystyle K}$そのため${\displaystyle V\subseteq K\subseteq \operatorname {Int} (W)}$。

させて${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$ノルムを持つ2つのノルム付きベクトル空間とする${\displaystyle \|\cdot \|_{X}}$そして${\displaystyle \|\cdot \|_{Y}}$それぞれ、そして、${\displaystyle X\subseteq Y}$私たちはこう言います${\displaystyle X}$コンパクトに埋め込まれている${\displaystyle Y}$、 もし

• ${\displaystyle X}$継続的に埋め込まれている${\displaystyle Y}$つまり、定数が存在する${\displaystyle C}$そのため${\displaystyle \|x\|_{Y}\leq C\|x\|_{X}}$すべての人々のために${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$; そして
• 埋め込み${\displaystyle X}$の中へ${\displaystyle Y}$はコンパクト演算子です。の任意の有界集合${\displaystyle X}$完全に制限されている${\displaystyle Y}$すなわち、そのような有界集合内のすべての数列は、ノルムに関してコーシーである部分列を持つ。${\displaystyle \|\cdot \|_{Y}}$。

もし${\displaystyle Y}$はバナッハ空間であり、同等の定義は埋め込み演算子（恒等演算子）である。${\displaystyle i\colon X\to Y}$はコンパクトな演算子です。