シェルピンスキー三角形

シェルピンスキーの三角形は、シェルピンスキーのガスケットやシェルピンスキーのふるいとも呼ばれ、全体として正三角形の形をしたフラクタルであり、再帰的に小さな正三角形に細分化されています。もともと曲線として構築されたこの三角形は、自己相似集合の基本的な例の 1 つです。つまり、数学的に生成されたパターンであり、どのような拡大または縮小でも再現可能です。ポーランドの数学者ヴァツワフ・シェルピンスキーにちなんで名付けられましたが、シェルピンスキーの作品より何世紀も前に装飾的なパターンとして登場しました。

シェルピンスキーの三角形を構築する方法は数多くあります。

シェルピンスキーの三角形は、正三角形から三角形の部分集合を繰り返し削除することで 作成できます。

1. 正三角形から始めます。
2. それを 4 つの小さな合同な正三角形に分割します。
3. 残りの小さい三角形それぞれに対して手順 2 を無限に繰り返します。

削除された各三角形（トレマ）は位相的には開集合である。^{[1]三角形を再帰的に削除するこのプロセスは}有限分割規則の例である。

シェルピンスキーの三角形に収束する同じ図形のシーケンスは、次の手順で生成することもできます。

1. 平面上の任意の三角形から始めます (平面上の任意の閉じた境界領域が実際に機能します)。標準的なシェルピンスキーの三角形では、底辺が水平軸に平行な正三角形を使用します(最初の画像)。
2. 三角形を縮小して⁠1/2⁠高さと⁠1/2⁠幅で 3 つのコピーを作成し、3 つの縮小した三角形を、各三角形が角で他の 2 つの三角形に接するように配置します (図 2)。中央の穴が出現することに注意してください。3 つの縮小した三角形は、それらの間で⁠のみを覆うことができるためです。3/4⁠元の面積の。(穴はシェルピンスキーの三角形の重要な特徴です。)
3. それぞれの小さい三角形で手順 2 を繰り返します (画像 3 など)。

この無限のプロセスは、開始形状が三角形であることに依存しません。その方がわかりやすいだけです。たとえば、正方形から始まる最初の数ステップも、シェルピンスキーの三角形に近づく傾向があります。マイケル・バーンズリーは、論文「V 変数フラクタルとスーパーフラクタル」で魚の画像を使用してこれを説明しました。^{[2] [3]}

実際のフラクタルは、無限回の反復の後に得られるものである。より正式には、閉点集合上の関数として記述される。d A_を⁠の係数による膨張を表すとすると、1/2⁠点 A の周りを変換する場合、角 A、B、C を持つシェルピンスキーの三角形は、変換⁠ ⁠${\displaystyle d_{\mathrm {A} }\cup d_{\mathrm {B} }\cup d_{\mathrm {C} }}$の固定集合です。

これは魅力的な固定集合であるため、この操作を他の集合に繰り返し適用すると、画像はシェルピンスキーの三角形に収束します。これは上記の三角形で起こっていることですが、他の集合でも十分です。

ある点にd _A、d _B、d _Cの各変換をランダムに適用すると、結果として得られる点はシェルピンスキーの三角形に密集するため、次のアルゴリズムで再びそれに任意に近い近似値を生成することができる。^[4]

まず、シェルピンスキーの三角形の頂点をp ₁、p ₂、p ₃とし、ランダムな点をv ₁とする。v n ₊₁ = ⁠と設定_する。1/2⁠ ( v _n + p _{r n} )、ここでr _{n は}1、2、または 3 の乱数です。点v ₁からv _∞を描きます。最初の点v ₁がシェルピンスキーの三角形上の点だった場合、すべての点v _nはシェルピンスキーの三角形上にあります。三角形の周囲内にある最初の点v ₁がシェルピンスキーの三角形上の点でない場合、点v _nはどれもシェルピンスキーの三角形上にありませんが、三角形に収束します。v _{1 が三角形の外側にある場合、} v n_が実際の三角形上に着地する唯一の方法は、三角形が無限大であった場合にv _{n が}三角形の一部となる場所にいる場合です。

あるいはもっと簡単に言えば:

1. 平面上の 3 つの点を取り、三角形を形成します。
2. 三角形内の任意の点をランダムに選択し、それを現在の位置とします。
3. 3 つの頂点のうち 1 つをランダムに選択します。
4. 現在の位置から選択した頂点までの距離の半分だけ移動します。
5. 現在の位置をプロットします。
6. 手順3から繰り返します。

この方法はカオス ゲームとも呼ばれ、反復関数システムの一例です。三角形の内側または外側の任意の点から開始することができ、最終的にはいくつかの残りの点でシェルピンスキー ガスケットが形成されます (開始点が三角形の輪郭上にある場合は、残りの点はありません)。鉛筆と紙では、約 100 個の点を配置​​すると簡単な輪郭が形成され、数百個を配置すると詳細が現れ始めます。

シェルピンスキー ガスケットの別の構成は、平面上の曲線として構成できることを示しています。これは、コッホ スノーフレークの構成に類似した、より単純な曲線を繰り返し修正するプロセスによって形成されます。

1. 平面上の単一の線分から始める
2. 曲線の各線分を 3 つの短い線分に繰り返し置き換え、連続する 2 つの線分間の各接合部で 120 度の角度を形成します。曲線の最初と最後の線分は、元の線分と平行になるか、元の線分と 60 度の角度を形成します。

この構成は、反復のたびに連続曲線を与える。極限では、これらは、シェルピンスキーの矢印と呼ばれる単一の連続した有向（無限に波打つ）経路によってシェルピンスキーの三角形を描く曲線に近づく。^[5]実際、シェルピンスキーの1915年の元の論文の目的は、論文のタイトル自体が宣言しているように、曲線（カントール曲線）の例を示すことであった。^{[6] [7]}

シェルピンスキーの三角形は、コンウェイのライフゲームに関連するものを含む、特定のセルオートマトン（ルール90など）にも見られます。たとえば、生命のようなセルオートマトンB1/S12を1つのセルに適用すると、シェルピンスキーの三角形の近似値が4つ生成されます。^[8]標準的な生命の非常に長い、1つのセルの太さの線は、2つの鏡像のシェルピンスキーの三角形を作成します。セルオートマトン内のレプリケータパターンの時空間図も、HighLifeの一般的なレプリケータのように、シェルピンスキーの三角形に似ていることがよくあります。^{[9]シェルピンスキーの三角形は}、ウラム-ウォーバートンオートマトンやヘックス-ウラム-ウォーバートンオートマトンにも見られます。 ^[10]

パスカルの行付き三角形の偶数を白、奇数を黒に塗ると、シェルピンスキーの三角形に近似できます。より正確には、このパリティ色の行パスカル三角形のnが無限大に近づく極限がシェルピンスキーの三角形です。^[11]${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle 2^{n}}$

nが増加するにつれて黒数字の割合がゼロに近づくので、帰結として、nが無限大に近づくにつれて奇数の二項係数の割合はゼロに近づく。^[12]

ハノイの塔パズルは、異なるサイズの円盤を3つのペグの間で動かすパズルで、どの円盤も小さい円盤の上に置かれることはないという性質が保たれている。n枚の円盤パズルの状態と、ある状態から別の状態への可能な移動は、無向グラフ、ハノイグラフを形成し、これはシェルピンスキーの三角形の構築におけるn番目のステップの後に残る三角形の集合の交差グラフとして幾何学的に表すことができる。したがって、 n が無限大に近づく極限では、このグラフのシーケンスはシェルピンスキーの三角形の離散的な類似物として解釈できる。^[13]

次元が整数の場合、物体の一辺を2倍にすると、その物体のコピーが作成されます。つまり、1次元の物体の場合は2つ、2次元の物体の場合は4つ、3次元の物体の場合は8つです。シェルピンスキーの三角形の場合、その辺を2倍にすると、それ自体のコピーが3つ作成されます。したがって、シェルピンスキーの三角形はハウスドルフ次元を持ち、これはを解くことからわかります。^[14]${\displaystyle d}$${\displaystyle 2^{d}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\log 3}{\log 2}}\approx 1.585}$${\displaystyle 2^{d}=3}$${\displaystyle d}$

シェルピンスキーの三角形の面積はゼロ（ルベーグ測度）である。各反復後に残る面積は前回の反復の面積であり、反復を無限に繰り返すと面積はゼロに近づく。^[15]${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$

シェルピンスキーの三角形の点は、重心座標で簡単に特徴付けられます。^[16]点が重心座標を持ち、 2進数で表された場合、その点はシェルピンスキーの三角形内にあることと、すべてのに対してとなることは同じです。${\displaystyle (0.u_{1}u_{2}u_{3}\dots ,0.v_{1}v_{2}v_{3}\dots ,0.w_{1}w_{2}w_{3}\dots )}$${\displaystyle u_{i}+v_{i}+w_{i}=1}$${\displaystyle i}$

異なる係数が使用される場合、パスカルの三角形を使用して、シェルピンスキーの三角形の一般化を生成することもできます。 行を含むパスカルの三角形を取り、 を法とする値で数値を色付けすることで、反復を生成できます。 が無限大に近づくと、フラクタルが生成されます。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P^{n}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle n}$

同じフラクタルは、三角形を相似三角形のモザイク状に分割し、元の三角形と上下逆になっている三角形を削除して、この手順を小さな三角形ごとに繰り返すことによっても実現できます。 ${\displaystyle P^{2}}$

逆に、フラクタルは三角形から始めてそれを複製し、新しい図形を同じ方向に配置して、前の図形の頂点が接触するより大きな相似三角形を作成し、そのステップを繰り返すことによっても生成できます。^[17]${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$

シェルピンスキーの四面体またはテトリックスは、シェルピンスキーの三角形の 3 次元類似体であり、正四面体を元の高さの半分に繰り返し縮小し、この四面体の 4 つのコピーを角が接するように組み合わせ、このプロセスを繰り返すことによって形成されます。

辺の長さが の最初の四面体から構築された四面体には、各反復で総表面積が一定であるという特性があります。辺の長さが の (反復 0) 四面体の初期表面積はです。次の反復は、辺の長さが の 4 つのコピーで構成されるため、総面積は再び になります。後続の反復では、コピーの数が再び 4 倍になり、辺の長さが半分になり、全体の面積は維持されます。一方、構築物の体積は各ステップで半分になるため、ゼロに近づきます。このプロセスの極限には体積も表面積もありませんが、Sierpiński ガスケットと同様に、複雑に接続された曲線になります。そのハウスドルフ次元はです。ここで、「log」は自然対数、分子は前の反復の各コピーから形成された形状のコピー数の対数、分母はこれらのコピーが前の反復から縮小された係数の対数です。すべての点を2つの外縁に平行な平面に投影すると、それらの点は重なり合うことなくちょうど辺の長さの正方形を埋め尽くします。^[18]${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L^{2}{\sqrt {3}}}$${\displaystyle {\tfrac {L}{2}}}$${\textstyle 4{\bigl (}{\tfrac {L}{2}}{\bigr )}^{2}{\sqrt {3}}=L^{2}{\sqrt {3}}}$${\textstyle {\tfrac {\log 4}{\log 2}}=2}$${\displaystyle {\tfrac {L}{\sqrt {2}}}}$

ヴァツワフ・シェリンスキは1915年にシェリンスキ三角形について説明しました。しかし、同様のパターンは13世紀のコスマテス様式の象嵌細工の一般的なモチーフとしてすでに現れています。^[19]

アポロニウス・ガスケットはペルガのアポロニウス（紀元前3世紀） にちなんで名付けられ、ゴットフリート・ライプニッツ（17世紀）によって初めて記述され、20世紀のシェルピンスキー三角形の曲線の前身となった。^{[20] [21] [22]}

シェルピンスキーの三角形を指す「ガスケット」という言葉の使用は、モーターに見られるようなガスケットを指し、フラクタルに似た、サイズが小さくなる一連の穴が特徴となることがある。この用法は、フラクタルが「モーターの漏れを防ぐ部分」に似ていると考えたブノワ・マンデルブロによって造られたものである。 ^[23]

• アポロニアン・ガスケット、シェルピンスキーの三角形と同じ組み合わせ構造を持つ互いに接する円の集合
• ハウスドルフ次元によるフラクタルのリスト
• シェルピンスキーカーペット、シェルピンスキーにちなんで名付けられた別のフラクタルで、大きな正方形から正方形を繰り返し削除して形成されます。
• トライフォース、ゼルダの伝説シリーズの遺物

• 「シェルピンスキーのガスケット」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Weisstein、Eric W.「Sierpinski のふるい」。MathWorld。
• Rothemund, Paul WK; Papadakis, Nick; Winfree, Erik (2004). 「DNA シェルピンスキー三角形のアルゴリズムによる自己組織化」. PLOS Biology . 2 (12): e424. doi : 10.1371/journal.pbio.0020424 . PMC  534809. PMID  15583715 .
• カット・ザ・ノットのトレマ社製シエルピンスキーガスケット除去
• シェルピンスキー・ガスケットとハノイの塔（カット・ザ・ノット）
• リアルタイム GPU で 3D で生成されたシェルピンスキー三角形
• ピタゴラスの三角形、ワツラフ・シェルピンスキー、クーリエ・コーポレーション、2003
• A067771 OEISにおける n 次シェルピンスキー三角形の頂点の数
• カオスゲームのインタラクティブバージョン