スミス・ミンコフスキー・ジーゲル質量公式

数学において、スミス–ミンコフスキー–シーゲル質量公式（スミス–ミンコフスキー–シーゲルの質量公式、またはミンコフスキー–シーゲルの質量公式）は、種数の格子（二次形式）の重みを、その自己同型群の位数の逆数で重み付けした合計を表す公式である。質量公式は整二次形式に対して与えられることが多いが、任意の代数体上の二次形式に一般化できる。

0 次元と 1 次元では質量公式は自明であり、2 次元では虚数二次体に対するディリクレの 類数の公式と本質的に等価であり、3 次元ではゴットホルト・アイゼンシュタインによっていくつかの部分的な結果が与えられている。高次元での質量公式はHJS スミス(1867)によって初めて与えられた が、彼の結果は長年忘れられていた。それはH. ミンコフスキー (1885) によって再発見され、ミンコフスキーの論文の誤りはCL シーゲル (1935) によって発見され修正された。

質量公式の公開されているバージョンの多くには誤りがあります。特に、2 進密度を正しく求めるのは難しく、次元が 0 と 1 の自明なケースが次元が 2 以上のケースと異なることが忘れられることがあります。Conway と Sloane (1988) は、積分二次形式の質量公式について解説と正確な記述を与えており、多数の明示的なケースで確認しているため信頼性があります。

質量公式の最近の証明については、(Kitaoka 1999)および(Eskin, Rudnick & Sarnak 1991)を参照してください。

スミス・ミンコフスキー・ジーゲルの質量公式は、本質的にはヴェイユ・ジーゲルの公式の定数項です。

fがn次元の正定積分二次形式（または格子）である場合、 その種数の 質量は次のように定義される。

${\displaystyle m(f)=\sum _{\Lambda }{1 \over |{\operatorname {Aut} (\Lambda )}|}}$

ここで、和はfと同じ種数のすべての整同値でない形式についてであり、Aut(Λ) は Λ の自己同型群である。Conway & Sloane (1988) によって与えられた質量公式の形は、n  ≥ 2 に対して質量が次のように与えられること を述べている。

${\displaystyle m(f)=2\pi ^{-n(n+1)/4}\prod _{j=1}^{n}\Gamma (j/2)\prod _{p{\text{ prime}}}2m_{p}(f)}$

ここでm _p ( f ) はfのp質量であり、次のように与えられる。

${\displaystyle m_{p}(f)={p^{(rn(n-1)+s(n+1))/2} \over N(p^{r})}}$

十分に大きいrに対して、p ^{s は}fの行列式をp で割った最大のべき乗である。数N ( p ^r ) は、係数がp ^{r を}法とする整数である n × n行列 Xの数であり、  

${\displaystyle X^{\text{tr}}AX\equiv A\ {\bmod {\ }}p^{r}}$

ここで、A はfのグラム行列、つまり、形式が縮小された mod  p ^rの自己同型群の順序です。  

一部の著者は質量公式をp進密度 で表現している。

${\displaystyle \alpha _{p}(f)={N(p^{r}) \over p^{rn(n-1)/2}}={p^{s(n+1)/2} \over m_{p}(f)}}$

p質量の代わりに。p質量はf の再スケーリングに対して不変ですが、p密度はそうではありません。

次元が 0 または 1 の (自明な) 場合、質量式にはいくつかの修正が必要です。先頭の 2 という係数は特殊直交群の玉川数を表し、次元が 0 と 1 の場合にのみ 1 になります。また、m _p ( f ) の先頭の 2 という係数は、直交群内の特殊直交群のインデックスを表し、次元が 0 の場合にのみ 1 になります。

質量公式は、すべての素数の無限積として質量を与えます。これは、次のように有限積として書き直すことができます。有限個の素数（2 det( ƒ )を割り切れない素数）を除くすべての素数について、 p質量m _p ( ƒ )は、次式で与えられる標準p質量std _p ( ƒ )に等しくなります。

${\displaystyle \operatorname {std} _{p}(f)={1 \over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})\dots (1-p^{2-n})(1-{(-1)^{n/2}\det(f) \choose p}p^{-n/2})}\quad }$（n  = dim( ƒ ) は偶数）

${\displaystyle \operatorname {std} _{p}(f)={1 \over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})\dots (1-p^{1-n})}}$（n  = dim( ƒ ) 奇数の場合）

ここで、2行目のルジャンドル記号は、pが2 det( ƒ )を割り切る場合は0と解釈されます。

すべてのp質量が標準値を持つ場合、合計質量は 標準質量である。

${\displaystyle \operatorname {std} (f)=2\pi ^{-n(n+1)/4}\left(\prod _{j=1}^{n}\Gamma (j/2)\right)\zeta (2)\zeta (4)\dots \zeta (n-1)}$( nが 奇数の場合)

${\displaystyle \operatorname {std} (f)=2\pi ^{-n(n+1)/4}\left(\prod _{j=1}^{n}\Gamma (j/2)\右)\ゼータ (2)\ゼータ (4)\ドット \ゼータ (n-2)\ゼータ _{D}(n/2)}$（nが 偶数の場合）

どこ

${\displaystyle \zeta _{D}(s)=\prod _{p}{1 \over 1-{{\big (}{\frac {D}{p}}{\big )}}p^{-s}}}$

D = (−1) ^{n /2}  det( ƒ )

偶数sに対するリーマンゼータ関数の値はベルヌーイ数で次の ように表される。

${\displaystyle \zeta (s)={(2\pi )^{s} \over 2\times s!}|B_{s}|.}$

したがってƒの質量は有理数の有限積として与えられる。

${\displaystyle m(f)=\operatorname {std} (f)\prod _{p|2\det(f)}{m_{p}(f) \over \operatorname {std} _{p}(f)}.}$

形式fがp進ジョルダン分解を持つ 場合

${\displaystyle f=\sum qf_{q}}$

ここでqはpとfのべき乗であり、 _qはpと素な行列式を持ち、次元はn ( q )であるとき、p質量は次のように与えられる。

${\displaystyle m_{p}(f)=\prod _{q}M_{p}(f_{q})\times \prod _{q<q'}(q'/q)^{n(q)n(q')/2}\times 2^{n(I,I)-n(II)}}$

ここでn (II)はタイプ2およびp = 2のすべてのジョルダン成分の次元の合計であり 、n (I,I)はタイプIである 隣接する構成要素f _q、f _{2 q}のペアの総数です。

因子M _p ( f _q )は対角因子と呼ばれ、p個の元を持つ体上の特定の直交群の位数のp倍のべき乗である。pが奇数の場合、その値は次のように与えられる。

${\displaystyle {1 \over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})\dots (1-p^{1-n})}}$

nが奇数の場合、または

${\displaystyle {1 \over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})\dots (1-p^{2-n})(1-p^{-n/2})}}$

nが偶数で(−1) ^{n /2} d _qが平方剰余の 場合、または

${\displaystyle {1 \over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})\dots (1-p^{2-n})(1+p^{-n/2})}}$

nが偶数で(−1) ^{n /2dqが2}乗_非剰余である 場合。

p = 2の場合、 対角係数M _p ( f _q ) の計算は非常に難しいことで有名です。(この表記は、 f _qだけでなく、 f _{2 q}とf _{q /2}にも依存するため、誤解を招きやすいです。)

• f _{q が}奇数の 2 進整数を表す場合は奇数、そうでない場合は偶数であるとします。
• f _qのオクタン価は8 を法とする整数です。f _qが偶数の場合、行列式が 8 を法として +1 または -1 であればオクタン価は 0 になり、行列式が 8 を法として +3 または -3 であればオクタン価は 4 になります。一方、f q が奇数の場合は対角_化でき、オクタン価は 4 を法として 1 となる対角要素の数から 4 を法として 3 となる要素の数を引いた値になります。
• f _{2 q}とf _{q /2}の少なくとも 1 つが奇数の場合、 f _{q は}拘束されている と言い、そうでない場合は自由であると言います。
• 整数t は、 f _qが偶数の場合はf _qの次元 が 2 tとなり、f _qが奇数の場合は 2 t  + 1 または 2 t  + 2となるように定義されます。

対角因子M _p ( f _q )は次のように与えられる。

${\displaystyle {1 \over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})\dots (1-p^{-2t})}}$

フォームが結合しているか、オクタン価が+2または-2 mod 8であるか、

${\displaystyle {1 \over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})\dots (1-p^{2-2t})(1-p^{-t})}}$

形態が自由でオクタン価が−1または0または1 mod 8または

${\displaystyle {1 \over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})\dots (1-p^{2-2t})(1+p^{-t})}}$

形態が自由で、オクタン価が -3 または 3 または 4 mod 8 の場合。

_{ディリクレ級数 ζ D} ( s )の必要な値は次のように評価できます。ディリクレ指標を χと書き、 χ( m ) はmが偶数のときは 0 、奇数のときはヤコビ記号 で表されます。この指標の係数をk 、その導体をk _{1 と}書き、 χ = χ ₁ ψ とします。ここで、 χ _{1 は}k を法とする主指標で、 ψ はk _{1 を}法とする原始指標です。すると ${\displaystyle {\left({\frac {D}{m}}\right)}}$

${\displaystyle \zeta _{D}(s)=L(s,\chi )=L(s,\psi )\prod _{p|k}\left(1-{\psi (p) \over p^{s}}\right)}$

Lシリーズの関数方程式は

${\displaystyle L(1-s,\psi )={k_{1}^{s-1}\Gamma (s) \over (2\pi )^{s}}(i^{-s}+\psi (-1)i^{s})G(\psi )L(s,\psi )}$

ここでGはガウス和である

${\displaystyle G(\psi )=\sum _{r=1}^{k_{1}}\psi (r)e^{2\pi ir/k_{1}}.}$

sが正の整数の 場合

${\displaystyle L(1-s,\psi )=-{k_{1}^{s-1} \over s}\sum _{r=1}^{k_{1}}\psi (r)B_{s}(r/k_{1})}$

ここでBs ( x )は_{ベルヌーイ}多項式である。

8で割り切れる次元n > 0の偶数ユニモジュラー格子Λの場合、 質量公式は

${\displaystyle \sum _{\Lambda }{1 \over |\operatorname {Aut} (\Lambda )|}={|B_{n/2}| \over n}\prod _{1\leq j<n/2}{|B_{2j}| \over 4j}}$

ここで、B _{k は}ベルヌーイ数です。

上記の式はn = 0 の場合は成り立たず、一般に次元が最大 1 であるような単純なケースでは質量の式を修正する必要があります。n = 0 の場合、重み 1 の格子は 1 つだけ (ゼロ格子) なので、総質量は 1 です。

質量の公式は総質量を次のように表す。

${\displaystyle {|B_{4}| \over 8}{|B_{2}| \over 4}{|B_{4}| \over 8}{|B_{6}| \over 12}={1/30 \over 8}\;{1/6 \over 4}\;{1/30 \over 8}\;{1/42 \over 12}={1 \over 696729600}.}$

8次元の偶数ユニモジュラー格子はE8格子のみであり、その自己同型群は_{696729600次の}E8のワイル群であるので、この場合の質量公式が証明される。スミスはもともと、質量がゼロでないという事実を用いて、8次元の偶数ユニモジュラー格子の存在の非構成的証明を与えた。

質量の公式は総質量を次のように表す。

${\displaystyle {|B_{8}| \over 16}{|B_{2}| \over 4}{|B_{4}| \over 8}{|B_{6}| \over 12}{|B_{8}| \over 16}{|B_{10}| \over 20}{|B_{12}| \over 24}{|B_{14}| \over 28}={691 \over 277667181515243520000}.}$

次元 16 の偶数ユニモジュラー格子が 2 つあります。1 つはルート システムE ₈ ²で 、自己同型群の位数が 2×696729600 ² = 970864271032320000 です。もう 1 つはルート システムD ₁₆で、自己同型群の位数が 2 ¹⁵ 16! = 685597979049984000 です。

質量の公式は

${\displaystyle {1 \over 970864271032320000}+{1 \over 685597979049984000}={691 \over 277667181515243520000}.}$

ニーマイヤー格子と呼ばれる次元 24 の偶数ユニモジュラー格子が 24 個あります。それらの質量公式は (Conway & Sloane 1998、pp. 410–413) で確認されています。

この場合の質量は大きく、4000 万を超えています。これは、32 次元のユニモジュラー格子が 8000 万以上あることを意味します。それぞれのユニモジュラー格子は少なくとも 2 の位数の自己同型群を持ち、質量に最大で 1/2 しか寄与しないからです。この議論を洗練させることで、King (2003) はそのような格子が 10 億以上あることを示しました。高次元では質量、つまり格子の数が急速に増加します。

シーゲルは、ある種族の形式による 1 つの二次形式の表現の重み付き数を数える、より一般的な公式を与えました。スミス - ミンコフスキー - シーゲル質量公式は、1 つの形式がゼロ形式である場合の特別なケースです。

玉川は、質量公式は直交群の玉川数が 2 であるという命題と同値であることを示した。これは、スピン群の単連結被覆の玉川数が 1 であると言うことと同値である。アンドレ・ヴェイユは、より一般的に、任意の単連結半単純群の玉川数は 1 であると予想し、この予想は 1988 年にコットヴィッツによって証明された。

King (2003) は、根を持たない（または根系が与えられた） ユニモジュラー格子の質量公式を与えた。

• シーゲルのアイデンティティ

• Conway, JH ; Sloane, NJA (1998)、Sphere Packings, lattices, and groups、ベルリン：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-98585-5
• Conway, JH; Sloane, NJA (1988)、「低次元格子。IV. 質量公式」、Proceedings of the Royal Society of London。シリーズ A、数学および物理科学、419 (1988): 259–286、Bibcode :1988RSPSA.419..259C、CiteSeerX  10.1.1.24.2955、doi :10.1098/rspa.1988.0107、JSTOR  2398465
• エスキン、アレックス; ルドニック、ゼエフ; サーナック、ピーター (1991)、「シーゲルの重み公式の証明」、国際数学研究通知、1991 (5): 65–69、doi : 10.1155/S1073792891000090、MR  1131433
• キング、オリバー (2003)、「根のないユニモジュラー格子の質量公式」、Mathematics of Computation、72 (242): 839–863、arXiv : math.NT/0012231、Bibcode :2003MaCom..72..839K、doi :10.1090/S0025-5718-02-01455-2。
• 北岡好之（1999）『2次形式の算術』ケンブリッジ数学社、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-64996-4
• Minkowski, Hermann (1885)、「Untersuhungen überquadratische Formen I. Bestimmung der Anzahl verschiedener Formen, welche ein gegebenes Genus enthält」、Acta Mathematica、7 (1): 201–258、doi : 10.1007/BF02402203
• Siegel、Carl Ludwig (1935)、「Uber Die Analytische Theorie Der Quadratischen Formen」、Annals of Mathematics、Second Series、36 (3): 527–606、doi :10.2307/1968644、JSTOR  1968644
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