半導体レーザーの非線形理論

ファブリ・ペロー（FP）半導体レーザーのレーザー理論は^、利得[ ^{1 ] [ 2 ]} 、屈折率^{[ 3 ]}、損失係数^{[ 4 ]}がエネルギー束の関数であるため、非線形であることが証明されています。非線形理論^{[ 2 ]}により、他の理論モデルに基づいては説明はおろかモデル化することさえできなかった実験（例えば、自然線幅）のいくつかを説明することが可能になりました。これは、開発された非線形理論がレーザー理論の新しいパラダイムであることを示唆しています。

マクスウェル方程式は受動媒質の場を記述するものであり、レーザーや量子増幅器の場を記述するために使用することはできません。利得媒質の電磁場については現象論的方程式、すなわち利得媒質のマクスウェル方程式と、これらの方程式に対するポインティングの定理が導出されます。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 5 ]}利得媒質のマクスウェル方程式は、エネルギー流束の方程式を得るため、および非線形位相効果を記述するために使用されます。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 5 ]}

${\displaystyle (1)\quad rot{\vec {H}}=(\sigma -\eta ){\vec {E}}+{\partial {\vec {D}} \over \partial t},}$ここでηは特定の利得係数として定義され、σは非干渉損失（例えば自由電子における損失）を表す特定の導電率である。その他のマクスウェル方程式は変更せずに使用する。${\displaystyle (2)\quad rot{\vec {E}}=-{\partial B \over \partial t},divD=0,divB=0,}$${\displaystyle (3)\quad D=\epsilon '\epsilon _{0}E,B=\mu _{0}\mu H,}$ ポインティングの定理は（1）～（3）から導かれる。 ${\displaystyle (4)\quad \int _{V}\eta |E(\omega )|^{2}\,dv=\int _{V}\sigma |E(\omega )|^{2}\,dv+\oint _{S}(Sn)ds,}$

ここで、Sはポインティングベクトル、V=sz、0 <z<Lであり、sは活性レーザー媒質の断面積（z軸に対して）である。エネルギー流束の式は(4)から導かれる。 ${\displaystyle (5)\quad {\frac {dI^{+}}{dz}}=(\Gamma g(I^{+})-\alpha (I^{+}))I^{+},}$${\displaystyle (6)\quad {\frac {-dI^{-}}{dz}}=(\Gamma g(I^{-})-\alpha (I^{-}))I^{-},}$ どこ ${\displaystyle (7)\quad \alpha (I)=(1-\Gamma )\alpha _{out}+\Gamma \alpha _{in}+\alpha _{x}+\alpha _{2p}(I),}$ どこ${\displaystyle I}$はエネルギーの流れである。${\displaystyle s}$はレーザーの活性領域の断面積である。${\displaystyle \Gamma }$は拘束係数です。$\displaystyle \alpha _{in}}$活性領域における吸収係数です。$\displaystyle \alpha _{out}}$吸収係数は活性領域外にある。$\displaystyle \alpha _{x}}$非干渉散乱による損失です。${\displaystyle \alpha _{2p}(I)}$は二光子吸収係数です。 ^{[ 2 ] [ 4 ]}${\displaystyle \alpha _{2p}(I)=\beta \cdot I}$)

半導体レーザーの自然線幅の理論が開発され、FPレーザーの屈折率n ^{[ 3 ] [ 5 ]}と分布帰還型（DFB）レーザーの実効屈折率nef _[ ^{5 ] [ 6 ]は}Eの関数であることが示されています。${\displaystyle (8)\quad n=n_{0}+n_{1}(\omega )E+n_{2}(\omega )E^{2},}$${\displaystyle (9)\quad n=n_{ef}^{0}+n_{ef}^{1}E+n_{ef}^{2}E^{2},}$ FPレーザーとDFBレーザーにおける線形状の公式を導出した。これらの線形状の公式は類似しており、以下の形式をとる。 ${\displaystyle (10)\quad L(v)=2\int _{0}^{\infty }\cos(2\pi v\tau )exp(A_{pa}|\tau |-B\tau ^{2})d\tau ,}$ どこ${\displaystyle v={\tfrac {\omega -\omega L}{2\pi }};\quad \omega L}$はレーザー発振周波数です。

${\displaystyle (11)\quad A_{pa}={\frac {D_{0}}{P}},\quad B=(D_{1}+D_{2}P^{(1/2)})^{2},}$ どこ${\displaystyle D_{0},D_{1}}$、 そして${\displaystyle D_{2}}$FPレーザーとDFBレーザーでは異なる形式になります。^{[ 2 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} 自然線幅Δνを次のように書きます。^{[ 2 ] [ 8 ] [ 9 ]}${\displaystyle (12)\quad \Delta v=\Delta v^{(c)}T\left(\left(mW\right){\frac {A_{pa}}{P}}+B\right)F_{N}\left({\frac {P^{(c)}}{P}},k\right),}$ どこ${\displaystyle T\left(\left(mW\right){\frac {A_{pa}}{P}}+B\right)}$はブリッジ関数です。^{[ 2 ] [ 8 ] [ 9 ]}${\displaystyle \Delta v^{(c)}}$そして${\displaystyle P^{(c)}}$は特性線幅と特性レーザー出力であり、kはレーザー非線形性の特性パラメータであり、qは無次元逆電力である。

${\displaystyle (13)\quad F_{N}(q,k)=1/\int _{0}^{\infty }exp(-xq-x^{2}(k/q^{1/2}-1)^{2})dx}$

半導体レーザーにおける自然線幅の理論は、独立した意義を持つ。同時に、この理論はレーザーの非線形理論の不可欠な一部であり、その概念と導入された特性パラメータは非線形理論のあらゆる部分で利用されている。

緩和を伴う密度行列方程式を用いて、以下の導出が行われた。半導体レーザーにおけるアインシュタインのスペクトル係数、およびそれに伴うアインシュタイン係数。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 10 ]}半導体レーザーにおける飽和効果の式が導出された。半導体レーザーにおける飽和効果は小さいことが示された。^{[ 1 ] [ 2 ]}緩和を伴う密度行列方程式を用いて、半導体レーザーの利得が導出された。^{[ 1 ] [ 2 ]}ファブリ・ペローレーザーの利得はエネルギー束に依存し、これが半導体レーザーにおける「基本的な非線形効果」を決定することがわかった。

${\displaystyle (14)\quad g=g(I)=R\Delta \omega _{e}/(1-I(\delta \Delta \omega _{e}/\delta I)/\Delta \omega _{e}),}$

どこ ${\displaystyle (15)\quad R=(\hbar \omega n_{g}/c)B_{21}(f_{2}-f_{1})S_{P}(\omega ).}$

どこ${\displaystyle B_{21}}$狭帯域波にさらされたときの 2 つのエネルギー準位間の誘導遷移に対するアインシュタイン係数は、次の形式で記述されます。^{[ 2 ] [ 10 ]}${\displaystyle (16)\quad B_{21}=({\hat {H}}_{21}/\hbar )^{2}/(2\Gamma _{0})}$ どこ${\displaystyle \Delta \omega _{e}}$は有効な自然線幅です。${\displaystyle I}$はエネルギーの流れである。${\displaystyle S_{P}(\omega )}$これは遷移のスペクトル密度です。

第2種誘導放射線の必要条件

^{Noppe [ 1 ] [ 2 ]}によって定式化された第 2 種の誘導放射線の必要条件は次のとおりです。

${\displaystyle (18)\quad \Delta \omega _{e}/(1-I(\delta \Delta \omega _{e}/\delta I)/\Delta \omega _{e})>0.}$

第2種誘導放射の必要条件により、レーザー容量の基本的な制限を定式化することが可能となり、^{[ 1 ] [ 2 ]}これは実験的に確認されている。

${\displaystyle (19)\quad I<I(M),}$

どこ${\displaystyle I}$はエネルギーの流れである。${\displaystyle I(M)}$は極限出力の特性パラメータです。図1は関数を示しています。${\displaystyle g(I)}$2組の特性パラメータについて。

4.1. 利得媒質中のマクスウェル方程式を用いてエネルギー流束の式を導出する。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 5 ]}非線形位相効果は、屈折率の非線形性を用いて記述およびシミュレーションされている。 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} (図3参照)。 4.2. 開発された理論に基づいて、実験出力特性がシミュレーションされている。自然線幅 ( ^{[ 2 ] [ 6 ]}のシミュレーションを参照) (図2参照)、実験ワット-アンペア特性^{[ 1 ] [ 2 ] [ 11 ]} (図4参照)、ファブリ・ペロー半導体注入レーザーにおける実験出力放射線長と電流の関係^{[ 1 ] [ 2 ]} (図3参照)、およびDFBレーザーにおける線幅 ( ^{[ 7 ] [ 8 ]}のシミュレーションを参照)。作成された理論により、2 つの方法 ((13) と (15) を使用) を利用して、Fabry-Perot レーザーと分布帰還 DFB レーザーの自然線幅の測定に関する公開されている実験の^{大部分をシミュレートすることが可能になります [ 2 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 12 ] 。線形状について導出された式に基づいて、} Fabry -Perot レーザーの自然線幅の測定に関する 12 の実験 (例えば、図 2 を参照) と DFB レーザーの 15 の実験^{[ 2 ] [ 9 ]がシミュレー}トされました。 自然線幅について導出された式に基づいて、 Fabry ^- Perot レーザーの自然線幅の測定に関する 15 の実験^{[ 2 ] [ 6 ]とDFBレーザーの15 の実験 [ 2 ] [} 9 ^{]がシミュレートされまし}た。放射の線形形状の導出式（FPレーザー^{[ 2 ] [ 6 ] [ 12 ]}およびDFBレーザー^{[ 2]）] [ 7 ]} ) はローレンツ線公式とは区別されます。 4.3. 開発された理論に基づいて、実験出力特性がシミュレートされました。自然線幅 ( ^{[ 5 ] [ 7 ]}のシミュレーションを参照)、実験ワット-アンペア特性^{[ 10 ]} (図 4 を参照)、ファブリ-ペロー半導体注入レーザーの電流に対する実験出力放射線長の依存性^{[ 13 ]} (図 3 を参照)、および DFB レーザーの線幅 ( ^{[ 2 ] [ 9 ]}のシミュレーションを参照)。 4.4. 非線形理論に基づいて、より小さな自然線幅とより高い出力パワーを持つレーザーの開発に関する推奨事項が行われました。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}

密度行列方程式の解に基づいて、誘導遷移のアインシュタイン係数が導出され、半導体レーザーでは飽和効果が小さいことが示されています。^{[ 1 ] [ 2 ]}エネルギー流束に依存する利得の式が導出され、これはレーザーの基本的な非線形効果です。非線形性をもたらす主な効果は飽和効果であると述べられています。^{[ 1 ] [ 2 ]}半導体レーザーでは、飽和効果は無視できます。密度行列方程式と自然線幅の式に基づいて、ファブリ・ペロー半導体レーザーの利得 g を導出しました。^{[ 1 ] [ 2 ]}したがって、線幅理論^{[ 2 ] [ 8 ] [ 9 ]}は非線形理論の不可欠な部分です。結果として得られる g のエネルギー流束への依存性は、半導体レーザーの主な非線形効果と呼ばれています。^{[ 1 ] [ 2 ]}この関係式の導出は^{[ 1 ] [ 2 ]}に示されている。 真性半導体の量子井戸 を持つ高出力レーザーについて、正規化電流 (J/Jth) に対する実験的な波長シフトと出力電力対電流がシミュレーションされた。さまざまな効果による状態密度の広がりが考慮されている。非線形理論により、他の理論モデルに基づいては説明はおろかモデル化もできなかった (例えば、自然線幅) 実験のいくつかを説明することが可能になった。これは、開発された非線形理論がレーザー理論の新しいパラダイムであることを示唆している。非線形理論の開発により、自然線幅の小さいレーザーと出力電力の高いレーザーを作成するための推奨事項が与えられる。