シュヴァルツシルトの放射伝達方程式

熱伝達の研究では、シュワルツシルトの式^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}が、放射を吸収および放出する局所熱力学的平衡状態にある媒体を介した放射伝達（電磁放射によるエネルギー伝達）を計算するために使用されます。

非散乱媒質中を放射線が増分距離 (ds) だけ進むときの、_特定の波長におけるスペクトル強度の増分変化^{[ 4 ]} ( dIλ、[W/sr/m2 ^/ μm])は、次式で与えられる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}dI_{\lambda }&=n\sigma _{\lambda }B_{\lambda }(T)\,ds-n\sigma _{\lambda }I_{\lambda }\,ds\\[1ex]&=n\sigma _{\lambda }\left[B_{\lambda }(T)-I_{\lambda }\right]\,ds\end{aligned}}}$$

どこ

• nは吸収/放出分子の数密度（単位：分子/体積）です。
• σλ_は波長λにおける吸収断面積（単位：面積）である。
• Bλ ( T )は_、温度Tと波長λに対するプランク関数です（単位：電力/面積/立体角/波長 - 例：ワット/cm² ^/ sr/cm）。
• Iλ_は、 Bλ ( T )と同じ単位で増分dsに入射する放射線のスペクトル強度です_。 

この方程式と様々な等価表現は、シュワルツシルト方程式として知られています。第 2 項は、放射経路の短い区間 ( ds ) における分子による放射の吸収を表し、第 1 項は、同じ分子による放射を表します。不均質な媒質では、これらのパラメータは高度と経路に沿った位置によって変化する可能性があり、これらの項は正式にはn ( s )、σλ ₍ s )、T ( s )、およびIλ ( _s )となります。散乱が重要な場合は、追加の項が加えられます。 スペクトル強度の変化 [W/sr/m ^{2 /μm]}を関連するすべての波長にわたって積分すると、強度の変化 [W/sr/m ² ] が得られます。次に、半球にわたって積分すると、平面に垂直なフラックス( F、[W/m ² ]) が得られます。

シュワルツシルトの式は、温度、圧力、および媒体の組成が既知である場合、すべての変数が固定されているときに、非散乱媒体を通過した後の電磁エネルギーのあらゆるフラックスの強度を計算するための公式です。

シュヴァルツシルト方程式は、カール シュヴァルツシルトの 1906 年の論文「Ueber das Gleichgewicht der Sonnenatmosphäre」（太陽大気の平衡について）で初めて登場しました。^{[ 5 ]}

放射伝達とは、電磁波または（同等に）光子によって大気やその他の媒体を通してエネルギーが伝達されることを指します。 放射伝達の最も単純な形態は、試料を通過して検出器に到達する直線状の放射線ビームです。 この光束は吸収、散乱、または反射によって減少し、経路を通じたエネルギー伝達率は 100% 未満になります。 放射伝達の概念は、単純な実験室現象を超えて、媒体による放射線の熱放出を含みます。これにより、経路の終点に到達する光子の数が、経路に入ってくる光子の数よりも多くなる可能性があります。 また、地球の表面や空などの大きな光源から検出器に到達する放射線も扱います。放射はあらゆる方向に発生する可能性があるため、大気放射伝達（プランクの法則など）には、W/sr/m ²などの立体角 を含む単位が必要です。 

最も基本的なレベルでは、放射線の吸収と放出は、光子の吸収、放出、誘導放出に関するアインシュタイン係数（ B ₁₂、A ₂₁、B ₂₁）と、基底状態および励起状態にある分子の密度（n ₁、n ₂）によって制御されます。しかし、最も単純な物理的状況である黒体放射では、放射線とそれが通過する媒体は熱力学的平衡状態にあり、吸収率と放出率は等しくなります。黒体放射のスペクトル強度[W/sr/m ² /μm]と強度[W/sr/m ^{2 ]は、}プランク関数B _λ ( T )とステファン・ボルツマンの法則によって与えられます。これらの式はアインシュタイン係数に依存しません。吸収と放出は、密度が高く不透明な物質内部で平衡に達することが多いため、そのような物質はしばしば黒体に近い強度の熱赤外線を放出します。その放射線の一部は表面で内部反射または散乱され、放射率が1未満となる。同じ現象により、入射放射線の吸収率は1未満となり、放射率と等しくなる（キルヒホッフの法則）。

放射が均質な媒体を十分に通過して放出と吸収が熱力学的平衡に達するまで至っていない場合、または媒体が距離によって変化する場合、プランクの法則とステファン・ボルツマン方程式は適用されません。これは、大気を扱う場合によく当てはまります。媒体が局所熱力学的平衡 (LTE) にある場合、シュワルツシルト方程式を使用して、放射が媒体を通過する際にどのように変化するかを計算できます。媒体は、励起状態にある分子の割合がボルツマン分布によって決定されるときに LTE にあります。LTE は、任意の励起状態の衝突励起と衝突緩和が吸収と放出よりもはるかに速く起こる場合に存在します。^{[ 6 ]} (LTE では、吸収と放出の速度が等しい必要はありません。)熱赤外線を放出する温室効果ガスの振動励起状態と回転励起状態は、約 60 km まで LTE にあります 。^{[ 7 ]} 放射伝達の計算では、約 50 km を超えると吸収と放出による変化は無視できる (0.2%) ことが示されています 。したがって、シュワルツシルトの式は、地球大気中の熱赤外線に関するほとんどの問題に適しています。シュワルツシルトの式で使用される吸収断面積（σλ _）は、アインシュタイン係数と吸収線を広げる過程から導き出されます。実際には、これらの量は理論から導出されたものではなく、実験室で測定されたものです。

放射線が散乱する場合（空が青く見える現象）、または励起状態にある分子の割合がボルツマン分布によって決定されない場合（LTE が存在しない場合）、より複雑な方程式が必要になります。たとえば、晴天からの散乱では、入射する太陽放射の約 32 W/m ²（約 13%）が宇宙に反射されます。^{[ 8 ]}可視光はエアロゾル粒子や水滴（雲）によっても反射および散乱されます。これらの現象はいずれも、晴天を通過する熱赤外線のフラックスに大きな影響を与えません。

シュワルツシルトの式は、放射が伝わる媒体の温度、圧力、組成を最初に指定しない限り使用できません。これらのパラメータをラジオゾンデで最初に測定すると、熱赤外線の下降フラックス (DLR) の観測スペクトルは計算とよく一致し、場所によって大きく変化します。^{[ 9 ] [ 10 ]} dI が負の場合、吸収は放出よりも大きく、正味の効果は局所的に大気を温暖化することです。dI が正の場合、正味の効果は「放射冷却」です。繰り返し近似することで、シュワルツシルトの式を使用して、GHG の増加によって引き起こされる平衡温度の変化を計算できますが、対流による熱輸送が重要でない上層大気に限られます。

シュワルツシルトの式は、キルヒホッフの熱放射の法則から導き出すことができます。この法則は、特定の波長において吸収率と放射率が等しくなければならないと述べています。（シュワルツシルトの式と同様に、キルヒホッフの法則もLTE（熱平衡状態）の媒体にのみ適用されます。）厚さdsが増加する薄い大気層の場合、定義によりその吸収率は次のようになります。${\displaystyle {\tfrac {dI_{a}}{I}},}$ここで、 Iは入射放射線、 dI _aはスラブに吸収される放射線である。ベールの法則によれば：

${\displaystyle {\frac {dI_{a}}{I}}=n\sigma _{\lambda }\,ds}$

また定義により、放射率は次のようになる。${\displaystyle {\tfrac {dI_{e}}{B_{\lambda }(T)}},}$ここで、 dI _eはスラブから放出される放射量であり、 B _λ ( T )はLTE内の物体が放出できる最大放射量である。吸収率を放射率に等しく設定すると、次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dI_{e}}{B_{\lambda }(T)}}&=n\sigma _{\lambda }\,ds\\[4pt]dI_{e}&=n\sigma _{\lambda }B_{\lambda }(T)\,ds\end{aligned}}}$

スラブを通過する放射の総変化量dIは次式で与えられる。

${\displaystyle dI=dI_{e}-dI_{a}=n\sigma _{\lambda }B_{\lambda }(T)\,ds-n\sigma _{\lambda }I\,ds}$

シュワルツシルト方程式は、基底状態と励起状態間のエネルギーがマックスウェル・ボルツマン分布に従うと仮定して、アインシュタイン係数から導出されています（LTE）。^{[ 11 ]}基底状態と励起状態間の任意の遷移の 振動子強度は、これらの係数に依存します。吸収断面積（σλ _）は、この振動子強度と、衝突、ドップラー効果、不確定性原理による吸収/放出線の広がりから経験的に決定されます。

シュワルツシルトの式は、著者によってさまざまな形式や記号で表現されてきました。量nσ _λは吸収係数 ( β _a ) として知られており、単位は [cm ^{−1 ] の}減衰の尺度です。吸収係数は基本的に、単位体積あたりの吸収体の量 [cm ⁻³ ] と吸収効率 (面積/吸収体、[cm ² ] の積です。いくつかの文献^{[ 2 ] [ 12 ] [ 3 ]}では、 nσ _{λ を}k _λ rに置き換えています。ここで、k _λは単位密度あたりの吸収係数であり、rはガスの密度です。スペクトル束 (単一波長の放射ビーム、[W/m ² /μm]) の吸収係数は、シュワルツシルトの式で使用されるスペクトル強度 [W/sr/m ² /μm] の吸収係数とは異なります。

吸収係数をs1から_s2までの経路に沿って積分すると、その経路の光学的厚さ（τ ）が得られます。これは無次元量であり、シュワルツシルト方程式のいくつかの変形版で使用されます。放射を無視すると、入射放射は光学的厚さが1の経路を通過する際に1/ e倍に減少します。

${\displaystyle \tau =\int _{s_{1}}^{s_{2}}n(s)\sigma _{\lambda }(s)\,ds}$

光学的厚さで表すと、シュワルツシルトの式は次のようになります。^{[ 1 ] [ 13 ]}

${\displaystyle dI_{\lambda }=[B_{\lambda }(T)-I_{\lambda }]\,d\tau }$

τ = 0に位置するセンサーと媒質中の任意の開始点τ 'の間で積分すると、センサーに到達する放射のスペクトル強度I _λ (0)は次のようになります。

${\displaystyle I_{\lambda }(0)=I_{\lambda }(\tau ')e^{-\tau '}+\int _{0}^{\tau '}B_{\lambda }(T)e^{-\tau }\,d\tau }$

ここで、I ( τ ' )は経路の開始点における放射のスペクトル強度であり、${\displaystyle e^{-\tau '}}$は経路に沿った透過率であり、最後の項は、経路に沿ったすべての放射が、まだ通過していない経路に沿った吸収によって減衰されたものの合計です。^{[ 1 ]}

ベールの法則とプランクの法則はどちらもシュワルツシルトの式から導き出すことができる。^{[ 14 ]} ある意味では、これらはシュワルツシルトの式の系である。

放射線のスペクトル強度が媒質を通過する際に変化しない場合、dIλ = 0 と_なる。この場合、シュワルツシルトの式はプランクの法則に簡略化される。

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=n\sigma _{\lambda }[B_{\lambda }(T)-I_{\lambda }]\,ds\\[2pt]I_{\lambda }&=B_{\lambda }(T)\end{aligned}}}$

Iλ > Bλ ( _T )の場合、dIは負になり、Iλ < _{Bλ (} T )の場合、dIは正になります。結果として、あらゆる媒質を通過する放射の強度は_、常にプランクの法則と局所温度によって与えられる黒体放射強度に近づきます。この近づきの速度は、吸収/放出分子の密度 ( n ) とそれらの吸収断面積 ( σλ ₎に依存します。

入射放射の強度Iλ_が黒体放射の強度Bλ ( T )よりはるかに大きい場合、放射項は無視できる。これは通常、試料温度が約 300 K で光源が数千 K のフィラメントで_ある実験室用分光光度計を使用する場合に当てはまる。

${\displaystyle dI_{\lambda }=-n\sigma I_{\lambda }\,ds}$

媒体が均質であれば、nσλ_は場所によって変化しません。長さsの経路に沿って積分すると、実験室実験で最もよく使用されるベールの法則の形式が得られます。

${\displaystyle I_{\lambda }=I_{\lambda }(0)e^{-n\sigma _{\lambda }s}}$

他のフラックスが変化しない場合、エネルギー保存の法則により、地球は（ある定常状態から別の定常状態へ）温暖化し、内向きフラックスと外向きフラックスのバランスが回復するまで温暖化が続きます。シュワルツシルト方程式だけでは、バランスを回復するためにどれだけの温暖化が必要になるかはわかりません。気象学者や気候科学者が「放射伝達計算」または「放射伝達方程式」（RTE）に言及する場合、放出と吸収の現象は、大気を通過する経路に沿ってシュワルツシルト方程式を数値積分することによって処理されます。 天気予報モデルや気候モデルでは、計算時間を最小限に抑えるように最適化されたシュワルツシルト方程式のバージョンが使用されます。シュワルツシルト方程式を使用して計算を実行するオンラインプログラムも利用可能です。

シュワルツシルトの式は、あらゆる高度、特に「大気圏上端」または TOA における地球からの外向き放射束 (表面に垂直な W/m ²で測定) を計算するために使用されます。この放射束は、晴天または雲頂の場合、 地表面 ( I ₀ ) で発生します。dI 増分は、組成と放射束が実質的に均質であるほど薄い層 ( I )ごとに計算されます。これらの増分は、地表面から TOA まで数値的に積分され、宇宙への熱赤外線の放射束、一般に外向き長波長放射 (OLR) と呼ばれます。OLR は、地球が太陽から継続的に供給される熱を放出する唯一のメカニズムです。大気中の温室効果ガスからの放射によって生成される熱赤外線の正味の下向き放射束 (DLR) は、TOA ( I ₀がゼロの場合) から地表面まで dI を積分することによって得られます。DLR は太陽からのエネルギーに加算されます。各層からの放射は、上向きおよび下向きの放射束に等しく加算されます。対照的に、どの層においても上向きの放射束は通常、下向きの放射束よりも大きいため、吸収される放射線の量は異なる。

「ラインごとの」方法では、スペクトル強度の変化 ( dI _λ、 W/sr/m ²  /μm ) は、各吸収線の形状を正確に記述できるほど小さい波長増分 ( 1 nm 未満) を使用して数値的に積分されます。 HITRANデータベースには、47 種類の GHG と 120 種類の同位体について 740 万本の吸収線を記述するために必要なパラメータが含まれています。このデータを処理するために、オンライン機能 SpectralCalc を含むさまざまなプログラムまたは放射伝達コードを使用できます。^{[ 15 ]} 計算負荷を軽減するために、天気予報や気候モデルでは、多数の線を単一の「バンド」として扱う広帯域方法を使用します。^{[ 16 ]} MODTRAN ^{[ 17 ]}は、誰でも使用できるシンプルなインターフェースを備えたオンラインで利用可能な広帯域方法です。

強度 [W/sr/m ² ] をフラックス [W/m ^{2 ] に変換するには、通常、「} 2 ストリーム」近似と「平面平行」近似が計算に用いられます。 ^{[ 13 ] [ 18 ]}放射フラックスは、上向き (+z)、下向き (-z)、および表面に平行な 3 つの成分に分解されます。この 3 番目の成分は、惑星の加熱または冷却には寄与しません。 ${\displaystyle ds=dz/\cos \theta }$、 どこ${\displaystyle \theta }$は天頂角（垂直方向からの角度）です。次に、上向きと下向きの強度を前方半球で積分します。このプロセスは、「拡散係数」または「平均有効天頂角」として53°を使用することで簡略化できます。あるいは、OLRの場合は、地表全体から地表から指定された高さに配置されたセンサーまでのすべての可能な経路で積分するか、DLRの場合は、TOAから地表上のセンサーまでのすべての可能な経路で積分することもできます。