シューア・ワイル双対性

シューア＝ワイル双対性は、一般線型群と対称群の既約な有限次元表現を関連付ける表現論における数学定理である。シューア＝ワイル双対性は、互いを決定する2種類の対称性を含む表現論における典型的な状況を形成する。これは、リー群の表現論の2人の先駆者、この現象を発見したイサイ・シューアと、量子力学と古典群に関する著書でユニタリ群と一般線型群の表現を分類する方法としてこれを普及させたヘルマン・ワイルにちなんで名付けられた。

シューア・ワイル双対性は二重中心化定理を用いて証明できる。^[1]

テンソル空間 を考える

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \cdots \otimes \mathbb {C} ^{n}}$k個の因子を持つ。

k文字の対称群 S k_は、因子を並べ替えることでこの空間（左側）に 作用します。

${\displaystyle \sigma (v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k})=v_{\sigma ^{-1}(1)}\otimes v_{\sigma ^{- 1}(2)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma ^{-1}(k)}.}$

可逆なn × n行列の一般線型群GL _{n は}同時行列乗算によってこれに作用する。

${\displaystyle g(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k})=gv_{1}\otimes gv_{2}\otimes \cdots \otimes gv_{k},\quad g\in {\text{GL}}_{n}.}$

これら2つの作用は交換可能であり、その具体的な形態では、シュール・ワイル双対性は、群S _kとGL _nの共同作用の下で、テンソル空間は、実際には互いを決定する既約な加群（これら2つの群に対して）のテンソル積の直和に分解されると主張している。

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \cdots \otimes \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{D}\pi _{k}^{D}\otimes \rho _{n}^{D}.}$

加数はk 個のボックスと最大n行を持つヤング図 Dによってインデックス付けされ、異なるDを持つS _kの表現は相互に同型ではなく、 GL _nの表現についても同様です。 ${\displaystyle \pi_{k}^{D}}$${\displaystyle \rho_{n}^{D}}$

シュール・ワイル双対性の抽象形は、GL _nとS _kの作用によって生成されるテンソル空間上の2つの作用素の代数が、自己準同型代数における完全な相互中心化子であることを主張する。${\displaystyle \mathrm {End} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \cdots \otimes \mathbb {C} ^{n}).}$

k = 2 かつn が1 より大きいと仮定します。すると、シューア・ワイル双対性は、2 次元テンソルの空間が対称部分と反対称部分に分解され、それぞれがGL _nの既約なモジュールであるという主張になります。

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}=S^{2}\mathbb {C} ^{n}\oplus \Lambda ^{2}\mathbb {C} ^{n}.}$

対称群S ₂は2 つの要素から成り、自明表現と符号表現という 2 つの既約表現を持ちます。S ₂の自明表現は、因子の置換に対して不変 (つまり変化しない) である対称テンソルを生成し、符号表現は、符号を反転する歪対称テンソルに対応します。

まず、次の設定を検討してください。

• G有限群、
• ${\displaystyle A=\mathbb {C} [G]}$Gの群代数、
• ${\displaystyle U}$有限次元右A加群、および
• ${\displaystyle B=\operatorname {End} _{G}(U)}$はUに左から作用し、G (またはA ) の右作用と可換である。言い換えると、は自己準同型環 におけるの中心化子である。${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {End} _{\mathbb {C} }(U)}$

証明には 2 つの代数的補題を使用します。

証明: U はマシュケの定理により半単純であるため、単純A加群への分解が存在します。すると となります。A はGの左正規表現であるため、各単純G加群はAに現れ、 がAの同じ単純因子に対応する場合 (それぞれ 0 の場合) に限ります(それぞれ それ以外の場合)。したがって、次が成り立ちます。 ここで、 の各非ゼロベクトルが空間全体をB加群として生成し、したがって単純であることが簡単にわかります。 (一般に、非ゼロ加群が単純であるためには、その非ゼロ巡回サブ加群のそれぞれが加群と一致する必要があります。)${\displaystyle U=\bigoplus _{i}U_{i}^{\oplus m_{i}}}$${\displaystyle U\otimes _{A}W=\bigoplus _{i}(U_{i}\otimes _{A}W)^{\oplus m_{i}}}$${\displaystyle U_{i}\otimes _{A}W=\mathbb {C} }$${\displaystyle U_{i},W}$${\displaystyle U\otimes _{A}W=(U_{i_{0}}\otimes _{A}W)^{\oplus m_{i_{0}}}=\mathbb {C} ^{\oplus m_{i_{0}}}.}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\oplus m_{i_{0}}}}$${\displaystyle U\otimes _{A}W}$${\displaystyle \square }$

証明: とします。 。また、 Wの像は対称テンソルの部分空間を張ります。 なので、 の像はを張ります。はユークリッド位相またはザリスキー位相のいずれかでWに稠密なので、主張が続きます。${\displaystyle W=\operatorname {End} (V)}$${\displaystyle W\hookrightarrow \operatorname {End} (U),w\mapsto w^{d}=d!w\otimes \cdots \otimes w}$${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{d}(W)}$${\displaystyle B=\operatorname {Sym} ^{d}(W)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$${\displaystyle \square }$

シュール・ワイル双対性が成り立つ。 を対称群とし、有限次元複素ベクトル空間Vのd番目のテンソル冪とする。 ${\displaystyle G={\mathfrak {S}}_{d}}$${\displaystyle U=V^{\otimes d}}$

分割とに対応する既約な -表現をとします。補題1により ${\displaystyle V^{\lambda }}$${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{d}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle m_{\lambda }=\dim V^{\lambda }}$

${\displaystyle S^{\lambda }(V):=V^{\otimes d}\otimes _{{\mathfrak {S}}_{d}}V^{\lambda }}$

は -加群として既約である。さらに、が左半単純分解であるとき、次式が得られる: ^[4]${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$${\displaystyle A=\bigoplus _{\lambda }(V^{\lambda })^{\oplus m_{\lambda }}}$

${\displaystyle V^{\otimes d}=V^{\otimes d}\otimes _{A}A=\bigoplus _{\lambda }(V^{\otimes d}\otimes _{{\mathfrak {S}}_{d}}V^{\lambda })^{\oplus m_{\lambda }}}$、

これは - 加群としての半単純分解である。 ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$

ブラウアー代数は、シューア・ワイル双対性を直交群とシンプレクティック群に一般化する上で対称群の役割を果たします。

より一般的には、分割代数とその部分代数は、シューア-ワイル双対性のいくつかの一般化を生み出します。

• パーティション代数

• フルトン、ウィリアム、ハリス、ジョー(1991)。表現論。最初のコース。数学の大学院テキスト、数学の読書。第 129 巻。ニューヨーク: Springer-Verlag。doi : 10.1007 /978-1-4612-0979-9。ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103.
• ロジャー・ハウ、「不変理論の展望：シューア双対性、多重度フリー作用、そしてそれ以降」シューア講義（1992年）（テルアビブ）、1-182、イスラエル数学会議議事録、 8、バーイラン大学、ラマトガン、1995年。MR 1321638
• Issai Schur、Über eine Klasse von Matrizen、die sich einer gegebenen Matrix zuordnen lassen。論文。ベルリン。 76 S (1901) JMF 32.0165.04
• Issai Schur は、すべてのゲマイネンの直線グループを合理的に実行します。シツングスベリヒテ・アカド。ベルリン 1927、58 ～ 75 (1927) JMF 53.0108.05
• Sengupta, Ambar N. (2012)。「第 10 章: 文字の二重性」。有限群の表現、半単純な入門。Springer。ISBN 978-1-4614-1232-8. OCLC  875741967.
• ヘルマン・ワイル『古典群。その不変量と表現』プリンストン大学出版局、プリンストン、ニュージャージー、1939年。xii+302頁。MR 0000255

• シュール＝ワイル双対性を構成的/組合せ的に証明するにはどうすればよいでしょうか?