佐藤・テイト予想

数学において、佐藤–テイト予想は、有理数上の楕円曲線Eからほぼすべての素数p を法とする簡約によって得られる楕円曲線族E _pに関する統計的記述である。佐藤幹夫とジョン・テイトは1960年頃に独立にこの予想を提起した。

N _{p が}p個の元を持つ有限体上に定義された楕円曲線E _p上の点の数を表す場合、この予想はN _pの2次項の分布に対する答えを与える。楕円曲線に関するハッセの定理により、

${\displaystyle N_{p}/p=1+\mathrm {O} (1/\!{\sqrt {p}})\ }$

として、そしてこの予想のポイントはO 項がどのように変化するかを予測することです。 ${\displaystyle p\to \infty }$

元の予想と、そのすべての完全実体への一般化は、2008年にローラン・クロゼル、マイケル・ハリス、ニコラス・シェパード・バロン、リチャード・テイラーによって軽い仮定の下で証明され、2011年にトーマス・バーネット・ラム、デイヴィッド・ジェラティ、ハリス、テイラーによって完成されました。他の代数多様体や体への一般化はいくつか未解決です。

E を有理数上で複素乗算なしで定義された楕円曲線とする。素数pに対して、θ _{p を}次の式の解として 定義する。

${\displaystyle p+1-N_{p}=2{\sqrt {p}}\cos \theta _{p}~~(0\leq \theta _{p}\leq \pi ).}$

そして、任意の2つの実数とに対して、${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle 0\leq \alpha <\beta \leq \pi ,}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {\#\{p\leq N:\alpha \leq \theta _{p}\leq \beta \}}{\#\{p\leq N\}}}={\frac {2}{\pi }}\int _{\alpha }^{\beta }\sin ^{2}\theta \,d\theta ={\frac {1}{\pi }}\left(\beta -\alpha +\sin(\alpha )\cos(\alpha )-\sin(\beta )\cos(\beta )\right)}$

楕円曲線上のハッセの定理によれば、比

${\displaystyle {\frac {(p+1)-N_{p}}{2{\sqrt {p}}}}={\frac {a_{p}}{2{\sqrt {p}}}}}$

は-1から1の間である。したがって、角度θに対してcosθと表すことができる 。幾何学的には、剰余を構成する2つの固有値があり、分母が与えられている場合、それらは複素共役で絶対値は1 で ある。佐藤-テイト予想^[1]は、 Eが複素乗算を持たない場合、 θの確率測度は

${\displaystyle \sin^{2}\theta \,d\theta .}$^[2]

これは佐藤幹夫とジョン・テイト（それぞれ独立して、1960年頃に出版、やや遅れて）によるものである。 ^[3]

2008年、クロゼル、ハリス、シェパード・バロン、テイラーは、ある素数で乗法簡約を持つという特定の条件を満たす実数体上の楕円曲線に対する佐藤-テイト予想の証明を、3本の共同論文シリーズで発表した^[4]。^{[5] [6] [7]}

さらなる結果は、アーサー・セルバーグのトレース公式の改良形を条件としている。ハリスは、そのような仮説的トレース公式から導かれる2つの楕円曲線（同型ではない）の積の結果の条件付き証明を持っている。 ^{[8] 2011年に、バーネット・ラム、ジェラティ、ハリス、テイラーは、以前の論文の潜在的なモジュラリティの結果を改良することにより、 [9]}重みが2以上の任意の非CM正則モジュラ形式に対する佐藤・テイト予想の一般化バージョンを証明した。^[10]トレース公式に関連する以前の問題は、マイケル・ハリス、^[11]およびサグ・ウー・シンによって解決された。^{[12] [13]}

2015年、リチャード・テイラーは「佐藤・テイト予想における数々の画期的な成果」により数学ブレークスルー賞を受賞した。 ^[14]

エタールコホモロジー上のガロア表現に含まれるガロア群のフロベニウス元の分布を含む一般化がある。特に、種数 n  > 1 の曲線に対する推測理論がある。

Nick KatzとPeter Sarnakによって開発されたランダム行列モデル^[15]によれば、フロベニウス元の（ユニタリ化された）特性多項式とコンパクトリー群USp(2 n ) =  Sp( n )の共役類との間には予想上の対応関係がある。USp (2 n )上のハール測度は予想された分布を与え、古典的な場合はUSp(2) =  SU(2)である。

さらに洗練された記述もある。セルジュ・ラングとヘイル・トロッターのラング・トロッター予想（1976年）は、与えられた値a _pを持つ素数pの漸近的な個数を述べている。 ^[16]式に現れるフロベニウスのトレースである。典型的なケース（複素乗算なし、トレース≠0）では、彼らの式は、 Xまでのpの個数が漸近的に

${\displaystyle c{\sqrt {X}}/\log X\ }$

指定された定数cを持つ。ニール・コブリッツ（1988）は、楕円曲線暗号に着想を得て、E _p上の点の素数qの場合の詳細な予想を示した。^[17] 1999年に、シャンタル・デイヴィッドとフランチェスコ・パッパラルディは、ラング・トロッター予想の平均版を証明した。^{[18] [19]}

• ウィグナー半円分布

• バリー・マズールの報告の背景
• マイケル・ハリスのメモと声明（PDF）
• サト・テイトの予想 [d'après Clozel、Harris、Shepherd-Barron、Taylor]、ブルバキ セミナー 2007 年 6 月、Henri Carayol による (PDF)
• 楕円曲線と佐藤-テイト予想との関係を紹介するビデオ、インペリアル・カレッジ・ロンドン、2014 年 (最後の 15 分)