レスラーアトラクター

固定点を見つけるために、3 つの Rössler 方程式をゼロに設定し、(${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$、${\displaystyle z}$）各固定点の座標は、得られた方程式を解くことによって決定されました。これにより、各固定点の座標の一般式が得られます。^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\begin{cases}x={\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}}\\y=-\left({\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)\\z={\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\end{cases}}}$

これは、与えられたパラメータ値のセットに対する実際の固定点を示すために使用できます。

${\displaystyle \left({\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}},{\frac {-c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}},{\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}},{\frac {-c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}},{\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)}$

上記のロスラーアトラクターの概略図に示すように、これらの固定点のうち1つはアトラクターループの中心に位置し、もう1つはアトラクターから比較的離れた位置にあります。

これらの固定点の安定性は、それぞれの固有値と固有ベクトルを求めることで解析できます。まずヤコビ行列から始めます。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1&-1\\1&a&0\\z&0&x-c\\\end{pmatrix}}}$

固有値は、次の三次方程式を解くことによって求めることができます。

${\displaystyle -\lambda ^{3}+\lambda ^{2}(a+xc)+\lambda (ac-ax-1-z)+x-c+az=0\,}$

中心に位置する固定点の場合、ロスラーの元のパラメータ値である a=0.2、b=0.2、c=5.7 から得られる固有値は次のとおりです。

${\displaystyle \lambda _{1}=0.0971028+0.995786i\,}$

${\displaystyle \lambda _{2}=0.0971028-0.995786i\,}$

${\displaystyle \lambda _{3}=-5.68718\,}$

負の固有値の大きさは、対応する固有ベクトルに沿った引力の強さを表します。同様に、正の固有値の大きさは、対応する固有ベクトルに沿った斥力の強さを表します。

これらの固有値に対応する固有ベクトルは次のとおりです。

${\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}0.7073\\-0.07278-0.7032i\\0.0042-0.0007i\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle v_{2}={\begin{pmatrix}0.7073\\0.07278+0.7032i\\0.0042+0.0007i\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle v_{3}={\begin{pmatrix}0.1682\\-0.0286\\0.9853\\\end{pmatrix}}}$

これらの固有ベクトルにはいくつかの興味深い意味があります。まず、2つの固有値/固有ベクトルのペア（${\displaystyle v_{1}}$そして${\displaystyle v_{2}}$）は、アトラクターのメインディスクで発生する安定した外向きの滑りの原因となります。最後の固有値/固有ベクトルペアは、多様体の中心を通る軸に沿って引き付け、アトラクター内で発生するz方向の動きを説明します。この効果は、下の図で概略的に示されています。

この図は、中心固定点の固有ベクトルを調べています。青い線は、標準的なロスラーアトラクターに対応しています。${\displaystyle a=0.2}$、${\displaystyle b=0.2}$、 そして${\displaystyle c=5.7}$このアトラクターの中心にある赤い点は$FP_1$その固定点と交差する赤い線は、によって生成される反発平面の図解です。${\displaystyle v_{1}}$そして${\displaystyle v_{2}}$緑色の線は、${\displaystyle v_{3}}$マゼンタの線は、吸引固有ベクトル上の点から時間を遡って生成され、その点はわずかに上にある。$FP_1$これは、そのベクトルによって完全に支配される点の挙動を示しています。マゼンタの線は固定点に引き上げられる前にアトラクターの平面にほぼ接していることに注目してください。これは、ロスラーアトラクターの一般的な外観と挙動が、主に吸引と${\displaystyle v_{3}}$そして反発${\displaystyle v_{1}}$そして${\displaystyle v_{2}}$平面。具体的には、ロスラー方程式から生成された数列がループし始めることを意味します。$FP_1$上方に引っ張られ始める${\displaystyle v_{3}}$ベクトルは、ベクトルに向かってわずかに内側に曲がった曲線の上向きの腕を形成し、その後、反発平面に向かって引き戻されるにつれて再び外側に押し出されます。

外れ値の固定点については、Rösslerの元のパラメータ値は${\displaystyle a=0.2}$、${\displaystyle b=0.2}$、 そして${\displaystyle c=5.7}$以下の固有値が得られます。

${\displaystyle \lambda _{1}=-0.0000046+5.4280259i}$

${\displaystyle \lambda _{2}=-0.0000046-5.4280259i}$

${\displaystyle \lambda _{3}=0.1929830}$

これらの固有値に対応する固有ベクトルは次のとおりです。

${\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}0.0002422+0.1872055i\\0.0344403-0.0013136i\\0.9817159\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle v_{2}={\begin{pmatrix}0.0002422-0.1872055i\\0.0344403+0.0013136i\\0.9817159\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle v_{3}={\begin{pmatrix}0.0049651\\-0.7075770\\0.7066188\\\end{pmatrix}}}$

これらの固有値と固有ベクトルはロスラーアトラクターに存在するが、その影響は、初期条件がこの外れ値固定点の​​近傍にあるロスラーシステムの反復に限定される。ただし、初期条件がによって生成される吸引平面上にある場合は例外である。$\displaystyle \lambda _{1}}$そして$\displaystyle \lambda _{2}}$この影響は、結果として生じるシステムを一般的なロスラーアトラクターへと効果的に押し進めることを意味します。結果として生じる数列が中心の固定点とアトラクター自体に近づくにつれて、この遠方の固定点（およびその固有ベクトル）の影響は弱まります。

ポアンカレ写像は、関数が特定の方向に設定された平面を通過するたびにその値をプロットすることによって構築されます。例としては、${\displaystyle y,z}$通過するたびに値${\displaystyle x=0}$飛行機で${\displaystyle x}$負から正に変化しており、これはローレンツアトラクターを研究する際によく行われる。ロスラーアトラクターの場合、${\displaystyle x=0}$飛行機は面白くない、地図は常に${\displaystyle x=0}$飛行機${\displaystyle z=0}$ロスラー方程式の性質により、${\displaystyle x=0.1}$飛行機${\displaystyle a=0.1}$、${\displaystyle b=0.1}$、${\displaystyle c=14}$ポアンカレ地図は上昇傾向を示している${\displaystyle z}$値として${\displaystyle x}$ロスラー図の上昇とねじれ部分により、予想通り増加します。この特定のポアンカレ図の点の数は無限ですが、異なる${\displaystyle c}$値が使用される場合、ポイントの数は変化する可能性があります。たとえば、${\displaystyle c}$値が 4 の場合、ポアンカレ写像上には 1 つの点しかありません。関数は周期 1 の周期軌道を生成するため、または${\displaystyle c}$値が12.8に設定されている場合、周期6の軌道に対応する6つの点が存在することになります。

ローレンツ写像は、軌道上の座標の連続する最大値間の関係を表す。アトラクター上の軌道を考え、${\displaystyle x_{max}(n)}$そのx座標のn番目の最大値とする。すると${\displaystyle x_{max}(n)}$-${\displaystyle x_{max}(n+1)}$散布図はほぼ曲線なので、${\displaystyle x_{max}(n)}$ほぼ正確に予測できる${\displaystyle x_{max}(n+1)}$[ ^{8 ]​}

ローレンツアトラクターに関する最初の論文^{[ 9 ]}では、エドワード・ローレンツは、${\displaystyle z}$直前の局所最大値に対して。視覚化すると、プロットはテントマップに似ており、マップとアトラクターの間で同様の分析を使用できることを示唆している。ロスラーアトラクターの場合、${\displaystyle z_{n}}$局所最大値を次の局所最大値に対してプロットします${\displaystyle z}$最大、${\displaystyle z_{n+1}}$結果として得られるプロット（ここでは、${\displaystyle a=0.2}$、${\displaystyle b=0.2}$、${\displaystyle c=5.7}$）は単峰性であり、歪んだエノン写像に似ている。ロスラーアトラクターを使用して擬似1次元写像を作成できることがわかっているので、同様の解析方法を使用することが妥当である。分岐図は特に有用な解析方法である。

ロスラーアトラクターの挙動は、主にその定数パラメータの値によって決まる。${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、 そして${\displaystyle c}$一般的に、各パラメータを変化させると、システムが周期軌道、固定点に収束したり、無限遠に逃避したりするなど、同様の効果が得られますが、誘発される具体的な範囲と挙動は各パラメータによって大きく異なります。ロスラー系の周期軌道、または「単位サイクル」は、ループの系列が繰り返され始める前に中心点の周りを回るループの数によって定義されます。

分岐図は、ロズラーアトラクターを含む力学系の挙動を分析するための一般的なツールです。分岐図は、システムの方程式を実行し、変数のうち1つを除くすべての変数を一定に保ち、残りの1つを変化させることによって作成されます。そして、過渡的な要因が解消された後、変化させた変数の特定の値が訪れる点をグラフにプロットします。カオス領域は、グラフの塗りつぶされた領域で示されます。

さまざまなb

ここ、${\displaystyle a}$0.2に固定されています。${\displaystyle c}$5.7に固​​定され、${\displaystyle b}$変更。添付の図に示すように、${\displaystyle b}$0 に近づくと、アトラクターは無限大に近づきます (非常に小さい値の場合の上昇に注目してください)${\displaystyle b}$他のパラメータと比較すると、${\displaystyle b}$ 周期3と周期6の軌道が発生する場合、より広い範囲が生成されます。${\displaystyle a}$そして${\displaystyle c}$より高い値${\displaystyle b}$カオス状態ではなく、周期1に収束する。

さまざまなc

ここ、${\displaystyle a=b=0.1}$そして${\displaystyle c}$変化。分岐図は、${\displaystyle c}$周期的だが、すぐに混沌となる${\displaystyle c}$増加します。このパターンは、${\displaystyle c}$増加するにつれて、周期的な部分と混沌とした期間が交互に現れ、周期の長い軌道へと向かう傾向が見られます。${\displaystyle c}$増加します。たとえば、周期 1 の軌道は、次の値でのみ現れます。${\displaystyle c}$4付近で発生し、分岐図では二度と発生しない。周期3でも同様の現象が見られる。${\displaystyle c=12}$周期3の軌道は見つかるが、それ以降は現れない。

変化するアトラクターの範囲を示す図解${\displaystyle c}$これらの値は、これらのパラメータ分析すべてに見られる一般的な挙動、つまり周期性と非周期性の間の頻繁な遷移を示しています。

さまざまなc

c = 4、周期 1

c = 6、周期2

c = 8.5、周期4

c = 8.7、周期8

c = 9、カオス

c = 12、周期3

c = 12.6、周期6

c = 13、カオス

c = 18、カオス

c = 15.4、周期5

上記の画像セットは、過渡期後のロスラー系における変化を示しています。${\displaystyle c}$はさまざまな値の範囲で変化します。これらの画像は以下で生成されました。${\displaystyle a=b=.1}$。

• ${\displaystyle c=4}$周期1軌道。
• ${\displaystyle c=6}$周期2の軌道。
• ${\displaystyle c=8.5}$周期4の軌道。
• ${\displaystyle c=8.7}$周期8の軌道。
• ${\displaystyle c=9}$疎なカオスアトラクター。
• ${\displaystyle c=12}$周期3の軌道。
• ${\displaystyle c=12.6}$周期6の軌道。
• ${\displaystyle c=13}$疎なカオスアトラクター。
• ${\displaystyle c=15.4}$周期5の軌道。
• ${\displaystyle c=18}$、カオスアトラクターを埋め込んだ。