ローテンベルクの礼儀

全音階理論において、ローゼンバーグの妥当性は、矛盾や曖昧さの欠如という重要な概念であり、 1978年にデビッド・ローゼンバーグが一連の独創的な論文で導入した音階の一般理論におけるものです。この概念は、より限定された文脈でジェラルド・バルザーノによって独立して発見され、一貫性と名付けられました。

「ローゼンバーグは、一般的な順序付けがある場合に音階を『厳密に適切』と呼び、曖昧さは許容するが矛盾は許容しない場合に『適切』、矛盾を許容する場合は『不適切』と呼んでいる。」^[1]音階が厳密に適切であるのは、2 段階の音程がすべて 1 段階の音程よりも大きい場合、3 段階の音程がすべて 2 段階の音程よりも大きい場合などです。たとえば、全音階の場合、1 段階の音程は半音 (1) と全音 (2)、2 段階の音程は短音 (3) と長音 (4) の 3 度、3 段階の音程は第 4 音 (5) と全音 (6)、4 段階の音程は第 5 音 (7) と全音 (6)、5 段階の音程は短音 (8) と長音 (9) の 6 度、6 段階の音程は短音 (t) と長音 (e) の 7 度です。したがって、3ステップの音程と4ステップの音程は音程サイズ（三全音）を共有しているため、曖昧さ（「同じように聞こえる2つの[特定の]音程が、異なるコード（一般的な音程）にマッピングされる」^[2]）が生じるため、厳密には適切ではありません。このような音階は単に「適切」と呼ばれます。

たとえば、メジャーペンタトニック スケールは厳密に適切です。

適切だが厳密ではない五音音階は以下の通りである: ^[2]

• {0,1,4,6,8} (リディアンコード)
• {0,2,4,6,8} (全音階)
• {0,1,4,6,9} (ガンマコード)
• {0,2,4,6,9} (属九和音)
• {0,1,3,6,9} (属短九和音)

厳密に正しいペンタトニックスケールは1つです。

• {0,2,4,7,9} (メジャーペンタトニック)

適切だが厳密ではない七音階は以下の通りである: ^[2]

• {0,1,3,4,6,8,9} (ハーモニックマイナースケール)
• {0,1,3,5,6,8,t} (全音階)
• {0,1,3,4,6,8,t} (変更されたスケール)
• {0,1,2,4,6,8,t} (メジャーナポリ音階)

固有音階は、安定性が 1 である音階とも考えられ、安定性は「曖昧でない無向音程の数と無向音程の総数の比」と定義され、この場合、全音階の安定性は20 ⁄ 21となる。^[2]

12 均等音階は、各ステップ数に対して 1 つの音程サイズしかないため、他の平均律音階と同様に厳密に適切です。ほとんどの平均律も適切です。別の例として、音調和声フラグメント5 ⁄ 4、6 ⁄ 4、7 ⁄ 4、8 ⁄ 4は厳密に適切で、1 ステップの音程は8 ⁄ 7から5 ⁄ 4まで、2 ステップの音程は4 ⁄ 3から3 ⁄ 2まで、3 ステップの音程は8 ⁄ 5から7 ⁄ 4までのサイズになります。

ローゼンバーグは、適切な音階は知覚を助ける基準点または基準フレーム（「安定したゲシュタルト」）を提供し、不適切な音階の矛盾には基準点を提供するためにドローンまたはオスティナートが必要であると仮説を立てています。^[3]

不適切な音階の例としては、日本の平調子音階が挙げられます。

半音単位のステップは 2、1、4、1、4 です。1 ステップの音程は、半音の G から A ♭から A ♭までから長 3 度まで変化します。2 ステップの音程は、短 3 度で C から E ♭まで、全音で A ♭から D まで変化します。2 ステップの音程としての短 3 度は、1 ステップの音程として発生する長 3 度よりも小さく、矛盾が生じます (「矛盾は、2 つの特定の音程の順序が、対応する一般的な音程の順序と逆である場合に発生します。」^[2] )。

ローゼンバーグは、非常に一般的な文脈で適切性を定義しましたが、ほとんどすべての目的には、音楽の文脈で周期的音階と呼ばれるもの（実際には数学者が準周期関数と呼ぶものに対応）を考慮すれば十分です。これらは、特定の有限の音符セット内の各音符を一定の固定間隔で高く繰り返す音階です。固定間隔は通常オクターブであり、したがって音階は有限の数のピッチクラスに属するすべての音で構成されます。β _{i が}各整数 i の音階要素を表す場合、β _{i + ℘} = β _i  +  Ωとなり、ここでΩ は通常 1200 セントのオクターブですが、任意の固定セント量にすることができます。 ℘ は Ω 周期内の音階要素の数であり、音階のサイズと呼ばれることもあります。

任意のiについて、音階要素間のiステップの差のすべての集合class( i ) = { β _{n + i}  −  β _n } を考えることができる。通常の方法で、集合の要素の順序付けを集合自体に拡張して、すべてのa ∈ Aおよびb ∈ Bに対してa < bが成り立つ場合のみA < Bであるとすることができる。すると、 i < jであれば class( i ) < class( j ) であるとき、音階は厳密に適切である。i ≤ jであればclass( i ) ≤ class( j ) であるとき、音階は適切である。厳密な適切性は適切性を意味するが、適切な音階は厳密に適切である必要はない。一例は平均律の全音階で、ここでは三全音程は第 4 度クラス (増第 4 度として) と第 5 度クラス (減第 5 度として) の両方に属する。厳密な適切性はバルツァーノの意味での 一貫性と同じである。

Ω を法とする音程クラスclass(i) は、 ℘ を法とするi のみに依存するため、 Ωを法とするピッチクラス用のクラス Class( i )のバージョンも定義できます。これは、一般的な音程と呼ばれます。 Class(i) に属する特定のピッチクラスは、特定の音程と呼ばれます。ユニゾンのクラスClass(0) は、 Ω の倍数のみで構成され、通常は考慮されません。そのため、一般的な音程の数は ℘ − 1 です。したがって、一般的な音程は 1 から ℘ − 1 まで番号が付けられ、任意の 2 つの一般的な音程についてi < jであればclass( i ) < class( j ) となる場合、スケールは適切です。 Class( i )の要素を、ユニゾンと Ω の間に縮小された音程で表す場合は、通常どおりに順序付けて、一般的なクラスについてi < jであれば Class( i ) < Class( j ) となると述べることで適切性を定義できます。この手順は、当初述べられた定義よりかなり複雑ですが、全音集合論では通常、この方法でこの問題に取り組みます。

一般的な 12 音平均律の全音階 (長音階) を考えてみましょう。これは、パターン (半音単位) が 2-2-1-2-2-2-1 です。この音階では、任意の数の音階ステップにまたがる音程は、より少ない音階ステップにまたがる音程よりも狭く (半音数が少なく) なることはありません。たとえば、この音階では 3 度より小さい 4 度音は見つかりません。最小の 4 度音は 5 半音幅で、最大の 3 度音は 4 半音幅です。したがって、全音階は適切です。ただし、より少ない音階度にまたがる音程と同じ数の半音を含む音程があります。増 4 度音 (FGAB) と減 5 度音 (BCDEF) は、どちらも 6 半音幅です。したがって、全音階は適切ですが、厳密には適切ではありません。

一方、 1-3-2-2-2-1-1 のパターンに従う謎の音階を考えてみましょう。この音階には、より少ない音階ステップにまたがる音程よりも狭い音程が見つかる可能性があります。たとえば、6 番目の音階ステップで構築された 4 番目の音程は 3 半音の幅ですが、2 番目の音階ステップで構築された 3 番目の音程は 5 半音の幅です。したがって、謎の音階は適切ではありません。

バルツァーノは、全音階を適切さの観点から特徴づけようとする考えを導入した。 12 平均律には厳密に適切な 7 音階は存在しないが、適切な 5 音階があり、そのうちの 1 つが全音階である。ここでは移調と旋法は別々にカウントされないため、全音階には、任意のピッチで始まる長全音階と自然短音階の両方が含まれる。これらの各音階は、正しく綴られていれば、どのミーントーン調律でもバージョンがあり、5 度が 700セントより低い場合、それらはすべて厳密に適切になる。特に、 19 平均律の 7 つの厳密に適切な 7 音階のうち 5 つは、これらの音階の 1 つである。5 つの音階は以下のとおりである。

• 全音階: CDEFGAB
• メロディックマイナー/上行マイナー/ジャズマイナー: CDE ♭ FGAB
• ハーモニックマイナー： CDE ♭ FGA ♭ B
• ハーモニックメジャー：CDEFGA ♭ B
• メジャー・ロクリアン：CDEFG ♭ A ♭ B ♭

700 セントより低い 5 度を持つミーントーン システムでは、次の厳密に適切なスケールも存在します: CD ♭ EF ♭ GA ♭ B ♭ (フリギア ドミナント ♭ 4スケール)。

全音階、上行短音階、和声的短音階、和声的長音階、そしてこの最後の無名の音階はすべて、さまざまな配置の3つの長3度と4つの短3度の完全な円を含んでいます。ロクリアン長音階には、4つの長3度と2つの短3度の円に加えて、減3度があり、これは7拍子平均律では比率8 ⁄ 7の7拍子長2度に近似します。他の音階はすべて、3つの長3度と4つの短3度の完全な円を持つ音階であり、これは ( 5 ⁄ 4 ) ³ ( 6 ⁄ 5 ) ⁴ = 81 ⁄ 20であり、平均律で2オクターブに調律されているため、平均律を示しています。

最初の 3 つの音階は、一般的な音楽の練習にとって基本的な重要性があり、ハーモニック メジャー スケールが頻繁に使用されます。また、全音階が適切さによって区別されていないことは、全音階練習のバックボーン スケールがすべてそうであるということ ほど興味深いことではないかもしれません^{(誰によると? ) 。}

• ディープスケールプロパティ

• ジェラルド・J・バルザーノ「12倍音と微分音ピッチシステムの群論的記述」、コンピュータミュージックジャーナル4/4（1980）66-84
• ジェラルド・J・バルザーノ「音楽のピッチ知覚を研究するための記述レベルとしてのピッチセット」、マンフレッド・クラインズ編『音楽、心、脳』、プレナム・プレス、1982年
• デイヴィッド・ローゼンバーグ「音楽への応用におけるパターン知覚モデル パートI：順序保存マップとしてのピッチ構造」数学システム理論11（1978）199-234 [1]