ロクリン定理

数学の一分野である4次元位相幾何学において、ロクリン定理は、滑らかで向き付け可能な閉じた4次元多様体 M がスピン構造を持つ（または、同等に、第2のスティフェル・ホイットニー類 が消える）場合、その交差形式、つまり第2のコホモロジー群上の二次形式が16で割り切れるということを述べています。この定理は、1952年に証明したウラジミール・ロクリンにちなんで名付けられました。 ${\displaystyle w_{2}(M)}$ ${\displaystyle H^{2}(M)}$

• M上の交差形式

${\displaystyle Q_{M}\colon H^{2}(M,\mathbb {Z} )\times H^{2}(M,\mathbb {Z} )\rightarrow \mathbb {Z} }$

はポアンカレ双対性により上でユニモジュラであり、 が消えることは交差形式が偶数であることを意味します。Cahit Arfの定理により、任意の偶ユニモジュラ格子は 8 で割り切れる符号を持つため、Rokhlin の定理により、符号を割り切るために 2 の因数が 1 つ余分に必要になります。${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle w_{2}(M)}$

• K3 曲面はコンパクトで 4 次元であり、消え、シグネチャは -16 なので、16 は Rokhlin の定理で可能な最良の数です。${\displaystyle w_{2}(M)}$
• 次数の複素曲面がスピン である場合、かつ が偶数である場合に限ります。これはシグネチャ を持ち、これはフリードリヒ・ヒルツェブルッフのシグネチャ定理からわかります。この場合は、K3 曲面の最後の例に戻ります。${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle (4-d^{2})d/3}$${\displaystyle d=4}$
• マイケル・フリードマンのE8 多様体は、シグネチャ 8 の消失形式と交差形式を持つ単連結コンパクト位相多様体です。ロクリン定理は、この多様体に滑らかな構造がないことを意味します。この多様体は、ロクリン定理が単なる位相的 (滑らかな多様体ではなく) 多様体の集合に対しては当てはまらないことを示しています。${\displaystyle w_{2}(M)}$${\displaystyle E_{8}}$
• 多様体Mが単連結である場合 (またはより一般的には、最初のホモロジー群に 2 捩れがない場合)、 が消えることは交差形式が偶数であることと同値です。これは一般には当てはまりません。エンリケス面はコンパクトで滑らかな 4 多様体であり、シグネチャが −8 (16 で割り切れない) の偶数交差形式 II _{1,9 を}持ちますが、クラスは消えず、 2 番目のコホモロジー群の捩れ元によって表されます。${\displaystyle w_{2}(M)}$${\displaystyle w_{2}(M)}$

ロクリン定理は、球面の 3 番目の安定ホモトピー群 が 24 次巡回であるという事実から導き出されます。これはロクリン独自のアプローチです。 ${\displaystyle \pi_{3}^{S}}$

これはアティヤ・シンガーの指数定理からも導かれます。種数とロクリン定理を参照してください。

Robion Kirby  (1989) は幾何学的な証明を与えている。

ロクリン定理によれば、スピン滑らかな多様体のシグネチャは 16 で割り切れるので、ロクリン不変量の定義は次のように導き出されます。

3 次元多様体と上のスピン構造に対して、におけるRokhlin 不変量は、スピン境界 を持つ任意の滑らかなコンパクト 4 次元スピン多様体のシグネチャとして定義されます。${\displaystyle N}$ ${\displaystyle s}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mu (N,s)}$${\displaystyle \mathbb {Z} /16\mathbb {Z} }$${\displaystyle (N,s)}$

Nがスピン3 多様体の場合、スピン 4 多様体M を境界とします。 Mの符号は8 で割り切れ、ロクリン定理を簡単に適用すると、16 を法とするその値はNのみに依存し、 Mの選択には依存しないことがわかります。 ホモロジー 3 球面は固有のスピン構造を持つため、ホモロジー 3 球面のロクリン不変量をの要素として定義できます。ここで、M はホモロジー球面を境界とする任意のスピン 4 多様体です。 ${\displaystyle \operatorname {sign} (M)/8}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

たとえば、ポアンカレホモロジー球面は、交差形式 のスピン 4 次元多様体を囲むため、そのロクリン不変量は 1 です。この結果には、いくつかの基本的な帰結があります。ポアンカレホモロジー球面は への滑らかな埋め込みを許容せず、マズール多様体を囲みません。 ${\displaystyle E_{8}}$${\displaystyle S^{4}}$

より一般的には、N がスピン3 次元多様体 (たとえば、任意のホモロジー球面)である場合、境界Nを持つ任意のスピン 4 次元多様体Mのシグネチャはmod 16 で明確に定義され、Nの Rokhlin 不変量と呼ばれます。位相 3 次元多様体Nでは、一般化 Rokhlin 不変量は、 N上のスピン構造を定義域とし、 s がN上のスピン構造であるペアの Rokhlin 不変量に評価される関数を指します。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle (N,s)}$

M の Rokhlin 不変量は、 Casson 不変量をmod 2として半分に等しくなります。Casson 不変量は、積分ホモロジー 3 球面の Rokhlin 不変量の Z値リフトとして見られます。

ケルヴェア・ミルノーの定理（ケルヴェア＆ミルノー 1960）は、が滑らかなコンパクト4次元多様体M内の特性球面である場合、 ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \operatorname {signature} (M)=\Sigma \cdot \Sigma {\bmod {1}}6}$。

特性球面は、ホモロジー類がスティーフェル・ホイットニー類を表す埋め込み 2 次元球面です。 がゼロの場合、 を任意の小さな球面とすることができ、その自己交差数は 0 であるため、ロクリン定理が成り立ちます。 ${\displaystyle w_{2}(M)}$${\displaystyle w_{2}(M)}$${\displaystyle \Sigma }$

フリードマン・カービー定理（Freedman & Kirby 1978）は、が滑らかなコンパクト4次元多様体Mの特性面である場合、 ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \operatorname {signature} (M)=\Sigma \cdot \Sigma +8\operatorname {Arf} (M,\Sigma ){\bmod {1}}6}$。

ここで、 は上の特定の二次形式のArf 不変量です。 が球面の場合、この Arf 不変量は明らかに 0 なので、Kervaire-Milnor の定理は特別な場合です。 ${\displaystyle \operatorname {Arf} (M,\Sigma )}$${\displaystyle H_{1}(\Sigma ,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \Sigma }$

フリードマン・カービーの定理を位相的（滑らかなものではなく）多様体へ一般化すると、

${\displaystyle \operatorname {signature} (M)=\Sigma \cdot \Sigma +8\operatorname {Arf} (M,\Sigma )+8\operatorname {ks} (M){\bmod {1}}6}$、

ここで、 はMのカービー・ジーベンマン不変量です。 Mが滑らかな場合、 Mのカービー・ジーベンマン不変量は 0 になります。 ${\displaystyle \operatorname {ks} (M)}$

Armand BorelとFriedrich Hirzebruch は、次の定理を証明しました。Xが4 で割り切れる次元の滑らかなコンパクトスピン多様体である場合、種数は整数であり、Xの次元が 4 mod 8 であっても偶数です。これは、Atiyah–Singer の指数定理から演繹できます。Michael AtiyahとIsadore Singer は、種数は Atiyah–Singer 演算子の指数であり、常に整数であり、4 mod 8 の次元では偶数であることを示しました。4 次元多様体の場合、Hirzebruch の署名定理は、署名が種数の -8 倍であることを示しているため、次元 4 では Rokhlin の定理が成立します。

Ochanine (1980) は、 X が4 次元 mod 8 のコンパクトな有向滑らかなスピン多様体である 場合、そのシグネチャは 16 で割り切れることを証明しました。

• フリードマン、マイケル、カービー、ロビオン(1978)、「ロクリン定理の幾何学的証明」、代数的および幾何学的位相学 (Proc. Sympos. Pure Math.、スタンフォード大学、スタンフォード、カリフォルニア州、1976)、第 2 部、pp. 85–97、Proceedings of Symposia in Pure Mathematics、第 32 巻、プロビデンス、ロードアイランド: アメリカ数学協会、ISBN 0-8218-1432-X、MR  05205​​25
• カービー、ロビオン (1989)、「4次元多様体の位相」、数学講義ノート、第1374巻、シュプリンガー出版、doi :10.1007/BFb0089031、ISBN 0-387-51148-2、MR  1001966
• ケルヴェール、ミシェル A. ;ミルナー、ジョン W. (1960)、「ベルヌーイ数、ホモトピー群、およびローリンの定理」、国際数学者会議の議事録、1958 年、ニューヨーク:ケンブリッジ大学出版局、pp. 454–458、MR  0121801
• ケルヴェール、ミシェル A.; ミルナー、ジョン W. (1961)、「4次元多様体内の2次元球面について」、米国科学アカデミー紀要、第47巻、pp. 1651–1657、MR  0133134
• 松本 洋一郎 (1986) ロクランの署名定理の初等的証明とギヨーとマリンによるその拡張(PDF)
• Michelsohn, Marie-Louise ; Lawson, H. Blaine (1989)、スピンジオメトリ、プリンストン、ニュージャージー：プリンストン大学出版局、ISBN 0-691-08542-0、MR  1031992（特に280ページ）
• Ochanine、Serge、Signature modulo 16、Kervaire généralisés et nombres caractéristiques dans la K-théorie réelle、Mém。社会数学。フランス 1980/81、いいえ。 5、MR  1809832
• ロクリン、ウラジミール A.、4次元多様体の理論における新しい結果、Doklady Acad. Nauk . SSSR (NS) 84 (1952) 221–224。MR 0052101
• スコルパン、アレクサンドル（2005）、4次元多様体のワイルドワールド、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-3749-8、MR  2136212
• Szűcs, András (2003)、「ロクリン定理2つ」、数学科学ジャーナル、113 (6): 888–892、doi :10.1023/A:1021208007146、MR  1809832、S2CID  117175810