ヒル球

ヒル球は、重力の影響圏を計算するための一般的なモデルです。これは、天体( m ) の重力の影響の空間範囲を計算するために最も一般的に使用されるモデルであり、その範囲では、他の天体、特に主天体( M ) の重力の影響を上回ります。^[1]ラプラス球^[1]などの他の重力影響モデルと混同されたり、ロッシュ球と呼ばれたりすることがあります。後者はロッシュ限界^[2]と混同されます。^[3]アメリカの 天文学者 ジョージ・ウィリアム・ヒルがフランスの天文学者エドゥアール・ロッシュの研究に基づいて定義しました。^{[本文では検証されていません]}

より重力的に引きつける天体物体に引きつけられるには（惑星はより質量の大きい恒星に引きつけられ、衛星はより質量の大きい惑星に引きつけられる）、質量の小さい天体は、質量の大きい天体のヒル球面によって表される重力ポテンシャルの範囲内の軌道を持っていなければならない。 ^{[本文では未検証]}その衛星は、今度はそれ自身のヒル球面を持ち、その距離内にある物体は、惑星自体の衛星ではなく、月の衛星になる傾向がある。^{[本文では未検証]}

太陽系の範囲に関する単純な見方の 1 つは、太陽のヒル球(太陽と銀河核または他のより重い恒星との相互作用によって生成される) によって境界が定められているというものです。^{[4] [検証が必要]}より複雑な例は、右の地球のヒル球で、ラグランジュ点 L ₁とL ₂の間に広がっており、^{[明確化が必要]}は、地球とより重い太陽の中心線に沿っています。 ^{[本文では検証されていません]}質量の小さい天体の重力の影響はその方向で最小であるため、ヒル球のサイズの制限要因として機能します。^{[明確化が必要]}その距離を超えると、地球の周りを周回する 3 番目の物体は、少なくとも軌道の一部をヒル球の外側で過ごし、より重い天体である太陽の潮汐力によって徐々に乱され、最終的には太陽を周回することになります。^{[本文では検証されていません]}

重力ポテンシャルを持つ2つの大質量物体と、それらと相互作用する無視できる質量の第3の物体の与えられたエネルギーについて、空間内に通過することのできないゼロ速度面、すなわちヤコビ積分の輪郭を定義できます。^{[本文では未検証]}物体のエネルギーが低い場合、ゼロ速度面は（この制限された3体系の）質量の小さい物体を完全に取り囲みます。つまり、第3の物体は脱出できません。エネルギーが高い場合、1つ以上の隙間またはボトルネックが発生し、第3の物体は質量の小さい物体から脱出し、質量が大きい方の物体の周りの軌道に入ることができます。^{[本文では未検証]}エネルギーがこれら2つのケースの境界にある場合、第3の物体は脱出できませんが、それを閉じ込めるゼロ速度面は、近くのラグランジュ点の1つで質量の小さい物体の周りのより大きなゼロ速度面に接し^{[検証が必要]}、そこに円錐状の点を形成します。^{[明確化が必要] [本文では検証されていません]}質量の小さい物体の反対側では、ゼロ速度面はもう一方のラグランジュ点に近づきます。^{[本文では検証されていません]}

ヒル半径または球面（後者は前者の半径によって定義される^[要出典]）は、「惑星の周囲の領域で、その惑星自身の重力（太陽や他の近くの天体の重力と比較して）が、自然および人工の衛星を引き付ける支配的な力となっている領域」と説明されている。^{[5] [より良い情報源が必要]}

de Pater と Lissauer が述べているように、太陽系のようなシステム内のすべての物体は「互いの重力を感じ」、重力的に相互作用する 2 つの物体の動き (「2 体問題」を構成する) は「完全に積分可能 ([つまり]... 自由度ごとに 1 つの独立した積分または制約が存在する)」であり、したがって正確な解析解が得られるのに対し、3 つ(またはそれ以上) の物体の相互作用は「解析的に推論できない」ため、可能であれば代わりに数値積分による解が必要になります。^{[6] : p.26}これは、3 つの物体のうちの 1 つの質量が無視できるほど小さいため、正式には「制限付き 3 体問題」として知られる 2 体問題としてシステムを近似できる場合を除きます。^{[6] : p.26}

最も単純な例として、2体問題または制限された3体問題（例えば、質量m1のより質量の大きい主天体と、質量m2のより質量の小さい副天体）の場合、ヒル半径または球の概念は、副天体の「重力優位性」のおおよその限界であり、^[6]ヒル球の「範囲」によって定義される限界であり、数学的には次のように表されます。^{[6] : p.29  [7]}

${\displaystyle R_{\mathrm {H} }\approx a{\sqrt[{3}]{\frac {m_{2}}{3(m_{1}+m_{2})}}}}$、

ここで、この表現では、長軸「a」は2つの質量間の「瞬間的な太陽中心距離」として理解することができます（他の場所ではr pと略記されます）。^{[6] : p.29  [7]}

より一般的には、より質量の小さい天体がより質量の大きい天体（太陽の周りを回る惑星など、m1）を周回し、長半径、離心率を持つ場合、近点で計算された質量の小さい天体のヒル半径または球面は、おおよそ次のようになります。^{[8] [非一次情報源が必要] [より良い情報源が必要]}${\displaystyle m2}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle e}$${\displaystyle R_{\mathrm {H} }}$

${\displaystyle R_{\mathrm {H} }\approx a(1-e){\sqrt[{3}]{\frac {m_{2}}{3(m_{1}+m_{2})}}}.}$

離心率が無視できる場合（軌道安定性にとって最も好ましいケース）、この式は上記の式に簡略化されます。^{[引用が必要]}

地球と太陽の例では、地球（5.97 × 10 ²⁴  kg）が太陽の周りを回っている（地球からの距離は 1 億 4,960 万 km (1天文単位、AU) で、質量は1.99 × 10 ³⁰  kgです。したがって、地球のヒル球は約 150 万 km (0.01 AU) まで広がります。地球から 0.38 万 4,000 km の距離にある月の軌道は、地球の重力の影響圏内にあり、そのため太陽の周りを独立して回る軌道に引き込まれる危険はありません。

先ほどの離心率を無視した式は次のように言い換えることができます。

${\displaystyle {\frac {R_{\mathrm {H} }^{3}}{a^{3}}}\approx 1/3{\frac {m2}{M}}}$、 または 、${\displaystyle 3{\frac {R_{\mathrm {H} }^{3}}{a^{3}}}\approx {\frac {m2}{M}}}$

ここで、M は相互作用する質量の合計です。

ヒル半径の式は、二次天体の周りを周回する試験粒子（質量は よりはるかに小さい）に作用する重力と遠心力を等しくすることで求められます。質量と質量の間の距離がであり、試験粒子が二次天体から の距離を周回していると仮定します。試験粒子が一次天体と二次天体を結ぶ線上にある場合、力のバランスは次式を必要とします。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$${\displaystyle m}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r_{\mathrm {H} }}$

${\displaystyle {\frac {Gm}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {GM}{(r-r_{\mathrm {H} })^{2}}}+\Omega ^{2}(r-r_{\mathrm {H} })=0,}$

ここで は重力定数、は二次粒子の一次粒子に対する（ケプラーの）角速度である（ と仮定）。上記の式は次のようにも書ける。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \Omega ={\sqrt {\frac {GM}{r^{3}}}}}$${\displaystyle m\ll M}$

${\displaystyle {\frac {m}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)^{-2}+{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)=0,}$

これを の主要位数への二項展開により次のように表すことができる。 ${\displaystyle r_{\mathrm {H} }/r}$

${\displaystyle {\frac {m}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {M}{r^{2}}}\left(1+2{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)+{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)={\frac {m}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {M}{r^{2}}}\left(3{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)\approx 0.}$

したがって、上記の関係は

${\displaystyle {\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\approx {\sqrt[{3}]{\frac {m}{3M}}}.}$

主星の周りの副星の軌道が楕円形の場合、ヒル半径は遠心（が最大）で最大になり、軌道の近心 で最小になります。したがって、試験粒子（たとえば、小型衛星）の安定性のためには、近心距離でのヒル半径を考慮する必要があります。 ${\displaystyle r}$

の主要な順序に対して、上記のヒル半径は、ラグランジアン点 L ₁から二次点まで の距離も表します。${\displaystyle r_{\mathrm {H} }/r}$

ヒル球は近似値に過ぎず、他の力（放射圧やヤルコフスキー効果など）によって、最終的には物体が球から外れてしまう可能性がある。^[要出典]前述のように、衛星（第3の質量）は、その重力の影響が無視できるほど小さいはずである。^{[6] : p.26ff}

詳細な数値計算により、ヒル球面またはその内側の軌道は長期的には安定していないことが示されています。安定した衛星軌道はヒル半径の 1/2 から 1/3 の内側にのみ存在するようです。^{[引用が必要]}

主星から遠く離れた逆行軌道の安定領域は、主星から遠く離れた順行軌道の安定領域よりも広い。これは木星の周りの逆行衛星の優位性を説明すると考えられていたが、土星では逆行衛星と順行衛星がより均等に混在しているため、理由はより複雑である。^[10]

ヒル球が小さすぎて、物体の周りを周回軌道を維持できなくなる可能性があります。たとえば、宇宙飛行士は 104トンの スペースシャトルを地球から 300 km 上空の軌道に乗せることはできませんでした。なぜなら、その高度にある 104 トンの物体のヒル球の半径はわずか 120 cm で、スペースシャトルよりはるかに小さいからです。このサイズと質量の球は鉛よりも密度が高く、実際、低地球軌道では、球状の物体がヒル球内に収まるためには鉛よりも密度が高くなければなりません。そうでなければ、軌道を維持することはできません。ただし、静止軌道のさらに外側にある衛星は、ヒル球内に収まるために密度が水の 6% 以上あれば十分です。^{[出典が必要]}

太陽系内で、ヒル半径が最も大きい惑星は海王星で、1億1600万km、0.775天文単位である。太陽からの距離が遠いため、木星（ヒル半径は5300万km）に比べて質量が小さいが、十分に補われている。小惑星帯の小惑星のヒル球は22万km（ 1ケレスの場合）に達し、質量が減少するにつれて急速に小さくなる。水星を横切る小惑星で衛星（スクアニット）を持つ66391モシュプのヒル球の半径は22kmである。^[11]

典型的な太陽系外惑星「ホットジュピター」であるHD 209458 b [ ^12]のヒル球半径は593,000 kmで、その物理半径約71,000 kmの約8倍です。太陽系外惑星の中で最も小さいCoRoT-7b [ ^{13]でもヒル球半径（61,000 km）は、その物理半径（約10,000 km）の6倍です。したがって、これらの惑星は、それぞれの}ロッシュ限界内ではないものの、近くに小さな衛星を持つ可能性があります。^[要出典]

次の表と対数プロットは、JPL DE405エフェメリスとNASA太陽系探査ウェブサイトから得られた値を使用して、上記の最初の式（軌道離心率を含む）で計算された太陽系のいくつかの天体のヒル球の半径を示しています。^[14]

• ラプラス球
• 惑星間輸送ネットワーク
• n体問題
• ロッシュ葉
• 影響範囲（天体力学）
• 影響圏（ブラックホール）

• de Pater, Imke & Lissauer, Jack (2015)。「ダイナミクス（三体問題、摂動と共鳴）」。惑星科学（第2版）。ケンブリッジ、イギリス：ケンブリッジ大学出版局。pp. 28–30, 34。ISBN 9781316195697. 2023年7月22日閲覧。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• de Pater, Imke & Lissauer, Jack (2015)。「惑星形成（巨大惑星、惑星の衛星、小惑星の形成）」。惑星科学（第2版）。ケンブリッジ、イギリス：ケンブリッジ大学出版局。539、544ページ。ISBN 9781316195697. 2023年7月22日閲覧。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
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• 丘を登った月が惑星に降りてきた 2008-09-30 にWayback Machineでアーカイブ