微分同相群の表現論

数学において、滑らかな多様体M の微分同相群の表現論の源泉は、 (連結なMの場合) その群がM上に推移的に作用するという最初の観察である。

1975 年にAnatoly Vershik、Israel Gelfand、MI Graevが発表したこの主題に関する調査論文^{[ 1 ]}では、このトピックへの当初の関心は、それ以前の数年間に行われた局所電流代数の理論物理学の研究に起因するとされています。有限構成表現に関する研究は、 RS Ismagilov (1971) とAA Kirillov (1974)の論文で行われました。物理学で関心のある表現は、クロス積C ^∞ ( M )·Diff( M )として記述されます。

したがって、M をn次元連結微分可能多様体とし、x をその上の任意の点とする。Diff( M ) をMの向き保存微分同相群（必要であれば、恒等微分同相写像に同相な写像の恒等成分のみ）とし、Diff _x ¹ ( M )をxの安定化群とする。このとき、Mは同質空間として識別される。

Diff( M )/Diff _x ¹ ( M )。

代数的な観点から言えば、${\displaystyle C^{\infty }(M)}$M上の滑らかな関数の代数であり、${\displaystyle I_{x}(M)}$は、 xでゼロになる滑らかな関数のイデアルです。${\displaystyle I_{x}^{n}(M)}$xにおいてn-1階偏導関数までがゼロとなる滑らかな関数の理想とする。${\displaystyle I_{x}^{n}(M)}$x を固定する微分同相写像の群 Diff _x ¹ ( M ) の下で不変である。n > 0 の場合、群 Diff _x ⁿ ( M ) は、 Diff _x ¹ ( M ) の部分群として定義され、これは の恒等写像として作用する。${\displaystyle I_{x}(M)/I_{x}^{n}(M)}$つまり、下降連鎖があるということだ。

Diff( M ) ⊃ Diff _x ¹ (M) ⊃ ... ⊃ Diff _x ⁿ ( M ) ⊃ ...

ここで、Diff _x ⁿ ( M ) はDiff _x ¹ ( M )の正規部分群であり、これは商群を調べることができることを意味します。

Diff _x ¹ ( M )/Diff _x ⁿ ( M )。

調和解析を用いると、微分同相群上の実数値関数または複素数値関数（いくつかの十分良い位相特性を持つ）は、M上のDiff _x ¹ ( M ) 表現値関数に分解できる。

_{では、Diff x} ¹ ( M )の表現は何でしょうか?群準同型φ: G → Hがある場合、 H表現があれば制限付きG表現が得られるという事実を利用しましょう。したがって、表現があれば

Diff _x ¹ ( M )/Diff _x ⁿ ( M )

_{Diff x} ¹ ( M )の繰り返しを得ることができます。

見てみましょう

差_× ¹（M）/差_× ²（M）

まず、これは一般線形群GL ⁺ ( n , R )と同型です (向きを保存する微分同相写像のみを考慮しているため、行列式は正です)。GL ⁺ ( n , R )の繰り返しは何ですか?

${\displaystyle GL^{+}(n,\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{+}\times SL(n,\mathbb {R} )}$。

SL( n , R )の表現は、 n次元のテンソルであることはわかっています。では、R ^{+ の}部分はどうでしょうか？これは密度に対応します。言い換えれば、テンソルがxにおける微分同相写像のヤコビ行列の行列式の下でどのように再スケーリングされるかということです。（共形重みと考えてください。ただし、ここには共形構造はありません。）（ちなみに、複素密度を持つことを妨げるものは何もありません。）

つまり、微分同相群のテンソル表現（密度付き）を発見したばかりです。

見てみましょう

Diff _x ¹ ( M )/Diff _x ⁿ ( M )。

これは有限次元群です。鎖は次のようになります。

Diff _x ¹ ( M )/Diff _x ¹ ( M ) ⊂ ... ⊂ Diff _x ¹ ( M )/Diff _x ⁿ ( M ) ⊂ ...

ここで「⊂」記号は本来、単射準同型を意味するものと解釈すべきですが、それが標準的であるため、これらの商群が互いに埋め込まれていると仮定することができます。

の代表者

差_x ¹ ( M )/差_x ^m ( M )

自動的にレプリカに変換できます

差分_x ¹ / 差分_x ⁿ ( M )

n > m の場合。 の代表があるとしましょう。

差_x ¹ / 差_x ^{p + 2}

これは、

差分_x ¹ / 差分_x ^{p + 1}。

次に、その表現をファイバーとするファイバー束（つまり、Diff _x ¹ /Diff _x ^{p + 2}が構造群）を、次数pのジェット束と呼びます。

補足: これは実際には誘導表現の方法であり、小さい方のグループは Diff _x ¹ (M) で、大きい方のグループは Diff( M ) です。

一般に、テンソル束とジェット束の断面の空間は既約表現であり、我々はしばしばそれらの部分表現を考察する。これらの表現の構造は、それらの間の絡み合いを調べることによって研究することができる。

ファイバーが Diff _x ¹ ( M ) の既約表現でない場合、各ファイバーを点ごとに小さな商表現に写像する非ゼロのインターツインヤーが存在する。また、外微分は微分形式の空間からより高次の別の空間へのインターツインヤーである。(他の微分はそうではない。接続は微分同相写像の下で不変ではないが、共変である。)偏微分は微分同相写像不変ではない。次数pのジェットバンドルのセクションを次数p  +  1のジェットバンドルのセクションに取り込む微分インターツインヤーが存在する。