複雑なビームパラメータ

光学において、複素ビームパラメータは、ビーム軸に沿った特定の点 z におけるガウスビームの特性を指定する複素数です。通常はqで表されます。ビームの真空波長λ ₀、位相面の曲率半径R 、屈折率n (空気の場合はn =1)、ビーム半径w (1/ e ²強度で定義) から次のように計算できます。^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{q(z)}}={\frac {1}{R(z)}}-{\frac {i\lambda _{0}}{\pi nw(z) ^{2}}}}$。

あるいは、qは次のように計算できる。

${\displaystyle q(z)=z+{\frac {i\pi nw_{0}^{2}}{\lambda _{0}}}=z+z_{\mathrm {R} }i\ ,}$^[1]

ここで、zはビームウェストの位置を基準としたqが計算される位置、z _Rはレイリー距離、iは虚数単位です。

複素ビームパラメータは通常、光線伝達行列解析で使用されます。光線伝達行列解析では、光線行列と初期の複素ビームパラメータがわかっている場合に、光学系を伝搬する任意のポイントでのビーム特性を計算できます。この同じ方法は、安定した光共振器の基本モードサイズを見つけるためにも使用できます。

初期のビームパラメータq _iが与えられれば、光学系の光線転送行列を使用して、ビームがシステムを通過した後のビームパラメータq _fを求めることができる。 ^[1]${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle q_{f}={\frac {Aq_{i}+B}{Cq_{i}+D}}}$。

この式はqの逆数で表現すると便利なことが多い。^[1]

${\displaystyle {1 \over q_{f}}={\frac {C+D/q_{i}}{A+B/q_{i}}}}$。

自由空間での伝播の効果は、移動した軸方向距離Δzを複素ビームパラメータに追加しただけである： ^[2]

${\displaystyle q_{f}=q_{i}+\Delta z}$。

単純な非点収差の基本ガウスビームの場合、 ^[3]接線面と矢状面のqパラメータは独立しています。ただし、これらの面がビームが当たる面の主方向と一致しない場合は当てはまりません。その場合は一般非点収差と呼ばれます。^[3]入射角θ _iの式は、MasseyとSiegmanの1969年の論文で導出されました。^[4]

反射的にABCDマトリックスは次のようになる：^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{t}&={\begin{pmatrix}1&0\\{\frac {2}{R_{I}\cos \theta _{i}}}&1\end{pmatrix}},&M_{t}&={\begin{pmatrix}1&0\\{\frac {2\cos \theta _{i}}{R_{S}}}&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

屈折に関するものは以下のとおりです: ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{t}&={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {n_{r}^{2}-\sin ^{2}\theta _{i}}}{n_{r}\cos \theta _{i}}}&0\\{\frac {\cos \theta _{i}-{\sqrt {n_{r}^{2}-\sin ^{2}\theta _{i}}}}{R_{I}\cos \theta _{i}{\sqrt {n_{r}^{2}-\sin ^{2}\theta _{i}}}}}&{\frac {\cos \theta _{i}}{\sqrt {n_{r}^{2}-\sin ^{2}\theta _{i}}}}\end{pmatrix}},&M_{t}&={\begin{pmatrix}1&0\\{\frac {\cos \theta _{i}-{\sqrt {n_{r}^{2}-\sin ^{2}\theta _{i}}}}{R_{S}n_{r}}}&{1 \over n_{r}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

安定した光共振器の複素ビームパラメータを求めるには、キャビティの光線行列を求める必要があります。これは、キャビティ内のビームの経路をトレースすることによって行われます。開始点を想定し、ビームが開始点と同じ位置と方向になるまでキャビティを通過して戻る行列を求めます。この行列とq _i = q _fとすることで、次のような二次方程式が形成されます。

${\displaystyle C{q_{f}}^{2}+(DA)q_{f}-B=0}$。

この方程式を解くと、キャビティ内の選択した開始位置のビーム パラメータが得られ、伝播することで、キャビティ内の他の任意の位置のビーム パラメータを見つけることができます。

• Kochkina, Evgenia (2013).基本モードでの非点収差および非点収差ガウスビーム: ビームモデルの選択が干渉経路長信号推定に与える影響(PhD). ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ・ハノーバー大学.