ラマヌジャンのマスター定理

これは、被積分関数の級数展開に連続する整数指数が含まれる積分の関数級数展開、積分、および積分公式です。^{[ 10 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&f(y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\ \varphi (n)\ y^{n}\\&\int _{0}^{\infty }y^{c-1}f(y)\,dy\\&=\int _{0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\ \varphi (n)\ y^{n+c-1}dy\\&=\Gamma (-n^{\ast })\,\varphi (n^{\ast }).\end{aligned}}}$$ パラメータ${\displaystyle n^{\ast }}$これは、この線形方程式の解です。 $${\displaystyle n^{\ast }+c=0,\ n^{\ast }=-c}$$

置換を適用する${\textstyle y=x^{a}}$被積分関数の級数展開に連続する整数指数が含まれていない可能性のある積分の関数級数展開、積分、および積分公式を生成します。^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\ \varphi (n)\ x^{an}\\&\int _{0}^{\infty }x^{c-1}f(x)\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\ \varphi (n)\ x^{an+c-1}dx\\&=a^{-1}\ \Gamma (-n^{\ast })\,\varphi (n^{\ast }).\\\end{aligned}}}$$ パラメータ${\textstyle n^{\ast }}$これは、この線形方程式の解です。 $${\displaystyle a\ n^{\ast }+c=0,\ n^{\ast }=-a^{-1}c}$$

これは、被積分関数の級数展開に連続する整数指数が含まれる二重積分の関数級数展開、積分、および積分公式です。^{[ 11 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&f(y_{1},y_{2})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n_{1}}}{n_{1}!}}{\frac {(-1)^{n_{2}}}{n_{2}!}}\ \varphi (n_{1},n_{2})\ y_{1}^{n_{1}}\ y_{2}^{n_{2}}\\&\int _{0}^{\infty }y_{1}^{c_{1}-1}y_{2}^{c_{2}-1}\ f(y_{1},y_{2})\ dy_{1}\ dy_{2}\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\sum _{n_{2}=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n_{1}}}{n_{1}!}}{\frac {(-1)^{n_{2}}}{n_{2}!}}\ \varphi (n_{1},n_{2})\ y_{1}^{n_{1}+c_{1}-1}\ y_{2}^{n_{2}+c_{2}-1}\ dy_{1}\ dy_{2}\\&=\Gamma (-n_{1}^{\ast })\ \Gamma (-n_{2}^{\ast })\ \varphi (n_{1}^{\ast },n_{2}^{\ast }).\\\end{aligned}}}$$ パラメータ${\textstyle n_{1}^{\ast }}$そして${\textstyle n_{2}^{\ast }}$これらは、これらの線形方程式の解です。 $${\displaystyle n_{1}^{\ast }+c_{1}=0,\ n_{2}^{\ast }+c_{2}=0,\ n_{1}^{\ast }=-c_{1},\ n_{2}^{\ast }=-c_{2}}$$

このセクションでは、被積分関数の級数展開に連続する整数指数が含まれていない二重積分の積分公式について説明します。 行列には、被積分関数の級数展開における指数を表すために必要なパラメータと、可逆行列の行列式が含まれています。${\textstyle A}$は${\textstyle \det |A|}$[ ^{12 ]​}$${\displaystyle A={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}},\ C={\begin{vmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{vmatrix}},\ \ N^{\ast }={\begin{vmatrix}n_{1}^{\ast }\\n_{2}^{\ast }\end{vmatrix}}}$$ 置換を適用する$${\displaystyle y_{1}=x_{1}^{a_{11}}x_{2}^{a_{21}},\quad y_{2}=x_{1}^{a_{12}}x_{2}^{a_{22}}}$$被積分関数の級数展開に連続する整数指数が含まれていない二重積分の関数級数展開、積分、および積分公式を生成します。^{[ 11 ]} 積分および積分公式は次のとおりです。 ^{[ 13 ] [ 14 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\sum _{n_{2}=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n_{1}}}{n_{1}!}}{\frac {(-1)^{n_{2}}}{n_{2}!}}\ \varphi (n_{1},n_{2})\ x_{1}^{n_{1}a_{11}+n_{2}a_{12}+c_{1}-1}\ x_{2}^{n_{1}a_{21}+n_{2}a_{22}+c_{2}-1}\ dx_{1}\ dx_{2}\\&=\det |A|^{-1}\ \Gamma (-n_{1}^{\ast })\ \Gamma (-n_{2}^{\ast })\ \varphi (n_{1}^{\ast },n_{2}^{\ast }).\end{aligned}}}$$ パラメータ行列${\textstyle N^{\ast }}$これはこの線形方程式の解である。^{[ 15 ]}$${\displaystyle AN^{\ast }+C=0,\ N^{\ast }=-A^{-1}C}$$。

場合によっては、変数の数よりも和の数が多くなることがあります。例えば、被積分関数が共通の単一変数の3つの関数の積であり、それぞれの関数が級数展開の和に変換される場合、被積分関数は3つの和の積となり、それぞれの和は異なる級数展開に対応します。

• 括弧の数は、積分に関連付けられた線形方程式の数です。この用語は、各線形方程式を括弧で囲むという一般的な慣習を反映しています。^{[ 16 ]}
• 複雑度指数は、被積分関数の和の数から括弧（線形方程式）の数を引いたものです。被積分関数の各級数展開は1つの和に寄与します。^{[ 16 ]}
• 総和指標（変数）は、級数展開における項を示す指標です。この例では、総和指標は 3 つあります。${\textstyle n_{1},n_{2}}$そして${\textstyle n_{3}}$被積分関数は3つの級数展開の積であるためです。^{[ 17 ]}
• 自由総和インデックス（変数）とは、すべての積分を完了した後に残る総和インデックスのことです。積分は、級数展開（和）を積分式に置き換えることで、被積分関数内の和の数を減らします。したがって、積分後には総和インデックスの数が少なくなります。選択された自由総和インデックスの数は、複雑性インデックスに等しくなります。^{[ 17 ]}

自由総和指数${\textstyle {\bar {n}}_{1},\ldots ,{\bar {n}}_{f}}$集合の要素である${\textstyle F}$自由総和指標の行列は${\textstyle {\bar {N}}}$そして、自由総和指標の係数は行列である${\textstyle {\bar {A}}}$。 $${\displaystyle {\bar {A}}={\begin{vmatrix}{\bar {a}}_{11}&\ldots &{\bar {a}}_{1f}\\\vdots &&\vdots \\{\bar {a}}_{b1}&\ldots &{\bar {a}}_{bf}\end{vmatrix}},\ {\bar {N}}={\begin{vmatrix}{\bar {n}}_{1}\\\vdots \\{\bar {n}}_{f}\end{vmatrix}}}$$ 残りのインデックスは設定されます${\textstyle B}$インデックスを含む${\textstyle n_{1},\ldots ,n_{b}}$行列 ${\textstyle A,C}$そして${\textstyle N^{\ast }}$非加算インデックスと乗算または加算される行列要素を含む。選択された自由加算インデックスは行列から出る必要がある。${\textstyle A}$単数形ではない。 $${\displaystyle A={\begin{vmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1b}\\\vdots &&\vdots \\a_{b1}&\ldots &a_{bb}\end{vmatrix}},\ C={\begin{vmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{b}\end{vmatrix}},\ \ N^{\ast }={\begin{vmatrix}n_{1}^{\ast }\\\vdots \\n_{b}^{\ast }\end{vmatrix}}}$$これは関数の級数展開、積分、および積分公式です。^{[ 18 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&f(x_{1},\ldots ,x_{b})\\&=\sum _{n\in B}^{\infty }\sum _{{\bar {n}}\in F}^{\infty }{\frac {(-1)^{n_{1}}}{n_{1}!}}{\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{1}}}{{\bar {n}}_{1}!}}\ldots {\frac {(-1)^{n_{b}}}{n_{b}!}}{\frac {(-1)^{\bar {n_{f}}}}{{\bar {n}}_{f}!}}\varphi (n_{1},\ldots ,n_{b},{\bar {n}}_{1},\dots ,{\bar {n}}_{f})\prod _{x_{k}\in B}x_{k}^{n_{1}a_{k1}+\dots +{\bar {n}}_{1}{\bar {a}}_{k1}+\dots +c_{k}-1}\\&\int _{0}^{\infty }\ldots \int _{0}^{\infty }x^{c_{1}-1}\dots x^{c_{b}-1}f(x_{1},\ldots ,x_{b})\ dx_{1}\ldots dx_{b}\\&=\det |A|^{-1}\sum _{{\bar {n}}\in F}^{\infty }{\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{1}}}{{\bar {n}}_{1}!}}\ldots {\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{f}}}{{\bar {n}}_{f}!}}\ \Gamma (-n_{1}^{\ast })\ldots \Gamma (-n_{b}^{\ast })\ \varphi (n_{1}^{\ast },\ldots ,n_{b}^{\ast },{\bar {n}}_{1},\dots ,{\bar {n}}_{f}).\end{aligned}}}$$ パラメータ${\textstyle n_{1}^{\ast },\ldots ,n_{b}^{\ast }}$パラメータの線形関数である${\textstyle {\bar {n}}_{1}^{\ast },\ldots ,{\bar {n}}_{f}^{\ast }}$[ ^{19 ]​}$${\displaystyle A\ N^{\ast }+{\bar {A}}\ {\bar {N}}+C=0,\ N^{\ast }=-A^{-1}({\bar {A}}\ {\bar {N}}+C)}$$。

括弧法を用いると、この積分を積分できます。 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{3/2}\ e^{-x^{3}/2}\ dx}$$

1. 被積分関数をべき級数で表しなさい。$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }2^{-n}\ {\frac {(-1)^{n}}{n!}}\ x^{(3\cdot n+5/2)-1}\ dx}$$
2. べき級数を括弧級数に変換します。 $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{-n}\ \phi (n)\cdot \left\langle 3\ n+{\frac {5}{2}}\right\rangle }$$
3. 複雑度指数、数式パラメータ、および級数係数関数を取得します。

複雑度指数はゼロです。

${\textstyle 3\ n^{\ast }+5/2=0}$

${\textstyle n^{\ast }=-5/6,\ a=3}$

${\textstyle \varphi (n)=2^{-n}}$。

4. 表2を用いて積分を計算してください。

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{3/2}\cdot e^{-x^{3}/2}\ dx}$$$${\displaystyle =a^{-1}\ \Gamma (-n^{\ast })\ \varphi (n^{\ast })}$$$${\displaystyle ={\frac {\Gamma \left({\frac {5}{6}}\right)\ 2^{5/6}}{3}}}$$

括弧法を用いると、この積分を積分できます。 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(1+x^{3}+x^{5})^{1/2}}}\ dx}$$ 1. 被積分関数をべき級数で表します。べき乗の公式を使用します。 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sum _{n_{1},n_{2},n_{3}}\ {\frac {1}{\sqrt {\Gamma (1/2)}}}\phi _{123}1^{n_{1}}x^{5n_{2}+3n_{3}}\langle n_{1}+n_{2}+n_{3}+1/2\rangle \ dx}$$ 2. べき級数を括弧級数に変換する。 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sum _{n_{1},n_{n},n_{3}}{\frac {1}{\sqrt {\Gamma (1/2)}}}\phi _{123}\langle 5\ n_{2}+3\ n_{3}+1\rangle \langle n_{1}+n_{2}+n_{3}+1/2\rangle }$$ 3. 複雑度指数、数式パラメータ、および級数係数関数を取得します。

計算の複雑さの指標は1で、和が3つと括弧が2つあります。

選択${\textstyle n_{3}}$無料インデックスとして、${\textstyle {\bar {n}}_{3}}$線形方程式、解、行列式、級数係数は以下のとおりです。

$${\displaystyle 5n_{2}^{\ast }+3{\bar {n}}_{3}+1=0,\ n_{1}^{\ast }+n_{2}^{\ast }+{\bar {n}}_{3}+1/2=0}$$$${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&1\\0&5\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}n_{1}^{\ast }\\n_{2}^{\ast }\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}1\\3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\bar {n}}_{3}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}1/2\\1\end{vmatrix}}=0}$$$${\displaystyle AN^{\ast }+{\bar {A}}{\bar {N}}+C=0}$$$${\displaystyle \det |A|=5}$$$${\displaystyle n_{1}^{\ast }=-{\frac {2}{5}}{\bar {n}}_{3}-{\frac {3}{10}},\ n_{2}^{\ast }=-{\frac {3}{5}}{\bar {n}}_{3}-{\frac {1}{5}}.}$$$${\displaystyle \varphi (n_{1}^{\ast },n_{2}^{\ast },{\bar {n}}_{3})={\frac {1}{\sqrt {\Gamma (1/2)}}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}}$$ 4. 表2を用いて積分を計算する $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(1+x^{3}+x^{5})^{1/2}}}\ dx\\&=\sum _{{\bar {n}}_{3}=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{3}}}{{\bar {n}}_{3}!}}\det |A|^{-1}\Gamma (-n_{1}^{\ast })\Gamma (-n_{2}^{\ast })\varphi (n_{1}^{\ast },n_{2}^{\ast },{\bar {n}}_{3})\\&=\sum _{{\bar {n}}_{3}=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{3}}}{{\bar {n}}_{3}!}}{\frac {\Gamma ({\frac {2}{5}}{\bar {n}}_{3}+{\frac {3}{10}})\Gamma ({\frac {3}{5}}{\bar {n}}_{3}+{\frac {1}{5}})}{5{\sqrt {\pi }}}}\end{aligned}}}$$