等価半径

応用科学において、等価半径（または平均半径）は、円形または球形ではない物体と同じ周囲、面積、または体積を持つ円または球の半径です。等価直径（または平均直径）（）は、等価半径の 2 倍です。 ${\displaystyle D}$

半径Rの円の周囲はである。円形でない物体Pの周囲が与えられれば、その周囲に相当する半径は次のように 計算できる。${\displaystyle 2\pi R}$

${\displaystyle P=2\pi R_{\text{平均}}}$

または、代わりに:

${\displaystyle R_{\text{平均}}={\frac {P}{2\pi }}}$

例えば、辺がLの正方形の周囲は である。その周囲を円の周囲と等しくすると、次のようになる。 ${\displaystyle 4L}$

${\displaystyle R_{\text{mean}}={\frac {2L}{\pi }}\approx 0.6366L}$

用途:

• 米国の帽子のサイズは、頭の円周をインチで測定し、円周率で割り、最も近い1/8インチに丸めます。これは1D平均直径に相当します。^[1]
• 胸高直径は、高さ4.5フィートで測定した樹幹の円周を円周率で割ったものです。これは1D平均直径に相当します。これは巻尺で直接測定できます。^[2]

半径Rの円の面積はである。円形でない物体Aの面積が与えられれば、その面積相当半径は次のように 計算できる。${\displaystyle \pi R^{2}}$

${\displaystyle A=\pi R_{\text{平均}}^{2}}$

または、代わりに:

${\displaystyle R_{\text{平均}}={\sqrt {\frac {A}{\pi }}}}$

多くの場合、考慮される領域は断面の領域です。

例えば、辺の長さがLの正方形の面積は である。その面積を円の面積と等しくすると、次のようになる。 ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle R_{\text{mean}}={\sqrt {\frac {1}{\pi }}}L\approx 0.3183L}$

同様に、長半径と短半径を持つ楕円の平均半径は です。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$${\displaystyle R_{\text{平均}}={\sqrt {a\cdot b}}}$

円の場合、これは と簡略化されます。 ${\displaystyle a=b}$${\displaystyle R_{\text{mean}}=a}$

用途:

• 水力直径も同様に、パイプの断面積Aの4倍を「濡れた」周囲長 Pで割ったものとして定義されます。半径Rの円形パイプの場合、全流量では、これは次のようになります。

${\displaystyle D_{\text{H}}={\frac {4\pi R^{2}}{2\pi R}}=2R}$

予想通りです。これは上記の2D平均直径の定義に相当します。しかし、歴史的な理由から、水力半径はパイプの断面積Aをその濡れ周囲長Pで割ったものとして定義され、水力半径は2D平均半径の半分になります。 ^[3]${\displaystyle D_{\text{H}}=4R_{\mathbb {H} }}$

• 骨材分類において、等価直径とは「等しい骨材断面積を持つ円の直径」であり、次のように計算される。多くのデジタル画像処理プログラムで使用されている。^[4]${\displaystyle D=2{\sqrt {\frac {A}{\pi }}}}$

半径Rの球の体積はである。球体でない物体の体積Vが与えられれば、その体積相当半径は次のように 計算できる。${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi R^{3}}$

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi R_{\text{平均}}^{3}}$

または、代わりに:

${\displaystyle R_{\text{平均}}={\sqrt[{3}]{\frac {3V}{4\pi }}}}$

例えば、辺の長さがLの立方体の体積は である。その体積を球の体積と等しくすると、次のようになる。 ${\displaystyle L^{3}}$

${\displaystyle R_{\text{mean}}={\sqrt[{3}]{\frac {3}{4\pi }}}L\approx 0.6204L}$

同様に、軸、を持つ三軸楕円体の平均半径は です。^[5]回転楕円体の公式は の特別なケースです。同様に、軸 、 を持つ扁平球または回転楕円体の平均半径は です。^{[6] の}球体の場合、これは と簡略化されます。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle R_{\text{平均}}={\sqrt[{3}]{a\cdot b\cdot c}}}$${\displaystyle a=b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle c}$${\displaystyle R_{\text{平均}}={\sqrt[{3}]{a^{2}\cdot c}}}$${\displaystyle a=b=c}$${\displaystyle R_{\text{mean}}=a}$

用途:

• 地球は、半径が6 378.1 kmと6 356.8 km、3D平均半径はである。^[6]${\displaystyle R={\sqrt[{3}]{6378.1^{2}\cdot 6356.8}}=6371.0{\text{ km}}}$

正積半径は、楕円体などの 立体図形の表面積に相当する半径です。

接触円と接触球は、それぞれ平面図形と立体図形 の特定の接点における曲率等価半径を定義します。

• アンテナ等価半径
• 雲滴有効半径
• 立方平均
• 地球楕円体
• 地球の半径
• 銀河の有効半径
• ジオイド
• 幾何平均
• 半径