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数学解析において、ハンス・ラデマッハーにちなんで名付けられたラデマッハーの定理は、次のように述べている。U が R n の開集合であり、f : U → R m がリプシッツ連続であるならば、fはUのほとんどすべての点で微分可能である。すなわち、fが微分可能でないUの点は、ルベーグ測度がゼロの集合を形成する。ここでの微分可能性とは、線形写像による無限小近似可能性を指し、特に座標ごとの偏微分の存在を主張する。
ラデマッハーの定理の1次元の場合については、測度論的解析の入門書では標準的な結果として扱われています。[ 1 ]この文脈では、有界変動の任意の1変数関数はほとんど至るところで微分可能であるという、より一般的な主張を証明するのが自然です。（このラデマッハーの定理の1次元への一般化は、より高次元には拡張できません。）
一般的なラデマッハーの定理の標準的な証明の 1 つは、チャールズ・モレーによって発見されました。[ 2 ]以下では、u をR n上のリプシッツ連続関数とします。証明の最初のステップは、任意の固定された単位ベクトルvに対して、uのv方向微分がほとんど至る所に存在することを示すことです。これは、フビニの定理の特殊な場合の結果です。R nの可測集合は、v に平行なすべての直線への制限が (1 次元の) ルベーグ測度がゼロである場合に、ルベーグ測度がゼロになります。特に、u の v 方向微分が存在しない R nの集合 (可測であることを証明する必要があります) を考えると、後者の条件は、ラデマッハーの定理の 1 次元の場合により満たされます。
モレーの証明の第2段階では、 uのv方向微分がvに線形依存することを確立する。これは次の恒等式に基づいている。
uに関するリプシッツ条件を用いると、優収束定理を適用して、上記の式の2 つの差分商を対応するv方向微分に置き換えることができます。次に、 ζのv方向微分がvに対して線形に依存することが知られていることから、変分法の基本補題を用いてuについても同様のことが証明できます。
証明のこの段階では、勾配（偏微分のn組として定義される）はほぼ至る所に存在することが保証されています。各vに対して、vとの内積はほぼ至る所でv方向微分に等しくなります（ただし、より小さな集合上である可能性があります）。したがって、任意の可算個の単位ベクトルv 1、v 2、 ...に対して、勾配と各v i方向微分がEの補集合上の至る所に存在し、内積によって結び付けられるような測度ゼロの集合Eが1 つ存在します。v 1、v 2、 ...を単位球面上で稠密に選択することにより、リプシッツ条件を使用して、Eの補集合上の至る所ですべての方向微分が存在すること、およびそれが勾配と方向との内積として表現されることを証明できます。
モレーの証明は、一般化微分の文脈にも位置づけることができる。[ 3 ]また、別の証明も、一次元の場合への還元を通して、近似極限の技術を用いている。[ 4 ]
ラデマッハーの定理を用いると、任意のp ≥ 1に対して、ソボレフ空間W 1, p ( Ω )は、標準形式の連鎖律が成り立つ領域の双リプシッツ変換の下で保存されることを証明できる。 [ 5 ]適切な修正を加えることで、これはより一般的なソボレフ空間W k , p ( Ω )にも拡張できる。[ 6 ]
ラデマッハーの定理は、幾何学的測度論や可測集合の研究においても重要であり、特に接平面や法線ベクトルといった1階微分幾何学の解析を可能にする。 [ 7 ]曲率などの高階概念は、その通常の定義がラデマッハーの定理で達成される以上の微分可能性を必要とするため、より微妙なままである。凸性が存在する場合、2階微分可能性はアレクサンドロフの定理によって達成され、その証明はラデマッハーの定理の証明をモデルにすることができる。いくつかの特殊なケースでは、ラデマッハーの定理が証明の一部として使用されることさえある。[ 8 ]
アルベルト・カルデロンは、 ΩがR nの有界開集合である場合、 p > nであれば、ソボレフ空間W 1, p ( Ω )のすべての関数はほとんど至るところで微分可能であるという、より一般的な事実を証明した。[ 9 ]カルデロンの定理は、ルベーグ微分定理とソボレフ埋め込み定理の比較的直接的な系である。ラデマッハーの定理は、 Ω上の任意のリプシッツ関数が空間W 1,∞ ( Ω )の要素であるという事実による特殊なケースである。[ 9 ]
ラデマッハーの定理には、通常の微分ではなく計量微分を用いて、ユークリッド空間から任意の計量空間へのリプシッツ関数に対して成り立つバージョンが存在する。
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