RL回路

抵抗器-インダクタ回路（RL回路）、またはRLフィルタ、RLネットワークは、電圧源または電流源によって駆動される抵抗器とインダクタで構成される電気回路です。^[1] 1次RL回路は、電圧源によって直列に駆動されるか、電流源によって並列に駆動される1つの抵抗器と1つのインダクタで構成されます。これは、最も単純なアナログ無限インパルス応答電子フィルタの1つです。

基本的な受動 線形回路要素は、抵抗器(R)、コンデンサ(C)、インダクタ(L) です。これらの回路要素は、 RC 回路、RL 回路、LC 回路、RLC 回路という4 つの異なる方法で組み合わせて電気回路を形成できます。略語は、どのコンポーネントが使用されているかを示しています。これらの回路は、アナログ エレクトロニクスの基本となる重要な種類の動作を示します。特に、受動フィルタとして動作できます。

ただし、実際には、コンデンサ (および RC 回路) は、インダクタよりも製造が容易で、特にコンポーネントの値が大きい場合には物理的に小型であるため、インダクタよりも好まれます。

RC 回路と RL 回路はどちらも単極フィルタを形成します。リアクタンス素子 (C または L) が負荷と直列になっているか、負荷と並列になっているかによって、フィルタがローパスかハイパスかが決まります。

RL 回路はRFアンプのDC 電源としてよく使用され、インダクタは DC バイアス電流を流し、RF が電源に戻るのをブロックするために使用されます。

インダクタンスL（ヘンリー）のインダクタの複素インピーダンス Z _L（オーム）は、

${\displaystyle Z_{L}=Ls\,.}$

複素周波数sは複素数であり、

${\displaystyle s=\sigma +j\omega \,,}$

どこ

• jは虚数単位を表す: j ² = −1、
• σは指数関数的減衰定数（ラジアン/秒）であり、
• ω は角周波数（ラジアン/秒）です。

任意の線形時不変(LTI) システムの複素数値固有関数は次の形式になります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {V} (t)&=\mathbf {A} e^{st}=\mathbf {A} e^{(\sigma +j\omega )t}\\\mathbf {A} &=Ae^{j\phi }\\\Rightarrow \mathbf {V} (t)&=Ae^{j\phi }e^{(\sigma +j\omega )t}\\&=Ae^{\sigma t}e^{j(\omega t+\phi )}\,.\end{aligned}}}$

オイラーの公式から、これらの固有関数の実数部は指数関数的に減少する正弦波であることがわかります。

${\displaystyle v(t)=\operatorname {Re} {V(t)}=Ae^{\sigma t}\cos(\omega t+\phi )\,.}$

正弦定常状態は、入力電圧が純粋な正弦波（指数関数的減衰なし）で構成される特殊なケースです。その結果、

${\displaystyle \sigma =0}$

そしてsの評価は

${\displaystyle s=j\omega \,.}$

回路を電圧分割器として見ると、インダクタの両端の 電圧は次のようになります。

${\displaystyle V_{L}(s)={\frac {Ls}{R+Ls}}V_{\mathrm {in} }(s)\,,}$

抵抗器の両端の電圧は次のようになります。

${\displaystyle V_{R}(s)={\frac {R}{R+Ls}}V_{\mathrm {in} }(s)\,.}$

回路は直列になっているため、回路内の電流はどこでも同じです。

${\displaystyle I(s)={\frac {V_{\mathrm {in} }(s)}{R+Ls}}\,.}$

インダクタ電圧への 伝達関数は

${\displaystyle H_{L}(s)={\frac {V_{L}(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {Ls}{R+Ls}}=G_{L}e^{j\phi _{L}}\,.}$

同様に、抵抗電圧への伝達関数は

${\displaystyle H_{R}(s)={\frac {V_{R}(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {R}{R+Ls}}=G_{R}e^{j\phi _{R}}\,.}$

電流に対する伝達関数は

${\displaystyle H_{I}(s)={\frac {I(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {1}{R+Ls}}\,.}$

伝達関数には 、

${\displaystyle s=-{\frac {R}{L}}\,.}$

さらに、インダクタの伝達関数は原点にゼロを持ちます。

2 つのコンポーネント間のゲインは、上記の式の大きさを取ることによって求められます。

${\displaystyle G_{L}={\big |}H_{L}(\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{L}(\omega )}{V_{\mathrm {in} }(\omega )}}\right|={\frac {\omega L}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}}}}$

そして

${\displaystyle G_{R}={\big |}H_{R}(\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{R}(\omega )}{V_{\mathrm {in} }(\omega )}}\right|={\frac {R}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}}}\,,}$

位相角は次のようになります。

${\displaystyle \phi _{L}=\angle H_{L}(s)=\tan ^{-1}\left({\frac {R}{\omega L}}\right)}$

そして

${\displaystyle \phi _{R}=\angle H_{R}(s)=\tan ^{-1}\left(-{\frac {\omega L}{R}}\right)\,.}$

これらの式は、出力を表す位相器の通常の式に代入することができる。 ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{L}&=G_{L}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{L}}\\V_{R}&=G_{R}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{R}}\end{aligned}}}$

各電圧のインパルス応答は、対応する伝達関数の逆ラプラス変換です。これは、インパルスまたはディラックのデルタ関数で構成される入力電圧に対する回路の応答を表します。

インダクタ電圧のインパルス応答は

${\displaystyle h_{L}(t)=\delta (t)-{\frac {R}{L}}e^{-t{\frac {R}{L}}}u(t)=\delta (t)-{\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,}$

ここでu ( t )はヘヴィサイドのステップ関数であり、τ = ⁠ら/R⁠ は時間定数です。

同様に、抵抗電圧のインパルス応答は

${\displaystyle h_{R}(t)={\frac {R}{L}}e^{-t{\frac {R}{L}}}u(t)={\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,.}$

RL 回路のゼロ入力応答(ZIR) は、自然応答とも呼ばれ、回路が一定の電圧と電流に達し、電源から切断された後の回路の動作を表します。入力を必要としないため、ゼロ入力応答と呼ばれます。

RL 回路の ZIR は次のとおりです。

${\displaystyle I(t)=I(0)e^{-{\frac {R}{L}}t}=I(0)e^{-{\frac {t}{\tau }}}\,.}$

これらは周波数領域の表現です。これらを分析すると、回路 (またはフィルター) がどの周波数を通過させ、拒否するかがわかります。この分析は、周波数が非常に大きくなったり小さくなったりしたときに、これらのゲインに何が起こるかを考慮することに基づいています。

ω → ∞の場合:

${\displaystyle G_{L}\to 1\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 0\,.}$

ω → 0の場合:

${\displaystyle G_{L}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 1\,.}$

これは、出力がインダクタを介して取得される場合、高周波が通過し、低周波が減衰（除去）されることを示しています。したがって、回路はハイパス フィルタとして動作します。ただし、出力が抵抗を介して取得される場合、高周波が除去され、低周波が通過します。この構成では、回路はローパス フィルタとして動作します。これを、逆の場合である RC 回路の抵抗出力の動作と比較してください。

フィルタが通過する周波数の範囲は帯域幅と呼ばれます。フィルタが信号をフィルタリング前の電力の半分に減衰させるポイントはカットオフ周波数と呼ばれます。これにより、回路のゲインを

${\displaystyle G_{L}=G_{R}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,.}$

上記の式を解くと、

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {R}{L}}{\mbox{ rad/s}}\quad {\mbox{or}}\quad f_{\mathrm {c} }={\frac {R}{2\pi L}}{\mbox{ Hz}}\,,}$

これは、フィルタが元のパワーの半分に減衰する周波数です。

明らかに、位相も周波数に依存しますが、この効果は一般にゲインの変化ほど興味深いものではありません。

ω → 0の場合:

${\displaystyle \phi _{L}\to 90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to 0\,.}$

ω → ∞の場合:

${\displaystyle \phi _{L}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to -90^{\circ }=-{\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\,.}$

したがって、 DC (0  Hz )では、抵抗器の電圧は信号電圧と同位相ですが、インダクタの電圧は信号電圧より 90° 進んでいます。周波数が増加すると、抵抗器の電圧は信号に対して 90° 遅れるようになり、インダクタの電圧は信号と同位相になります。

このセクションでは、自然対数定数eに関する知識を前提としています。

時間領域の動作を導く最も簡単な方法は、上記のV _LとV _Rの式のラプラス変換を使用することです。これは、 jω → s を効果的に変換します。ステップ入力（つまり、t = 0より前はV _in = 0で、その後はV _in = V）を想定すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {in} }(s)&=V\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{L}(s)&=V\cdot {\frac {sL}{R+sL}}\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{R}(s)&=V\cdot {\frac {R}{R+sL}}\cdot {\frac {1}{s}}\,.\end{aligned}}}$

部分分数展開と逆ラプラス変換により次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{L}(t)&=Ve^{-t{\frac {R}{L}}}\\V_{R}(t)&=V\left(1-e^{-t{\frac {R}{L}}}\right)\,.\end{aligned}}}$

したがって、図に示すように、インダクタの両端の電圧は時間の経過とともに 0 に近づきますが、抵抗器の両端の電圧はVに近づきます。これは、回路内の電流が変化している限りインダクタに電圧がかかるという直感的な点と一致しています。回路が定常状態に達すると、それ以上の電流の変化はなく、最終的にインダクタの電圧もなくなります。

これらの式は、直列RL回路が時定数（通常はτ = ⁠と表記）を持つことを示している。ら/R⁠は、コンポーネントの両端の電圧が（インダクタを介して）低下するか（抵抗を介して）上昇するまでの時間です。1/e⁠の最終値です。つまり、 τ はV _{L が}V ( ⁠に達するまでの時間です1/e⁠ )とV _{R を}加算してV (1 − ⁠1/e⁠ )。

変化率は分数 1 − ⁠1/e⁠ τあたり。したがって、 t = Nτからt = ( N + 1) τに移行すると、電圧はt = Nτでのレベルから最終値に向かって約 63% 移動します。したがって、インダクタの両端の電圧はτ後に約 37% まで低下し、約5 τ後には実質的にゼロ (0.7%) になります。キルヒホッフの電圧法則は、抵抗器の両端の電圧が同じ速度で上昇することを示唆しています。次に、電圧源を短絡に置き換えると、抵抗器の両端の電圧はtとともにVから0 に向かって指数関数的に低下します。抵抗器はτ後に約 37% まで放電され、約5 τ後には実質的に完全に放電されます (0.7%)回路内の電流Iは、オームの法則により、抵抗器の両端の電圧と同じように動作することに注意してください。

この場合、回路の立ち上がりまたは立ち下がり時間の遅延は、インダクタからの逆起電力によって引き起こされます。インダクタを流れる電流が変化しようとすると、電流（および抵抗器の両端の電圧）が回路の時定数よりもはるかに速く上昇または下降するのを妨げます。すべての配線には自己インダクタンスと抵抗があるため、すべての回路には時定数があります。その結果、電源がオンになっても、電流は瞬時に定常値に到達しません。五/R⁠。代わりに、上昇が完了するまでにいくつかの時定数がかかります。そうでない場合、電流がすぐに定常状態に達すると、磁場の急激な変化によって非常に強い誘導電界が生成されます。これにより、回路内の空気が破壊され、電気アークが発生し、おそらくコンポーネント（およびユーザー）が損傷します。

これらの結果は、回路を記述する 微分方程式を解くことによっても導き出すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {in} }&=IR+L{\frac {dI}{dt}}\\V_{R}&=V_{\mathrm {in} }-V_{L}\,.\end{aligned}}}$

最初の方程式は積分係数を使用して解かれ、微分してV _{L を}求める電流を生じます。2 番目の方程式は単純です。解はラプラス変換で得られる解とまったく同じです。

短絡評価にはRL 回路が考慮されます。より一般的な式は次のようになります。

${\displaystyle v_{in}(t)=v_{L}(t)+v_{R}(t)=L{\frac {di}{dt}}+Ri}$

初期条件:

${\displaystyle i(0)=i_{0}}$

これはラプラス変換によって解くことができます:

${\displaystyle V_{in}(s)=sLI-Li_{0}+RI}$

したがって：

${\displaystyle I(s)={\frac {Li_{o}+V_{in}}{sL+R}}}$

次に、antitransform は次を返します。

${\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {V_{in}}{sL+R}}\right]}$

電源電圧がヘヴィサイドステップ関数（DC）の場合：

${\displaystyle v_{in}(t)=Eu(t)}$

戻り値:

${\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {E}{s(sL+R)}}\right]=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}\right)}$

電源電圧が正弦関数（AC）の場合：

${\displaystyle v_{in}(t)=E\sin(\omega t)\Rightarrow V_{in}(s)={\frac {E\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}}$

戻り値:

${\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {E\omega }{(s^{2}+\omega ^{2})(sL+R)}}\right]=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {E\omega }{2j\omega }}\left({\frac {1}{s-j\omega }}-{\frac {1}{s+j\omega }}\right){\frac {1}{(sL+R)}}\right]}$

${\displaystyle =i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{2jL}}{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {1}{s+{\frac {R}{L}}}}\left({\frac {1}{{\frac {R}{L}}-j\omega }}-{\frac {1}{{\frac {R}{L}}+j\omega }}\right)+{\frac {1}{s-j\omega }}{\frac {1}{{\frac {R}{L}}+j\omega }}-{\frac {1}{s+j\omega }}{\frac {1}{{\frac {R}{L}}-j\omega }}\right]}$

${\displaystyle =i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{2jL}}e^{-{\frac {R}{L}}t}2j{\text{Im}}\left({\frac {1}{{\frac {R}{L}}-j\omega }}\right)+{\frac {E}{2jL}}2j{\text{Im}}\left(e^{j\omega t}{\frac {1}{{\frac {R}{L}}+j\omega }}\right)}$

${\displaystyle =i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E\omega }{L\left[\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}+\omega ^{2}\right]}}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{L\left[\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}+\omega ^{2}\right]}}\left[{\frac {R}{L}}\sin(\omega t)-\omega \cos(\omega t)\right]}$

${\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E\omega }{L\left[\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}+\omega ^{2}\right]}}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{L{\sqrt {\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}+\omega ^{2}}}}}\sin \left[\omega t-\tan ^{-1}\left({\frac {\omega L}{R}}\right)\right]}$

抵抗器とインダクタの両方が並列に接続され、電圧源を介して供給される場合、これはRL並列回路として知られています。^[2]並列RL回路は、電流源によって給電されない限り、一般的に直列回路ほど重要ではありません。これは主に、出力電圧（V _out）が入力電圧（V _in）に等しいためです。その結果、この回路は電圧入力信号のフィルタとしては機能しません。

複素インピーダンスの場合:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{R}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}\\I_{L}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{j\omega L}}=-{\frac {jV_{\mathrm {in} }}{\omega L}}\,.\end{aligned}}}$

これは、インダクタが抵抗器（およびソース）電流より 90° 遅れていることを示しています。

並列回路は多くのアンプ回路の出力に見られ、高周波での容量性負荷の影響からアンプを分離するために使用されます。容量によって生じる位相シフトのため、一部のアンプは非常に高い周波数で不安定になり、発振する傾向があります。これは音質とコンポーネントの寿命、特にトランジスタに影響します。

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