合同可換代数

普遍代数において、合同性可換代数とは、合成のもとで合同性 が可換となる代数である。この対称性には、そのような代数の解析に役立つ、いくつかの同等の特徴付けがある。群多様体など、よく知られている代数多様体の多くは、合同性可換代数から構成されるが、格子多様体など、合同性可換でない要素を持つ代数もある。

代数 が与えられたとき、の合同式のペアはのとき入れ替え可能であると言われる。[ ^{1] : 121}代数は の合同式のペアがそれぞれ入れ替え可能であるとき、その代数は合同交換可能と呼ばれる。 ^{[1] : 122}代数 のさまざまなものがのすべての代数が合同交換可能であるとき、その代数は合同交換可能と呼ばれる。^{[1] : 122}${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \operatorname {Con} (\mathbf {A} )}$${\displaystyle \alpha \circ \beta =\beta \circ \alpha }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

1954年にマルツェフは、代数の合同可換多様体を定義する上で上記と同等の条件を2つ与えた。これにより、合同可換多様体の研究が始まった。^{[1] : 122}

が代数多様体であると 仮定します。次のものは同等です。${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

このような項はマルツェフ項と呼ばれ、合同可換多様体はマルツェフにちなんでマルツェフ多様体とも呼ばれる。 ^{[1] : 122}

抽象代数学における古典多様体のほとんどは、群^{[1] : 123}、環^{[1] : 123}、リー代数^[要出典]など、合同性可換である。群演算を含む多様体はすべて合同性可換であり、マルツェフ項はである。^[要出典]${\displaystyle xy^{-1}z}$

格子として見ると、 3つの要素を持つ鎖は合同交換可能ではなく、したがって格子の多様体も同様に合同交換可能ではない。^{[1] : 123}