歪ハミルトン行列

線型代数において、歪ハミルトン行列は、シンプレクティックベクトル空間上の歪対称双線型形式に対応する特定の種類の行列です。 をシンプレクティック形式を備えたベクトル空間とし、Ω で表します。シンプレクティックベクトル空間は必ず偶数次元でなければなりません。 ${\displaystyle V}$

 によって定義される双線形形式が歪対称で ある場合、線形写像はシンプレクティック形式 Ω に関する歪ハミルトン演算子として定義されます 。${\displaystyle A:\;V\mapsto V}$${\displaystyle (x,y)\mapsto \Omega (A(x),y)}$

  の  基底が与えられている場合  、シンプレクティック形式 Ω は と表現できます  。この文脈では、線形演算子が Ω に関して歪ハミルトン的であるためには、それに対応する行列が条件 を満たす必要があります  。ここで、 は    次のように定義される歪対称行列です。 ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{2n}}$${\displaystyle V}$${\textstyle \sum _{i}e_{i}\wedge e_{n+i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{T}J=JA}$${\displaystyle J}$

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}}}$

単位行列を    表します    。 ${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle n\times n}$

この基準を満たす行列は、歪ハミルトン行列として分類されます。注目すべきことに、任意のハミルトン行列の平方は歪ハミルトン行列です。逆に、任意の歪ハミルトン行列はハミルトン行列の平方として表すことができます。^{[1] [2]}