シューア凸関数

数学において、S 凸関数、等音関数、順序保存関数とも呼ばれるシューア凸関数は、が によって主要化されるすべてのに対して が成り立つ関数です。イサイ・シューアにちなんで名付けられたシューア凸関数は、主要化の研究で使用されます。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f(x)\leq f(y)}$

関数f は、その負数 − f がシューア凸で ある場合に「シューア凹」である。

凸かつ対称な関数（引数の順列の下で） はすべて、シューア凸関数でもあります。

すべてのシュア凸関数は対称的であるが、必ずしも凸であるとは限らない。^[1]

が (厳密に) シューア凸であり、が(厳密に) 単調増加である場合、 は(厳密に) シューア凸です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g\circ f}$

が実区間上で定義された凸関数である場合、 はシューア凸です。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}g(x_{i})}$

fが対称ですべての1次偏微分が存在する 場合、 fがシューア凸であるための必要十分条件は、

${\displaystyle (x_{i}-x_{j})\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)\geq 0}$全ての${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$

すべてに当てはまる。^[2]${\displaystyle 1\leq i,j\leq d}$

• ${\displaystyle f(x)=\min(x)}$はシューア凹で、はシューア凸です。これは定義から直接わかります。${\displaystyle f(x)=\max(x)}$
• シャノンエントロピー関数はシューア凹関数です。${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}{P_{i}\cdot \log _{2}{\frac {1}{P_{i}}}}}$
• Rényiエントロピー関数も Schur 凹関数です。
• ${\displaystyle x\mapsto \sum _{i=1}^{d}{x_{i}^{k}},k\geq 1}$は、の場合にはシューア凸であり、 の場合にはシューア凹です。${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle k\in (0,1)}$
• すべての を仮定すると、関数はシューア凹です。同様に、 のとき、すべての基本対称関数はシューア凹です。${\displaystyle f(x)=\prod _{i=1}^{d}x_{i}}$${\displaystyle x_{i}>0}$${\displaystyle x_{i}>0}$
• メジャー化の自然な解釈は、の場合、 はよりも広がりが少ないということです。したがって、変動性の統計的尺度がシューア凸であるかどうかを尋ねるのは自然なことです。分散と標準偏差はシューア凸関数ですが、中央絶対偏差はそうではありません。${\displaystyle x\succ y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$
• 確率の例: が 交換可能なランダム変数である場合、期待値が存在すると仮定すると、関数 はの関数としてシュア凸です。${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$${\displaystyle {\text{E}}\prod _{j=1}^{n}X_{j}^{a_{j}}}$${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$
• ジニ係数は厳密にはシューア凸です。

• 準凸関数