パルス圧縮

パルス圧縮は、レーダー、ソナー、超音波検査で一般的に使用される 信号処理技術であり 、パルス長が制限されている場合に距離分解能を高めたり、送信信号のピーク電力と帯域幅（または同等の距離分解能）が制限されている場合に信号対雑音比を高めたりするために使用されています。これは、送信パルスを変調し、受信信号を送信パルスと相関させることによって実現されます。^[1]

パルスレーダーやソナーが送信できる最も単純で、歴史的に最初のタイプの信号の理想的なモデルは、振幅と搬送周波数が で、幅 の矩形関数で切り取られた切り捨て正弦波パルス（CW --搬送波--パルスとも呼ばれる）です。パルスは定期的に送信されますが、これはこの記事の主題ではありません。ここでは単一のパルス のみを検討します。パルスが時刻 に開始すると仮定すると、信号は複素表記を使って次のように記述できます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle s(t)={\begin{cases}e^{2i\pi f_{0}t}&{\text{if}}\;0\leq t<T\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

このような信号で得られる距離分解能を決定しましょう。 と表記される戻り信号は、元の送信信号の減衰および時間シフトされたコピーです (実際にはドップラー効果も影響しますが、これはここでは重要ではありません)。また、入力信号には、虚数チャネルと実数チャネルの両方にノイズがあります。ノイズは帯域制限されている、つまり 内の周波数のみを持つものと想定されます(これは現実にも当てはまり、受信チェーンの最初のステージの 1 つとしてバンドパスフィルタが一般的に使用されます)。そのノイズを表すために と表記します。入力信号を検出するには、整合フィルタが一般的に使用されます。この方法は、正規分布を持つ加法性ノイズの中から既知の信号を検出する場合に最適です。 ${\displaystyle r(t)}$${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$${\displaystyle N(t)}$

言い換えると、受信信号と送信信号の相互相関が計算されます。これは、受信信号を送信信号の共役および時間反転バージョンと畳み込むことによって実現されます。この操作は、ソフトウェアまたはハードウェアのいずれかで実行できます。この相互相関について記述します。次のようになります。 ${\displaystyle \langle s,r\rangle (t)}$

${\displaystyle \langle s,r\rangle (t)=\int _{t'\,=\,0}^{+\infty }s^{\star }(t')r(t+t')dt'}$

反射信号が時間に受信機に戻り、係数 だけ減衰した場合、次の式が得られます。 ${\displaystyle t_{r}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle r(t)=\left\{{\begin{array}{ll}Ae^{2i\pi f_{0}(t\,-\,t_{r})}+N(t)&{\mbox{if}}\;t_{r}\leq t<t_{r}+T\\N(t)&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.}$

送信された信号がわかっているので、次の式が得られます。

${\displaystyle \langle s,r\rangle (t)=A\Lambda \left({\frac {t-t_{r}}{T}}\right)e^{2i\pi f_{0}(t\,-\,t_{r})}+N'(t)}$

ここで、 はノイズと送信信号との相互相関の結果です。 関数は三角関数で、 ではその値は 0 で、 では直線的に増加して最大値の 1 に達し、 では直線的に減少して再び 0 に達します。 この段落の最後にある図は、サンプル信号 (赤) の相互相関の形状を示しています。この場合は、持続時間が秒、振幅が単位、周波数がHz の実数切り捨て正弦です。 2 つのエコー (青) は、3 秒と 5 秒の遅延と、送信パルスの振幅のそれぞれ 0.5 倍と 0.3 倍の振幅で戻ってきます。これらは、例としてランダムに選んだ値です。信号は実数なので、相互相関には追加の1 ⁄ 2係数で重み付けされます。 ${\displaystyle N'(t)}$${\displaystyle \Lambda}$${\textstyle [-\infty ,-{\frac {1}{2}}]\cup [{\frac {1}{2}},+\infty ]}$${\textstyle [-{\frac {1}{2}},0]}$${\textstyle [0,{\frac {1}{2}}]}$${\displaystyle T=1}$${\textstyle f_{0}=10}$

2 つのパルスが (ほぼ) 同時に戻ってくる場合、相互相関は 2 つの基本信号の相互相関の合計に等しくなります。1 つの「三角形」エンベロープを他のパルスのエンベロープと区別するには、2 つのパルスの到着時刻が少なくとも2 つのパルスの最大値が分離できるように分離されている必要があることは明らかです。この条件が満たされない場合、両方の三角形が混ざり合って分離できなくなります。 ${\displaystyle T}$

波が移動する距離は（cは媒体中の波の速度）であり、この距離は往復時間に対応するため、次の式が得られます。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle cT}$

 

受信パルスの瞬間電力は です。その信号に投入されるエネルギーは、次のとおりです。 ${\displaystyle P(t)=|r|^{2}(t)}$

${\displaystyle E=\int _{0}^{T}P(t)dt=A^{2}T}$

が信号と同じ帯域幅を持つと想定されるノイズの標準偏差である 場合、受信機での信号対雑音比 (SNR) は次のようになります。${\displaystyle \sigma}$

${\displaystyle SNR={\frac {E_{r}}{\sigma ^{2}}}={\frac {A^{2}T}{\sigma ^{2}}}}$

他のパラメータが一定であれば、SNR はパルス持続時間に比例します。これによりトレードオフが生じます。つまり、パルス持続時間を増やすとSNR は向上しますが、解像度は低下します。逆もまた同様です。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

解像度を低下させることなく、十分に大きなパルス（受信機で良好な SNR を維持できる）を得るにはどうすればよいのでしょうか。ここでパルス圧縮が役立ちます。基本原理は次のとおりです。

• 信号は、エネルギー予算が適切となるように十分な長さで送信される。
• この信号は、マッチドフィルタリング後に、相互相関信号の幅が、上で説明したように、標準正弦波パルスによって得られる幅よりも小さくなるように設計されています（そのため、この技術の名前はパルス圧縮です）。

レーダーやソナーのアプリケーションでは、線形チャープはパルス圧縮を実現するために最も一般的に使用される信号です。パルスの長さは有限なので、振幅は矩形関数です。送信信号が持続時間 で、 から始まり、搬送波 を中心とした周波数帯域を線形にスイープする場合、次のように記述できます。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \Delta f}$${\displaystyle f_{0}}$

${\displaystyle s_{c}(t)=\left\{{\begin{array}{ll}e^{i2\pi \left(\left(f_{0}\,-\,{\frac {\Delta f}{2}}\right)t\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t^{2}\,\right)}&{\mbox{if}}\;0\leq t<T\\0&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.}$

上記のチャープ定義は、チャープ信号の位相（つまり、複素指数の引数）が 2 次式であることを意味します。

${\displaystyle \phi (t)=2\pi \left(\left(f_{0}\,-\,{\frac {\Delta f}{2}}\right)t\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t^{2}\,\right)}$

したがって、瞬間周波数は（定義により）次のようになります。

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\left[{\frac {d\phi }{dt}}\right]_{t}=f_{0}-{\frac {\Delta f}{2}}+{\frac {\Delta f}{T}}t}$

これはからまでの意図した線形ランプです。 ${\displaystyle f_{0}-{\frac {\Delta f}{2}}}$${\displaystyle t=0}$${\textstyle f_{0}+{\frac {\Delta f}{2}}}$${\displaystyle t=T}$

位相と周波数の関係は、逆方向によく使用され、目的の位相から始めて、周波数の積分を介してチャープ位相を記述します。 ${\displaystyle f(t)}$

${\displaystyle \phi (t)=2\pi \int _{0}^{t}f(u)\,du}$

この送信信号は通常、ターゲットによって反射され、さまざまな原因で減衰するため、受信信号は送信信号の時間遅延および減衰バージョンに、 では一定のパワースペクトル密度の加法ノイズが加わり、その他の場所ではゼロになります。 ${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$

${\displaystyle r(t)=\left\{{\begin{array}{ll}Ae^{i2\pi \left(\left(f_{0}\,-\,{\frac {\Delta f}{2}}\right)(t-t_{r})\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}(t-t_{r})^{2}\,\right)}+N(t)&{\mbox{if}}\;t_{r}\leq t<t_{r}+T\\N(t)&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.}$

ここで、受信信号と送信信号の相関を計算します。これを行うには、次の 2 つのアクションを実行します。

- 最初のアクションは単純化です。相互相関を計算する代わりに、自己相関を計算します。これは、自己相関のピークがゼロを中心としていると仮定することになります。これにより、解像度と振幅は変わりませんが、計算が単純化されます。

${\displaystyle r'(t)={\begin{cases}Ae^{2i\pi \left(f_{0}\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t\right)t}+N(t)&{\mbox{if}}\;-{\frac {T}{2}}\leq t<{\frac {T}{2}}\\N(t)&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

- 2 番目のアクションは、以下に示すように、参照信号の振幅を 1 ではなく に設定することです。相関を通じてエネルギーが保存されるように定数を決定します。 ${\displaystyle \rho \neq 1}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle s_{c}'(t)={\begin{cases}\rho e^{2i\pi \left(f_{0}\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t\right)t}&{\mbox{if}}\;-{\frac {T}{2}}\leq t<{\frac {T}{2}}\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

ここで、の相関関数は次のように示される^[2]。 ${\displaystyle s_{c}'}$${\displaystyle r'}$

${\displaystyle \langle s_{c}',r'\rangle (t)=\rho A{\sqrt {T}}\Lambda \left({\frac {t}{T}}\right)\mathrm {sinc} \left[\Delta ft\Lambda \left({\frac {t}{T}}\right)\right]e^{2i\pi f_{0}t}+N'(t)}$

ここで、基準信号と受信ノイズの相関関係です。 ${\displaystyle N'(t)}$

ノイズがゼロであると仮定すると、 の自己相関関数の最大値は0 で達します。 0 付近では、この関数はsinc (または基数正弦) 項として動作し、ここでは と定義されます。 この基数正弦の -3 dB の時間幅は、 とほぼ等しくなります。 整合フィルタリングの後、持続時間 の単純なパルスで達したであろう解像度が得られているかのように、すべてが発生します。 の一般的な値では、は よりも小さいため、パルス圧縮と呼ばれます。 ${\displaystyle s_{c'}}$${\displaystyle sinc(x)=sin(\pi x)/(\pi x)}$${\textstyle T'={\frac {1}{\Delta f}}}$${\displaystyle T'}$${\displaystyle \Delta f}$${\displaystyle T'}$${\displaystyle T}$

カーディナル サインには厄介なサイドローブが存在する可能性があるため、結果をウィンドウ (ハミング、ハンなど) でフィルタリングするのが一般的な方法です。実際には、基準チャープをフィルタに掛け合わせることで、適応フィルタリングと同時にこれを実行できます。その結果、最大振幅がわずかに低い信号になりますが、サイドローブがフィルタリングされるため、より重要になります。

 

 

参照信号が項を使用して正しくスケーリングされると、相関の前後でエネルギーを保存できます。相関前のピーク（および平均）電力は次のとおりです。 ${\displaystyle s_{c}'}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle P_{r'}=|r'(t)|^{2}=P_{r'}^{peak}=A^{2}}$

圧縮前のパルスは箱型なので、相関前のエネルギーは次のようになります。

${\displaystyle E_{r'}=\int _{-T/2}^{T/2}|r'(t)|^{2}dt=A^{2}T}$

相関後のピーク電力は次の時点に達します。 ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle P_{<s_{c}',r'>}^{peak}=|<s_{c}',r'>(0)|^{2}=\rho ^{2}A^{2}T}$

このピーク電力が相関前の受信信号のエネルギーである場合、これは予想どおりであることに注意してください。圧縮後、パルスは関数の典型的な幅に等しい幅、つまり幅を持つボックスで近似されるため、相関後のエネルギーは次のようになります。 ${\displaystyle \rho =1}$${\displaystyle sinc}$${\displaystyle T'=1/\Delta f}$

${\displaystyle E_{<s_{c}',r'>}=\int _{-\infty }^{+\infty }|<s_{c}',r'>(t)|^{2}dt\approx P_{<s_{c}',r'>}^{peak}\times T'=\rho ^{2}{\frac {A^{2}T}{\Delta f}}}$

エネルギーが保存される場合:

${\displaystyle E_{r'}=E_{<s_{c}',r'>}}$

...つまり、相関後のピーク電力は次のようになります。 ${\displaystyle \rho ={\sqrt {\Delta f}}}$

${\displaystyle P_{<s_{c}',r'>}^{peak}=\rho ^{2}A^{2}T=P_{r'}\times \Delta f\times T}$

結論として、パルス圧縮信号のピーク電力は、生の受信信号のピーク電力です(相関を通じてエネルギーを節約するために テンプレートが正しくスケーリングされていると仮定)。${\displaystyle \Delta f\times T}$${\displaystyle s_{c}'}$

上で見たように、信号のエネルギーはパルス圧縮中に変化しないように記述されています。ただし、信号は今や、幅がおよそ である基数正弦の主ローブ内にあります。 が圧縮前の信号のパワーで、 が圧縮後の信号のパワーである場合、エネルギーは保存され、次の式が得られます。 ${\textstyle T'\approx {\frac {1}{\Delta f}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P'}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle E=P\times T=P'\times T'}$

パルス圧縮後に電力が増加します。

${\displaystyle P'=P\times {\frac {T}{T'}}}$

スペクトル領域では、チャープのパワースペクトルは、区間内ではほぼ一定のスペクトル密度を持ち、それ以外の場所ではゼロであるため、エネルギーは と同等に表現されます。このスペクトル密度は、整合フィルタリング後も同じままです。 ${\displaystyle D=P/\Delta f}$${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$${\displaystyle E=P\times T=D.\Delta f.T}$

ここで、持続時間および入力電力が同一の等価正弦波 (CW) パルスを想像すると、この等価正弦波パルスのエネルギーは次のようになります。 ${\displaystyle T'=1/\Delta f}$

${\displaystyle E'=P\times T'=E{\frac {T'}{T}}}$

整合フィルタリング後、等価正弦波パルスは、元の幅の 2 倍でピーク電力が同じ三角形の信号に変わります。エネルギーは保存されます。スペクトル領域は、の区間でほぼ一定のスペクトル密度によって近似されます。エネルギー保存則により、次の式が得られます。 ${\displaystyle D'}$${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$${\displaystyle \Delta f\approx 1/T'}$

${\displaystyle E'=E{\frac {T'}{T}}=D\Delta fT{\frac {T'}{T}}=D\Delta fT'}$

定義により次も成り立つので、次が成り立ちます。つまり、チャープパルスと等価 CW パルスのスペクトル密度はほぼ同一であり、 上のバンドパスフィルタのスペクトル密度と等価です。相関のフィルタリング効果はノイズにも作用します。つまり、ノイズの基準帯域は であり、 であるため、相関後の両方のケースでノイズに対して同じフィルタリング効果が得られます。つまり、パルス圧縮の正味の効果は、等価 CW パルスと比較して、信号が増幅されてノイズが増幅されないため、信号対雑音比(SNR) が 1 倍向上するということです。 ${\displaystyle E'=D'\Delta fT'}$${\displaystyle D'=D}$${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$${\displaystyle \Delta f}$${\displaystyle D=D'}$${\displaystyle T/T'}$

結果として：  

 

技術的な理由により、チャープ パルスの場合のように、実際に受信した CW パルスに対して相関が行われる必要はありません。ただし、ベースバンドシフト中に信号はバンドパスフィルタリングを受け、相関と同じ効果をノイズに与えるため、全体的な推論は同じままです (つまり、SNR は、特定の帯域幅 (ここでは信号の帯域幅) で定義されたノイズに対してのみ意味を持ちます)。 ${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$

この SNR の増加は魔法のように思えますが、パワー スペクトル密度は信号の位相を表すものではないことに注意してください。実際には、等価 CW パルス、相関後の CW パルス、元のチャープ パルス、相関チャープ パルスの位相は異なります。そのため、すべてのケースで (ほぼ) 同じパワー スペクトルを持つにもかかわらず、信号の形状が異なります (特に長さが異なります)。ピーク送信パワーと帯域幅が制約されている場合、パルス圧縮では、同じピーク パワーと帯域幅の等価 CW パルスと比較して、より長いパルス (つまり、より多くのエネルギー) を送信し、相関によってパルスを圧縮することで、より優れたピーク パワー (ただし、解像度は同じ) を実現します。これは、相関後に元の信号よりもピークが狭くなり、サイドローブが低くなる、限られた数の信号タイプに対してのみ最適に機能します。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle \Delta f}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \Delta f}$

パルス圧縮は優れたSNRと微細な距離分解能を同時に保証できますが、波形の瞬間帯域幅が大きい（数百メガヘルツ、または1GHzを超えることもあります）ため、このようなシステムでのデジタル信号処理の実装は困難です。ストレッチ処理は、広帯域チャープ波形の整合フィルタリング技術であり、比較的短い距離間隔で非常に微細な距離分解能を求めるアプリケーションに適しています。^[3]${\displaystyle \Delta f}$

上の図は、ストレッチ処理を解析するためのシナリオを示しています。中央参照点 (CRP) は、 の範囲で対象範囲ウィンドウの中央にあり、 の時間遅延に対応します 。 ${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle t_{0}}$

送信波形がチャープ波形の場合:

${\displaystyle x(t)=\exp \left(j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(t)^{2}\right)\exp(j2\pi f_{0}(t)),0\leq t\leq T}$

遠距離にあるターゲットからのエコーは次のように表すことができます。 ${\displaystyle R_{b}}$

${\displaystyle {\bar {x}}(t)=\rho \exp \left(j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(t-t_{b})^{2}\right)\exp(j2\pi f_{0}(t-t_{b})),0\leq t-t_{b}\leq T}$

ここで、は散乱体の反射率に比例します。次に、エコーにを掛けると、エコーは次のようになります。 ${\displaystyle \rho }$${\textstyle \exp(-j2\pi f_{0}t)\exp \left(-j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(t-t_{0})^{2}\right)}$

${\displaystyle y(t)=\rho \exp \left(-j{\frac {4\pi R_{b}}{\lambda }}\right)\exp \left(-j2\pi {\frac {\Delta f}{T}}\delta t_{b}(t-t_{0})\right)\exp \left(j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(\delta t_{b})^{2}\right),t_{0}\leq t-\delta t_{b}\leq t_{0}+T}$

空気中の電磁波の波長は どこですか。${\displaystyle \lambda }$

y(t) に対してサンプリングと離散フーリエ変換を実行すると、正弦波周波数を解くことができます。 ${\displaystyle F_{b}}$

${\displaystyle F_{b}=-\delta t_{b}{\frac {\Delta f}{T}}(Hz)}$

そして差分範囲は次のようになります。 ${\displaystyle \delta R_{b}}$

${\displaystyle \delta R_{b}=-{\frac {cTF_{b}}{2\Delta f}}}$

y(t) の帯域幅が元の信号帯域幅 よりも小さいことを示すために、距離ウィンドウが長いと仮定します。ターゲットが距離ウィンドウの下限にある場合、エコーは送信から数秒後に到着します。同様に、ターゲットが距離ウィンドウの上限にある場合、エコーは送信から数秒後に到着します。それぞれの場合の差分到着時間は、およびです。 ${\displaystyle \Delta f}$${\displaystyle R_{w}={\frac {cT_{w}}{2}}}$${\displaystyle t_{0}-T_{w}/2}$${\displaystyle t_{0}+T_{w}/2}$${\displaystyle \delta t_{b}}$${\displaystyle -T_{w}/2}$${\displaystyle T_{w}/2}$

次に、範囲ウィンドウの下限と上限にあるターゲットの正弦波周波数の差を考慮することで帯域幅を取得できます。 結果として、   $${\displaystyle \Delta f_{s}=F_{b,{\text{near}}}-F_{b,{\text{far}}}=-{\frac {\Delta f}{T}}(-T_{w}/2-T_{w}/2)={\frac {T_{w}}{T}}\Delta f}$$

  ストレッチ処理によって距離分解能が維持されることを示すには、y(t) が実際にはパルス持続時間 T と周期 （送信されたインパルス列の周期に等しい）を持つインパルス列であることを理解する必要があります。結果として、y(t) のフーリエ変換は実際にはレイリー分解能を持つ sinc 関数です。つまり、プロセッサは少なくとも離れた散乱体を分解することができます。 ${\displaystyle T_{trans}}$ ${\textstyle {\frac {1}{T}}}$${\displaystyle F_{b}}$${\displaystyle \Delta F_{b}=1/T}$

その結果、

${\displaystyle {\frac {1}{T}}=\left\vert {\frac {\Delta f}{T}}\Delta (\delta t_{b})\right\vert \Rightarrow \left\vert \Delta (\delta t_{b})\right\vert ={\frac {1}{\Delta f}}}$

そして、

${\displaystyle \Delta (\delta R_{b})={\frac {c\Delta (\delta t_{b})}{2}}={\frac {c}{2\Delta f}}}$

これは、元の線形周波数変調波形の解像度と同じです。

ストレッチ処理により受信ベースバンド信号の帯域幅を縮小できますが、RF フロントエンド回路のすべてのアナログ コンポーネントは、依然として の瞬間帯域幅をサポートできる必要があります。さらに、チャープ信号の周波数スイープ中に電磁波の有効波長が変化するため、フェーズド アレイシステムではアンテナの視線方向が必然的に変化します。 ${\displaystyle \Delta f}$

ステップ周波数波形は、大きな瞬間帯域幅を必要とせずに、受信信号の優れた範囲分解能と SNR を維持できる代替技術です。単一のパルスで全帯域幅にわたって直線的にスイープするチャープ波形とは異なり、ステップ周波数波形は、各パルスの周波数が前のパルスから増加するインパルス列を使用します。ベースバンド信号は次のように表すことができます。 ${\displaystyle \Delta f}$${\displaystyle \Delta F}$

${\displaystyle x(t)=\sum _{m=0}^{M-1}x_{p}(t-mT)e^{j2\pi m\Delta F(t-mT)}}$

ここで、は長さの矩形インパルスであり、M は単一のパルス列内のパルス数です。波形の合計帯域幅は に等しくなりますが、パルス間の時間中にアナログコンポーネントをリセットして、次のパルスの周波数をサポートすることができます。その結果、上記の問題を回避できます。 ${\displaystyle x_{p}(t)}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \Delta f=M\Delta F}$

遅延に対応するターゲットの距離を計算するために、個々のパルスは単純なパルス整合フィルタを通して処理されます。 ${\displaystyle t_{l}+\delta t}$

${\displaystyle h_{p}(t)=x_{p}^{*}(-t)}$

マッチドフィルタの出力は次のようになります。

${\displaystyle y_{m}(t)=s_{p}^{*}(t-(t_{l}+\delta t)-mT)e^{j2\pi m\Delta F(t-(t_{l}+\delta t)-mT)}}$

どこ

${\displaystyle s_{p}^{*}(t-(t_{l}+\delta t)-mT)=x_{p}(t-(t_{l}+\delta t)-mT)*h_{p}(t)}$

でサンプリングすると、次の結果が得られます。 ${\displaystyle y_{m}(t)}$${\displaystyle t=t_{l}+mT}$

${\displaystyle y[l,m]=s_{p}^{*}(\delta t)e^{j2\pi m\Delta F\delta t}}$

ここで、l は範囲ビン l を意味します。DTFT を実行すると (ここでは m は時間として扱われます)、次の結果が得られます。

${\displaystyle Y[l,\omega ]=\sum _{m=0}^{M-1}y[l,m]e^{-j\omega m}=s_{p}^{*}(\delta t)\sum _{m=0}^{M-1}e^{j(\omega -2\pi \Delta F\delta t)m}}$

、そして合計のピークは のときに発生します。 ${\displaystyle \omega =2\pi \Delta F\delta t}$

その結果、DTFTは、距離ビン遅延に対するターゲットの遅延の尺度を提供し、 差分距離は次のようになります。 ${\displaystyle y[l,m]}$${\displaystyle t_{l}}$$${\displaystyle \delta t={\frac {\omega _{p}}{2\pi \Delta F}}={\frac {f_{p}}{\Delta F}}}$$

${\displaystyle \delta R={\frac {cf_{p}}{2\Delta F}}}$

ここで c は光の速度です。

ステップ周波数波形が距離分解能を維持することを示すには、が sinc のような関数であり、したがってレイリー分解能が であることに注目する必要があります。結果として、 ${\displaystyle Y[l,\omega ]}$${\displaystyle \Delta f_{p}=1/M}$

${\displaystyle \Delta (\delta t)={\frac {1}{M\Delta F}}={\frac {1}{\Delta f}}}$

したがって、差分範囲分解能は次のようになります。

${\displaystyle \Delta (\delta R)={\frac {c}{2\Delta f}}}$

これは、元の線形周波数変調波形の解像度と同じです。

信号を変調する方法は他にもあります。位相変調はよく使用される技術です。この場合、パルスは持続時間のタイムスロットに分割され、そのタイムスロットの原点の位相は事前に確立された規則に従って選択されます。たとえば、一部のタイムスロットでは位相を変更せず (つまり、それらのスロットでは信号をそのまま残す)、他のスロットでは信号の位相をずらす(信号の符号を変更するのと同じ) ことができます。これは、バイナリ位相シフトキーイングと呼ばれます。位相の順序を正確に選択するには、バーカーコードと呼ばれる技術を使用します。 ${\displaystyle N}$${\textstyle {\frac {T}{N}}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \{0,\pi \}}$

バーカー符号の利点^{[4]はその単純さ（上で示したように、位相のずれは単純な符号の変化である）であるが、パルス圧縮比はチャープの場合よりも低く、}ドップラー効果による周波数変化がより大きい場合、圧縮は周波数変化に非常に敏感である。 ${\displaystyle \pi }$${\textstyle {\frac {1}{T}}}$

Gold コード、JPL コード、Kasami コードなどの他の疑似ランダム バイナリ シーケンスは、自己相関ピークが非常に狭いため、ほぼ最適なパルス圧縮特性を備えています。これらのシーケンスには、たとえば GNSS測位に適した他の興味深い特性もあります。

シーケンスを 2 つ以上の位相でコーディングすることも可能です (多相コーディング)。線形チャープと同様に、パルス圧縮は相互相関によって実現されます。

• 連続波レーダー
• スペクトラム拡散
• チャープ圧縮

• Nadav Levanon、Eli Mozeson。レーダー信号。Wiley.com、2004年。
• Hao He、Jian Li、Petre Stoica。「アクティブセンシングシステムの波形設計：計算によるアプローチ」ケンブリッジ大学出版局、2012年。
• M. Soltanalian. アクティブセンシングと通信のための信号設計。ウプサラ科学技術学部論文（Elanders Sverige AB 印刷）、2014 年。
• Solomon W. Golomb、Guang Gong . 良好な相関関係を実現する信号設計：無線通信、暗号化、レーダー向け。ケンブリッジ大学出版局、2005 年。
• Fulvio Gini、Antonio De Maio、Lee Patton 編。「先進レーダーシステムのための波形設計と多様性」。Institute of Engineering and Technology、2012 年。
• John J. Benedetto、Ioannis Konstantinidis、Muralidhar Rangaswamy。「位相コード化波形とその設計」IEEE Signal Processing Magazine、26.1 (2009): 22-31。
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