特定の指数に対するフェルマーの最終定理の証明

フェルマーの最終定理は整数論の定理で、ピエール・ド・フェルマーが1637 年に最初に述べ、アンドリュー・ワイルズが1995 年に証明しました。定理の記述には、 2 より大きい整数 指数 nが関係しています。結果が最初に述べられてから数世紀にわたり、その一般的な証明がされる前に、指数nの特定の値に対してさまざまな証明が考案されました。これらの証明のいくつかを以下で説明しますが、その中には無限降下法の初期の例であるn = 4 の場合のフェルマーの証明も含まれています。

フェルマーの最終定理は、 nが 2 より大きい任意の整数値に対して、3 つの正の整数 ( a 、 b 、 c ) が方程式 a n + b n = c n を満たすことはできない、と述べています。(n が 1 の場合、方程式は 線形方程式であり、すべての可能な^aおよびb^に対して解が^存在します。nが2の場合、方程式には無限の解、つまりピタゴラスの数があります。)

与えられたnに対する解( a , b , c )は、 nのすべての因数に対する解につながります。つまり、 h がnの因数である場合、 n = ghとなる整数gが存在します。この場合、指数hに対する解は( a ^g , b ^g , c ^g )です。

( a ^g ) ^h + ( b ^g ) ^h = ( c ^g ) ^{h です}。

したがって、フェルマー方程式がn > 2に対して解を持たないことを証明するには、 n = 4およびすべての奇数の素数pに対して解を持たないことを証明すれば十分です。

このような奇数の指数pに対して、方程式a ^p + b ^p = c ^pのすべての正の整数解は、方程式a ^p + b ^p + c ^p = 0の一般的な整数解に対応します。たとえば、(3, 5, 8) で最初の方程式を解く場合、(3, 5, −8)で 2 番目の方程式を解きます。逆に、2 番目の方程式の任意の解は、最初の方程式の解に対応します。2 番目の方程式は、3 つの変数a、b、c間の対称性をより明確にするため、役立つ場合があります。

3つの数( a、b、c )のうち2つが4つ目の数dで割り切れる場合、3つの数はすべてdで割り切れます。たとえば、aとc がd = 13で割り切れる場合、bも 13 で割り切れます。これは次の式からわかります。

bn = cn − ^an​​^​

等式の右辺が 13 で割り切れる場合、左辺も 13 で割り切れます。g をa、b、cの最大公約数とします。すると、( a、b、c )は、 a = gx、b = gy、c = gzと表すことができます。ここで、 3 つの数( x、y、z )は互いに素です。言い換えると、各ペアの最大公約数 ( GCD ) は 1 です。

GCD( x , y ) = GCD( x , z ) = GCD( y , z ) = 1

( a , b , c ) がフェルマー方程式の解であるならば、 ( x , y , z )も解である。なぜなら、方程式

a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ = g ⁿ x ⁿ + g ⁿ y ⁿ = g ⁿ z ⁿ

方程式

xn + yn = zn^です。^​​

互いに素な解( x、y、z )は原始解と呼ばれます。フェルマーの方程式のすべての解は、最大公約数gで割ることで原始解に簡約できるため、原始解が存在しないことを示すことでフェルマーの最終定理を証明できます。

整数は、2 で割り切れる偶数と割り切れない奇数に分けられます。偶数は...−4、−2、0、2、4、...で、奇数は...−3、−1、1、3、...です。整数が偶数であるかどうか (または偶数でないかどうか) という特性は、そのパリティと呼ばれます。2 つの数が両方とも偶数または両方とも奇数の場合、それらのパリティは同じです。対照的に、一方が偶数でもう一方が奇数の場合、それらのパリティは異なります。

偶数と奇数の加算、減算、乗算は簡単なルールに従います。2 つの偶数または 2 つの奇数の加算または減算は常に偶数になります。たとえば、4 + 6 = 10および3 + 5 = 8です。逆に、奇数と偶数の加算または減算は常に奇数になります。たとえば、3 + 8 = 11です。2 つの奇数の乗算は常に奇数ですが、偶数と任意の数の乗算は常に偶数です。奇数を累乗すると常に奇数になり、偶数を累乗すると常に偶数になります。たとえば、x ^{n は}xと同じパリティを持ちます。

方程式x ⁿ + y ⁿ = z ⁿの任意の原始解( x、y、z )を考えます。 ( x、y、z )の項はすべて偶数にはできません。その場合、それらは互いに素でなくなり、すべて 2 で割り切れるからです。x ⁿとy ⁿが両方とも偶数の場合、z ^{n は}偶数になるため、 x ⁿとy ⁿの少なくとも 1 つは奇数になります。残りの加数は偶数か奇数のいずれかです。したがって、合計の値の偶奇は (奇数 + 偶数 = 奇数) または (奇数 + 奇数 = 偶数) のいずれかになります。

算術の基本定理によれば、自然数は素数の積としてのみ（一意に）表記できる。たとえば、42 は素数の積2 × 3 × 7に等しく、 7 × 3 × 2などの単純な並べ替えを除いて、他のどの素数の積も 42 に等しくない。この一意の因数分解特性は、数論の大部分の基礎となっている。

このユニークな因数分解の性質から、ある数のp乗が次のような積に等しいこと が分かります。

x ^p = uv

uとv が互いに素（素因数を共有しない）である場合、 uとv はそれ自体が他の 2 つの数のp乗となり、 u = r ^pおよびv = s ^{p と}なります。

しかし、後述するように、いくつかの数体系では一意に因数分解できない。この事実により、1847 年にラメがフェルマーの最終定理の一般的な証明を行えなかった。

ソフィー・ジェルマンの時代から、フェルマーの最終定理は別々に証明される 2 つのケースに分けられています。最初のケース (ケース I) は、p が積xyz を割り切れないという条件下では、方程式x ^p + y ^p = z ^pに原始解( x、y、z )が存在しないことを示すものです。2 番目のケース (ケース II) は、p が積xyzを割り切れるという条件に対応します。 x、y、z は互いに素であるため、 p は3 つの数のうち 1 つの数だけを割り切れます。

フェルマーによる数学的証明は1つしか残っておらず、無限降下の技法を用いて、整数辺を持つ直角三角形の面積が整数の2乗に等しくなることは決してないということを証明している。^[1] この結果はフェルマーの直角三角形定理として知られている。以下に示すように、彼の証明は、次の式を証明することと同等である。

x ⁴ − y ⁴ = z ²

整数には原始解はありません（互いに素なペアの解はありません）。次に、方程式a ⁴ + b ⁴ = c ^4はc ⁴ − b ⁴ = ( a ² ) ²と書けるので、これはn = 4の場合のフェルマーの最終定理を証明するのに十分です。n = 4の場合の代替証明は、後に^[2]フレニクル・ド・ベッシー、^[3]オイラー、^[4]カウスラー、^[5]バーロウ、^[6]ルジャンドル、^[7]ショピス、^[8]テルケム、^[9]ベルトラン、^[10]ルベーグ、^[11]ピパン、^[12]ターフェルマッハー、^[13]ヒルベルト、^[14]ベンツ、^[15]ガンビオリ、^[16]クロネッカー、^[17]バン、^[18]ゾンマー、 ^[19]ボッタリ、^[20]リクリク、^[21]ナッツホルン、^[22]カーマイケル、 [23]ハンコック、^[24]ヴランセアヌ、^[25]グラントとペレラ、^[26]バーバラ、^[27]ドランらによって開発されました。^[28]無限降下法による証明の一つについては、無限降下法#r ² + s ⁴ = t ⁴の非可解性を参照。

フェルマーの証明は、整数の辺を持つ直角三角形は面積が正方形になることはないことを示しています。^{[29]直角三角形の辺が}( u , v , w )で、面積が次の式に等しいと します。紫外線/2⁠そして、ピタゴラスの定理により、 u ² + v ² = w ²となる。面積が整数sの2乗に等しい場合、

⁠紫外線/2⁠ = s ²

すると代数的操作によって次のようになる。

2 uv = 4 s ²かつ−2 uv = −4 s ²。

これらの式に u ² + v ² = w ^2を加えると、

u ² + 2 uv + v ² = w ² + 4 s ²かつu ² − 2 uv + v ² = w ² − 4 s ²、

これは次のように表現できる。

( u + v ) ² = w ² + 4 s ²かつ( u − v ) ² = w ² − 4 s ²です。

これらの式を掛け合わせると

( u ² − v ² ) ² = w ⁴ − 16 s ^{4 です}。

しかし、フェルマーが証明したように、方程式x ⁴ − y ⁴ = z ²には整数解は存在できず、これはz = u ² − v ²、x = w、y = 2 sの特別なケースです。

フェルマーの証明の最初のステップは左辺を因数分解することである^[30]

( x ² + y ² )( x ² − y ² ) = z ²

xとy は互いに素であるため(そうでない場合は因数が打ち消される可能性があるため、この仮定が成り立つ)、 x ² + y ²とx ² − y ²の最大公約数は 2 (ケース A) または 1 (ケース B) のいずれかになります。この定理は、これら 2 つのケースで別々に証明されます。

この場合、xとyは両方とも奇数で、zは偶数です。( y ²、z、x ² )は原始ピタゴラス数列を形成するため、次のように書くことができます。

z = 2デ

y ² = d ² − e ²

x ² = d ² + e ²

ここでdとeは互いに素であり、d > e > 0である。したがって、

x ² y ² = d ⁴ − e ⁴

これにより、より小さい ( 0 < d < x )別の解( d、e、xy )が生成されます。前と同様に、解のサイズには下限値が存在する必要がありますが、この議論では常に任意の解よりも小さい解が生成されるため、元の解は不可能になります。

この場合、2つの因数は互いに素である。積は平方z ²なので、それぞれ平方でなければならない。

x ² + y ² = s ²

x ² − y ² = t ²

数sとtは両方とも奇数です。なぜならs ² + t ² = 2 x ²は偶数であり、xとyは両方とも偶数にはなり得ないからです。したがって、 sとtの和と差も同様に偶数であり、整数uとvを次のように 定義します。

u = ⁠s + t/2⁠

v = ⁠秒−秒/2⁠

sとt は互いに素なので、 uとv も互いに素です。これらのうち、偶数は 1 つだけです。 y ² = 2 uvなので、これらのうちの 1 つだけが偶数です。説明のために、u を偶数とすると、これらの数はu = 2 m ²およびv = k ²と表記されます。( u、v、x ) は原始ピタゴラス数列を形成するので、

⁠s ² + t ²/2⁠ = u ² + v ² = x ²

これらはユークリッドの公式を用いてより 小さな整数dとeで表すことができる。

u = 2デ

v = d ² − e ²

x = d ² + e ²

u = 2 m ² = 2 deであり、dとeは互いに素なので、それらは平方数でなければならず、d = g ²およびe = h ²である。これにより、次の式が得られる 。

v = d ² − e ² = g ⁴ − h ⁴ = k ²

解( g , h , k )は元の方程式の別の解ですが、より小さくなります ( 0 < g < d < x )。同じ手順を( g , h , k )に適用すると 、さらに小さい別の解が生成されます。しかし、自然数は無制限に縮小できないため、これは不可能です。したがって、元の解( x , y , z )は不可能でした。

フェルマーは1636年、1640年、1657年にn = 3の場合について言及した手紙を送っている。 ^[31] オイラーは1753年8月4日にゴールドバッハに手紙を送り、 n = 3の場合の証明を持っていると主張した。^[32] オイラーは1760年に完全で純粋な初等的証明を持っていたが、その結果は公表されなかった。^[33] その後、 n = 3に対するオイラーの証明 が1770 年に発表されました。^{[34] [35] [36] [37]独立}した証明は、カウスラー、^[5]ルジャンドル、^{[7] [39]}カルツォラーリ、^[40]ラメ、^[41]テイト、^[42]ギュンター、^[43]ガンビオリ、^[16]クレイ、^[44]リクリク、^[21]シュトックハウス、^[45]カーマイケル、^{[46]ファン}・デル・コルプット、^[47]テュー、^[48]およびドゥアルテ。^[49]

フェルマーがn = 4の場合に行ったように、オイラーは無限降下法を使った。^[50]証明では方程式x ³ + y ³ + z ³ = 0の 解( x , y , z )を仮定しているが、3つの非ゼロ整数x、y、z は互いに素であり、すべてが正ではない。3つのうち1つは偶数で、他の2つは奇数である必要がある。一般性を失うことなく、z は偶数であると仮定してもよい。

xとy は両方とも奇数なので、等しくなることはありません。 x = yの場合、2 x ³ = − z ³となり、x は偶数であることがわかりますが、これは矛盾です。

xとyは両方とも奇数なので、それらの和と差は両方とも偶数である。

2 u = x + y

2 v = x − y

ここで、非ゼロ整数uとvは互いに素であり、異なる偶奇性（一方が偶数、もう一方が奇数）を持つ。x = u + v 、 y = u − vなので、

− z ³ = ( u + v ) ³ + ( u − v ) ³ = 2 u ( u ² + 3 v ² )

uとv は逆偶奇性を持つため、 u ² + 3 v ^{2 は}常に奇数になります。したがって、zは偶数なので、uは^偶数、vは奇数です。uとv は互いに素なので、 2 uとu 2 + 3 v ²の最大公約数は 1 (ケース A) または 3 (ケース B) のいずれかになります。

この場合、-z 3 の2つの因数は互いに素^{である。これは、3が}uを割り切れないことと、2つの因数が2つのより小さな数rとsの3乗であることを意味する。

2 u = r ³

u ² + 3 v ² = s ³

u ² + 3 v ²は奇数なので、 s も奇数である。重要な補題は、sが奇数であり、方程式 s ³ = u ² + 3 v ^{2を満たす場合、2つの整数}eとfで表すことができることを示している。

s = e ² + 3 f ²

となることによって

u = e ( e ² − 9 f ² )

v = 3 f ( e ² − f ² )

uとvは互いに素なので、 eとfも互いに素でなければなりません。uは偶数でvは奇数なので、 eは偶数でfは奇数です。

r ³ = 2 u = 2 e ( e − 3 f )( e + 3 f )

因数2 e、( e – 3 f )、( e + 3 f )は互いに素である。なぜなら、 3 はe を割り切れないからである。もしe が3 で割り切れるなら、 3 はu を割り切れることになり、 uとv が互いに素であるという指定に違反する。右辺の 3 つの因数は互いに素であるため、それぞれが小さい整数の 3 乗に等しくなければならない。

−2 e = k ³

e − 3 f = l ³

e + 3 f = m ³

これにより、より小さな解k ³ + l ³ + m ³ = 0が得られます。したがって、無限降下論によれば、元の解( x、y、z )は 不可能でした。

この場合、 2 uとu ² + 3 v ²の最大公約数は3 です。つまり、 3 はu を割り切れることになり、u = 3 wをより小さな整数wで表すことができます。u は4 で割り切れるので、wも割り切れます。したがって、wも偶数です。uとv は互いに素なので、 vとwも互いに素です。したがって、 3 も 4 もv を割り切れません。

z ³の式でuをwに代入すると次の式が得られる。

− z ³ = 6 w (9 w ² + 3 v ² ) = 18 w (3 w ² + v ² )

vとw は互いに素であり、3 はv を割り切れないので、18 wと3 w ² + v ^{2も互いに素である。したがって、それらの積は立方体なので、それぞれが小さい整数}rとsの立方体である。

18 w = r ³

3 w ² + v ² = s ³

上記の補題により、s は奇数であり、その立方体は3 w ² + v ²の形式の数に等しいため、これもまたより小さい互いに素な数eとfで表すことができます。

s = e ² + 3 f ²

簡単に計算してみると、

v = e ( e ² − 9 f ² )

w = 3 f ( e ² − f ² )

したがって、eは奇数、fは偶数です。vは奇数ですから。18wの式は次のようになります 。

r ³ = 18 w = 54 f ( e ² − f ² ) = 54 f ( e + f )( e − f ) = 3 ³ × 2 f ( e + f )( e − f )です。

3 ^{3 は}r ³を割り切るので、 3 はr を割り切ることになります。したがって( ⁠r/3⁠ ) ^{3 は}2 f ( e + f )( e − f )に等しい整数です。 eとf は互いに素なので、 2 f、 e + f、 e − fの 3 つの因数も互いに素です。したがって、これらはそれぞれ小さい整数k、 l、 mの 3 乗です。

−2 f = k ³

e + f = 1 ^{3 です}

f − e = m ³

これにより、より小さな解k ³ + l ³ + m ³ = 0が得られます。したがって、無限降下論によれば、元の解( x、y、z )は 不可能でした。

n = 5の場合のフェルマーの最終定理は、互いに素な3つの整数x、y、zが次の式を満たすことはできない、 と述べている。

x ⁵ + y ⁵ + z ⁵ = 0

これは1825年頃にディリクレとルジャンドルによって独立にも共同にも証明された^{[51] 。[32] [52]} 代替証明はガウス[ ^54]、ルベーグ^[55]、ラメ^[56]、ガンビオリ^{[16] 、 [57]}ウェレブルソフ^[58]、リクリク^[59]、ファンデルコルプト[ ^47]、テルジャニアン[60]によって開発された^[53]。

ディリクレのn = 5の証明は、ソフィー・ジェルマンによって定義された 2 つのケース (ケース I と II) に分けられます。ケース I では、指数 5 は積xyzを割り切れません。ケース II では、指数 5 は積 xyzを割り切れます。

1. n = 5の場合のケースIは、補助素数θ = 11であればソフィー・ジェルマンの定理（1823）によって直ちに証明できる。
2. 1825年にディリクレはケースIIを２つのケース（ケースII(i)とII(ii)）に分けた。ケースII(i)は、x、y、zのうち１つが5と2で割られるケースである。ケースII(ii)は、 x 、 y 、 z のうち１つが5で割られ、もう１つが2で割られるケースである。1825年7月、ディリクレはn = 5の場合のケースII(i)を証明した。 1825年9月、ルジャンドルはn = 5の場合のケースII(ii)を証明した。ルジャンドルの証明の後、ディリクレはケースII(i)の拡張された議論によってn = 5の場合のケースII(ii)の証明を完成させた。 ^[32]

n = 5の場合のケースAは、補助素数θ = 11であればソフィー・ジェルマンの定理によってすぐに証明できます。より系統的な証明は次のとおりです。フェルマーの小定理により、

x ⁵ ≡ x (mod 5)

y ⁵ ≡ y (mod 5)

z ⁵ ≡ z (mod 5)

そしてそれゆえ

x + y + z ≡ 0 (mod 5)

この等式は、3 つの数値x、y、zのうち 2 つが5 を法として等しくなるように強制します。これは、次のようになります。x、y、z は5 で割り切れないため、5 を法として 0 になることはなく、1、-1、2、-2 の 4 つの可能性のいずれかに等しくなります。これらがすべて異なる場合、2 つは反対の数になり、5 を法としてそれらの合計は 0 になります (この場合の仮定に反して、もう 1 つは 5 を法として 0 になることを意味します)。

一般性を失うことなく、xとyは5を法とする2つの同値な数として指定できる。この同値性は、

x ⁵ ≡ y ⁵ (mod 25) (係数の変化に注意)

− z ⁵ ≡ x ⁵ + y ⁵ ≡ 2 x ⁵ (mod 25)

しかし、方程式x ≡ y (mod 5)は、

− z ≡ x + y ≡ 2 x (mod 5)

− z ⁵ ≡ 2 ⁵ x ⁵ ≡ 32 x ⁵ (mod 25)

2つの結果を組み合わせて両辺を5で割ると矛盾が生じる ^。

2 ≡ 32 (25 で割る) ≡ 7

したがって、n = 5の場合のケース Aが証明されました。

n = 7の場合は1839 年にガブリエル・ラメによって証明されました^{[61]。[62]彼のかなり複雑な証明は 1840 年に}ヴィクトル・アメデ・ルベーグ によって簡略化され^[63]、さらに簡単な証明^{[64] が}1864 年、1874 年、1876 年にアンジェロ・ジェノッキによって発表されました。 ^{[65]代替の証明はテオフィル・ペパン[66]}とエドモン・マイエ によって開発されました^[67]。

フェルマーの最終定理は指数n = 6、n = 10、n = 14についても証明されている。n = 6の証明はカウスラー^[5] 、トゥーエ^[68]、 ターフェルマッハー^[69]、 リンド^[70]、 カプフェラー[71] 、スウィフト[72 ^{] 、 ブリューシュ[ 73]}によって発表されている。 同様に、ディリクレ^[74]とテルジャニアン^{[75]はそれぞれ}n = 14 の場合を証明し、カプフェラー^[71]と ブリューシュ^{[73] はそれぞれ}n = 10 の場合を証明している。 厳密に言えば、これらの証明は不要である。なぜなら、これらの場合はそれぞれn = 3、n = 5、n = 7の証明から導かれるからである。 それにもかかわらず、これらの偶数指数の証明の推論は、奇数指数の対応するものとは異なっている。ディリクレによるn = 14の証明は、ラメによる 1839 年のn = 7の証明より前の 1832 年に発表されました。

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