超自然的な数字

数学において、超自然数は、一般化自然数またはシュタイニッツ数とも呼ばれ、自然数の一般化であり、1910年にエルンスト・シュタイニッツ^{[1] :249-251}によって、場の理論に関する研究の一部として使用されました。

超自然数は形式的な積である: ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega =\prod _{p}p^{n_{p}},}$

ここで、 はすべての素数に渡って適用され、各 はゼロ、自然数、または無限大です。の代わりに が使用されることもあります。 がなく、非ゼロの数が有限個しかない場合は、正の整数に戻ります。少し直感的ではありませんが、すべてがの場合は、ゼロになります。^[要出典]超自然数は、無限の数の素因数が存在する可能性を許容し、また、その素数の指数を記号 とすることで、任意の素数が「無限に多く」割り切れることを可能にすることで、自然数を超えています。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle n_{p}}$${\displaystyle v_{p}(\omega )}$${\displaystyle n_{p}}$${\displaystyle n_{p}=\infty }$${\displaystyle n_{p}}$${\displaystyle n_{p}}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \infty }$

超自然数を足し合わせる自然な方法はありませんが、 で掛け合わせることはできます。同様に、 の割り切れるという概念は、すべての に対して であればで超自然数に拡張されます。最小公倍数と最大公約数の概念は、超自然数に対しても一般化でき、次のように定義できます。 ${\displaystyle \prod _{p}p^{n_{p}}\cdot \prod _{p}p^{m_{p}}=\prod _{p}p^{n_{p}+m_{p}}}$${\displaystyle \omega _{1}\mid \omega _{2}}$${\displaystyle v_{p}(\omega _{1})\leq v_{p}(\omega _{2})}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \displaystyle \operatorname {lcm} (\{\omega _{i}\})\displaystyle =\prod _{p}p^{\sup(v_{p}(\omega _{i}))}}$

そして

${\displaystyle \displaystyle \operatorname {gcd} (\{\omega _{i}\})\displaystyle =\prod _{p}p^{\inf(v_{p}(\omega _{i}))}}$。

これらの定義により、無限個の自然数 (または超自然数) の最大公約数または最小公倍数は超自然数になります。また、各 に対して を定義することにより、通常の- 進順序関数を超自然数に拡張することもできます。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle v_{p}(\omega )=n_{p}}$${\displaystyle p}$

超自然数は、有限群や部分群の順序や指数を定義するために使われ、その場合、有限群論の定理の多くがそのまま適用されます。超自然数は有限体の代数的拡大を符号化するために使用されます。^[2]

超自然数は、一様超有限代数の分類でも生じます。

• 有限整数

• Brawley, Joel V.; Schnibben, George E. (1989).有限体の無限代数的拡張. Contemporary Mathematics. Vol. 95. プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会. pp. 23–26. ISBN 0-8218-5101-2.ZBL0674.12009  .​
• エフラット、イド（2006）。評価、順序付け、およびミルナーK理論。数学サーベイおよびモノグラフ。第124巻。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会。p.125。ISBN 0-8218-4041-X.ZBL1103.12002  。​
• フリード、マイケル D.ジャーデン、モーシェ (2008)。フィールド演算。 Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。 3.フォルゲ。 Vol. 11（第3版）。スプリンガー・フェルラーグ。 p. 520.ISBN​ 978-3-540-77269-9. Zbl  1145.12001。

• 惑星数学: 超自然的な数