混合基数

混合基数 記数法は、位置によって基数が変化する非標準の位置記数法です。このような数値表現は、数量が、それぞれが次の小さい単位の倍数であるが、同じ係数ではない一連の単位を使用して表現される場合に適用されます。このような単位は、たとえば時間の測定でよく使用されます。32 週間、5 日、7 時間、45 分、15 秒、500 ミリ秒の時間は、混合基数記数法では次のように分数として表現されます。

... 32、5、07、45; 15、500
...∞、7、24、60、60、1000

または

32 _∞ 5 ₇ 07 ₂₄ 45 ₆₀ .15 ₆₀ 500 ₁₀₀₀

表形式では、数字は基数の上に書かれ、セミコロンは基数点を示します。数字形式では、各数字には下付き文字として関連する基数が付けられ、基数点はピリオドで示されます。各数字の基数は、次の大きな単位を構成する対応する単位の数です。結果として、最初の（最上位）数字には基数（∞と書かれる）はありません。ここには「次の大きな単位」が存在しないためです（また、「月」や「年」などのより大きな単位を単位のシーケンスに追加することはできません。これらは「週」の整数倍ではないためです）。

混合基数システムの最もよく知られた例は、時間管理とカレンダーです。西洋の時間基数には、基数法と序数法の両方で、十進法の年、十年法、世紀法、週の日数を表す 7 進法、1 年の月数を表す12進法、1 か月の日数を表す 28 ～ 31 進法、1 年の週数を表す 52 進法があります。時間はさらに、 24時間法で数える時間、1 時間内の60 進法の分、1 分内の秒に分割され、後者の小数部が使われます。

日付の標準的な形式は2021-04-10 16:31:15これは、この定義では混合基数になりますが、日数は月ごとに変化し、閏年によっても変化します。提案されている暦の 1 つでは、代わりに13 を基本とする月、4 進法の週、および 7 進法の日を使用します。

混合基数記数法は、多くの場合、表で表現するのが最適です。週の 604800 秒を表す表は次のとおりです。週は 0 日の 0 時間 (日曜日の真夜中) から始まります。

この記数法では、混合基数記数法の 3 ₇ 17 ₂₄ 51 ₆₀ 57 ₆₀秒は水曜日の 17:51:57 と解釈され、 0 ₇ 0 ₂₄ 02 ₆₀ 24 ₆₀は日曜日の 00:02:24 と解釈されます。混合基数記数法のアドホック表記は一般的です。

マヤ暦は、異なる基数の複数の重なり合う周期で構成されています。短い数え方であるtzolk'in は、 20進法の日名と31進法の日名を重ね合わせます。haab ' は、20 進法の日、81 進法の 月、および 52 進法の年で構成され、1 つの周期を形成します。さらに、長い数え方である 20 進法の日数、81 進法のwinal、24 進法のtun、k'atun、b'ak'tunなどが、歴史的な日付を追跡します。

現在使用されている混合基数記数法の 2 つ目の例は、通貨の設計と使用です。通貨の設計と使用では、あらゆる金額を表すことができるようにすることを目的として、限られた数の金種が印刷または鋳造されます。金額は、各金種の硬貨または紙幣の枚数で表されます。作成する金種 (つまり、どの基数を混合するか) を決定する際には、異なる金種の最小数と、一般的な量を表すために必要な個々の硬貨の最小数との間で妥協点が模索されます。そのため、たとえば英国では、紙幣は 50 ポンド、20 ポンド、10 ポンド、5 ポンドで印刷され、硬貨は 2 ポンド、1 ポンド、50 ペンス、20 ペンス、10 ペンス、5 ペンス、2 ペンス、1 ペンスで鋳造されます。これらは、1-2-5 の推奨値シリーズに従います。

10進法化以前、英国では通貨の金額はポンド、シリング、ペンスで表され、1シリングは12ペンス、1ポンドは20シリングであったため、たとえば「£1 7s 6d」は混合基数数字の1 _∞ 7 ₂₀ 6 ₁₂に対応していました。

米国の慣用単位は一般に混合基数システムであり、乗数は時間の単位と同じように、サイズ単位ごとに異なります。

混合基数表現は、 Cooley-Tukey FFT アルゴリズムの混合基数バージョンにも関連しています。このアルゴリズムでは、入力値のインデックスが混合基数表現で展開され、出力値のインデックスは基数と桁の順序が逆になった対応する混合基数表現で展開され、各サブ変換は、残りの桁のすべての値に対する 1 つの桁のフーリエ変換と見なすことができます。

同じ基数の混合基数数は、手動の算術アルゴリズムの一般化を使用して操作できます。 混合基数から別の混合基数への値の変換は、まず一方の基数の位の値を他方の基数に変換し、次に一方の基数の数字をこれらに適用することで簡単に実行できます。

APLとJには、混合基数システムとの間で変換を行う演算子が含まれています。

もう一つの提案は、いわゆる階乗数システムです。

たとえば、6 桁で表せる最大の数字は 543210 で、これは10 進数では 719 になります。5×5! + 4×4! + 3×3! + 2×2! + 1×1! 一見するとわかりにくいかもしれませんが、階乗に基づく番号付けシステムは明確で完全です。各階乗の合計に指数を掛けると、常に次の階乗から 1 を引いた値になるため、すべての数字は 1 つの方法でしか表せません。

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(([i+1]+1)-1)\cdot ([i]+1)!=([n+1]+1)!-1}$

整数 0, ..., n ! − 1 と辞書式順序のn要素の順列との間には自然なマッピングがあり、整数の階乗表現を使用し、その後にLehmer コードとして解釈します。

上記の式は、任意の基数 (標準または混合) の基数表現に対する次の一般規則の特殊なケースであり、任意の基数 (標準または混合) の基数表現は明確かつ完全であるという事実を表しています。各重みの合計にインデックスを掛けると、常に次の重みから 1 を引いた値になるため、すべての数値は 1 つの方法でしか表現できません。

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(m_{i+1}-1)\cdot M_{i}=M_{n+1}-1}$、 どこ、${\displaystyle M_{i}=\prod _{j=1}^{i}m_{j},m_{j}>1,M_{0}=1}$

これは数学的帰納法で簡単に証明できます。

もう一つの提案は、SSピライ^[1]、リチャード・K・ガイ（OEISのシーケンスA049345）、およびその他の著者^{[2] [3] [4]}によって検討された、連続する素数を基数とし、その位の値が原始数である数体系である。

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(p_{i+1}-1)\cdot p_{i}\#=p_{n+1}\#-1}$ここで、p _j = j^番目の素数、p ₀ # = p ₀ = 1 です。${\displaystyle p_{i}\#=\prod _{j=1}^{i}p_{j}}$

• ドナルド・クヌース著『コンピュータプログラミングの技法』第2巻：半数値アルゴリズム、第3版。Addison-Wesley、1997年。ISBN  0-201-89684-2。65～66、208～209、290ページ。
• ゲオルク・カントール。Über einfache Zahlensysteme、Zeitschrift für Math。および Physik 14 (1869)、121–128。

• 混合基数計算機 — C# の混合基数計算機