数学において、原始素数とは、 p n # ± 1の形の素数であり、 p n # はp nの原始数（つまり、最初のn個の素数の積）である。[ 1 ]
素数判定テストの結果、以下のことが明らかになった。
- p n # − 1 は、n = 2, 3, 5, 6, 13, 24, 66, 68, 167, 287, 310, 352, 564, 590, 620, 849, 1552, 1849, 67132, 85586, 234725, 334023, 435582, 446895, ... ( OEISのシーケンスA057704 )の場合、素数です。 ( p n = 3, 5, 11, 13, 41, 89, 317, 337, 991, 1873, 2053, 2377, 4093, 4297, 4583, 6569, 13033, 15877, 843301, 1098133, 3267113, 4778027, 6354977, 6533299, ... ( OEISの配列A006794 ) )
- p n # + 1 は、n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 11, 75, 171, 172, 384, 457, 616, 643, 1391, 1613, 2122, 2647, 2673, 4413, 13494, 31260, 33237, 304723, 365071, 436504, 498865, ... ( OEISのシーケンスA014545 )に対して素数です。 ( p n = 1, 2, 3, 5, 7, 11, 31, 379, 1019, 1021, 2657, 3229, 4547, 4787, 11549, 13649, 18523, 23801, 24029, 42209, 145823, 366439, 392113, 4328927, 5256037, 6369619, 7351117, 9562633, ..., ( OEISの配列A005234 ) )
3 番目の数列の最初の項は 0 です。なぜなら、p 0 # = 1 ( p 0 = 1とします。1の素数性を参照してください。したがって、4 番目の数列の最初の項は 1 です) は空積であり、したがってp 0 # + 1 = 2 となり、これは素数です。同様に、 p 1 # = 2であり、2 − 1 = 1 は素数ではないため、1 番目の数列の最初の項は 1 ではありません (したがって、2 番目の数列の最初の項も 2 ではありません) 。
最初のいくつかの原始素数は2、3、5、7、29、31、211、2309、2311、30029、200560490131、304250263527209、23768741896345550770650537601358309 ( OEISのシーケンスA228486 )です。
2025年現在無限に多くの原始素数が存在するかどうかは不明であり、また、p n # ± 1の形の無限に多くの数が合成数であるかどうかも不明である。[ 2 ]
2025年7月現在 既知の最大のp n # − 1の形の素数は 6533299# − 1 ( n = 446,895 ) で、2,835,864 桁あり、 PrimeGridプロジェクトによって発見されました。[ 3 ]
2025年7月現在 既知の最大のp n # + 1の形の素数は 9562633# + 1 ( n = 637,491 ) で、4,151,498 桁あり、これも PrimeGrid プロジェクトによって発見されました。[ 3 ]
ユークリッドの素数の無限性の証明は、次のように原始素数を定義するものとして誤解されることが多い。[ 4 ]
- 2 を含む最初のn個の連続する素数が唯一の素数であると仮定します。p n # + 1 または p n # − 1 のいずれかが原始素数である場合、 n 番目の素数よりも大きな 素数が存在することを意味します(どちらも素数でない場合、素数の無限性も証明されますが、直接的ではありません。これらの 2 つの数は、最初のn個の素数のいずれかで割ったときの余りがp − 1 または 1 であり、したがって、そのすべての素因数はp nよりも大きくなります)。
関連項目
- A. ボーニング、「いくつかの結果
そして
「Math. Comput. 26 (1972): 567–570. - クリス・コールドウェル著「トップ20：プライムページズのプリモリアル」
- ハーヴェイ・ダブナー、「階乗素数と原始素数」。J . Rec. Math. 19 (1987): 197–203。
- パウロ・リベンボイム、『素数記録の新書』、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク（1989）：4。
