基底関数（化学）

理論化学および計算化学において、基底関数とは、ハートリー・フォック法または密度汎関数理論における電子波動関数を表すために使用される関数の集合（基底関数と呼ばれる）であり、モデルの偏微分方程式をコンピュータ上で効率的に実装するのに適した代数方程式に 変換するために用いられる。

基底関数系の使用は、恒等式の近似的な解決を使用することと同等です。つまり、軌道は 基底関数系内で基底関数の線形結合として展開され、展開係数は で与えられます。 ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$${\textstyle |\psi _{i}\rangle \about \sum _{\mu }c_{\mu i}|\mu \rangle }$${\displaystyle c_{\mu i}}$${\textstyle c_{\mu i}=\sum _{\nu }\langle \mu |\nu \rangle ^{-1}\langle \nu |\psi _{i}\rangle }$

基底関数系は、量子化学の分野では一般的な選択である原子軌道（原子軌道の線形結合アプローチを生成）、固体の分野では典型的に使用される平面波、または実空間アプローチのいずれかで構成できます。ガウス型軌道、スレーター型軌道、数値原子軌道など、いくつかの種類の原子軌道を使用できます。^{[1] 3つのうち、ガウス型軌道は}、ポストハートリー・フォック法の効率的な実装を可能にするため、圧倒的に最も頻繁に使用されます。

現代の計算化学では、量子化学計算は有限の基底関数セットを使用して実行されます。有限の基底が（無限の）完全な関数セットに向かって拡張されると、そのような基底セットを使用した計算は、完全基底セット（CBS）の限界に近づくと言われています。この文脈では、基底関数と原子軌道は同じ意味で使用されることがありますが、基底関数は通常、真の原子軌道ではありません。

基底関数内では、波動関数はベクトルとして表され、その成分は線形展開における基底関数の係数に対応します。このような基底では、1 電子演算子は行列(別名、ランク 2テンソル)に対応し、2 電子演算子はランク 4 テンソルです。

分子計算を行う際には、分子内の各原子核を中心とする原子軌道で構成された基底を使用するのが一般的です(原子軌道の線型結合 仮説)。物理的に最も適した基底関数系はスレーター型軌道(STO) であり、これは水素様原子のシュレーディンガー方程式の解であり、原子核から遠く離れると指数関数的に減少します。ハートリー–フォック理論と密度汎関数理論の分子軌道も指数関数的減少を示すことが示されています。さらに、S 型 STO は原子核で加藤のカスプ条件も満たしており、これは原子核近くの電子密度を正確に記述できることを意味します。ただし、水素様原子には多電子相互作用がないため、軌道は電子状態の相関を正確に記述しません。

残念ながら、STO による積分の計算は計算上困難であり、後にFrank Boysによって、 STO はガウス型軌道(GTO) の線形結合として近似できることが分かりました。2 つの GTO の積は GTO の線形結合として記述できるため、ガウス基底関数による積分は閉じた形式で記述でき、計算量を大幅に節約できます ( John Pople を参照)。

文献には数十種類のガウス型軌道基底関数が発表されている。^[2]基底関数は通常、サイズが大きくなる階層構造になっており、より正確な解を得るための制御された方法を提供するが、コストは高くなる。

最も小さい基底関数セットは、最小基底関数セットと呼ばれます。最小基底関数セットとは、分子内の各原子について、自由原子のハートリー・フォック計算で各軌道に単一の基底関数が使用されるものです。リチウムなどの原子の場合、リチウムは 1s2p 束縛状態も持つため、自由原子の 1s および 2s 軌道に対応する基底関数に p タイプの基底関数も追加されます。たとえば、周期表の第 2 周期 (Li – Ne) の各原子には、5 つの関数 (2 つの s 関数と 3 つの p 関数) の基底関数セットがあります。

最小基底関数系は、理論の自己無撞着場レベルでは、気相原子に対して既に正確である可能性がある。次のレベルでは、分子内の原子の電子密度の分極を記述するために追加の関数が追加されます。これらは分極関数と呼ばれます。たとえば、水素の最小基底関数系は 1s 原子軌道を近似する 1 つの関数ですが、単純な分極基底関数系には通常、2 つの s 関数と 1 つの p 関数 (px、py、pz の 3 つの基底関数で構成) があります。これにより、基底関数系に柔軟性が加わり、水素原子を含む分子軌道が水素核に対してより非対称になることが効果的に可能になります。結合は分極していることが多いため、これは化学結合をモデル化するために非常に重要です。同様に、価電子 p 軌道を含む基底関数系に d 型関数を追加したり、d 型軌道を含む基底関数系に f 関数を追加したりすることができます。

基底関数セットへのもう 1 つの一般的な追加は、拡散関数の追加です。これらは、小さな指数を持つ拡張ガウス基底関数であり、原子核から遠く離れた原子軌道の「尾」部分に柔軟性を与えます。拡散基底関数は、アニオンまたは双極子モーメントを記述するために重要ですが、分子内および分子間の結合の正確なモデリングにも重要です。

最も一般的な最小基底関数はSTO-nGです。ここで n は整数です。STO-nG 基底関数は、最小の Slater 型軌道基底関数から派生したもので、n は各 Slater 型軌道を表すために使用されるガウス原始関数の数を表します。最小基底関数は通常、研究品質の出版物には不十分な大まかな結果をもたらしますが、より大きな基底関数よりもはるかに安価です。このタイプのよく使用される最小基底関数は次のとおりです。

• STO-3G
• STO-4G
• STO-6G
• STO-3G* – STO-3Gの偏光バージョン

MidiX 基底セットなど、使用されている最小基底セットは他にもいくつかあります。

ほとんどの分子結合において、結合に主に関与するのは価電子です。この事実を認識して、価電子軌道を複数の基底関数で表すのが一般的です（各基底関数は、固定された基本ガウス関数の線形結合で構成できます）。各価原子軌道に対応する複数の基底関数がある基底関数セットは、価電子二重、三重、四重ゼータなど、基底セットと呼ばれます（ゼータ、ζは、STO基底関数の指数を表すために一般的に使用されていました^[4]）。分割された異なる軌道は空間的範囲が異なるため、組み合わせにより、電子密度は特定の分子環境に適した空間的範囲を調整できます。対照的に、最小基底セットには、異なる分子環境に適応する柔軟性がありません。

John Popleのグループから生まれた分割原子価基底関数の表記は、通常X-YZgです。^[5] この場合、X は各コア原子軌道基底関数を構成するプリミティブ ガウス関数の数を表します。YとZ は、原子価軌道がそれぞれ 2 つの基底関数で構成され、最初の基底関数がYプリミティブ ガウス関数の線形結合で構成され、他の 1 つがZプリミティブ ガウス関数の線形結合で構成されていることを示します。 この場合、ハイフンの後に 2 つの数字があることは、この基底関数が分割原子価二重ゼータ基底関数であることを意味します。 分割原子価三重ゼータ基底関数や四重ゼータ基底関数も使用され、X-YZWg、X-YZWVgなどと表記されます。

分極関数は 2 つの異なる表記法で表されます。オリジナルの Pople 表記法では、すべての「重い」原子 (H と He を除くすべて) に、基底に追加された少数の分極関数セット (炭素の場合は 3d 軌道関数セット) があることを示すために「*」が追加されました。「**」表記法は、すべての「軽い」原子にも分極関数が与えられることを示します (これにより、各水素原子の基底に 2p 軌道セットが追加されます)。最終的に、基底セットにさらに分極を追加することが望ましいとされ、分極関数の数とタイプが (重い、軽い) の順序で括弧内に明示的に示され、軌道の主量子数は暗黙的に示される新しい表記法が開発されました。たとえば、* 表記法は (d) になり、** 表記法は (d,p) として示されます。代わりに、各重原子に 3d および 4f 関数が追加され、各軽原子に 2p、3p、3d 関数が追加された場合、表記は (df,2pd) になります。

いずれの場合も、拡散関数は、文字 G の前に + を追加するか (拡散関数は重原子のみ)、++ を追加するか (拡散関数はすべての原子に追加されます) のいずれかで示されます。

このタイプのよく使われる分割原子価基底関数系の一覧を以下に示します。

• 3-21G
• 3-21G* – 重原子上の分極関数
• 3-21G** – 重原子と水素の分極関数
• 3-21+G – 重原子上の拡散関数
• 3-21++G – 重原子と水素上の拡散関数
• 3-21+G* –重原子のみの分極と拡散関数
• 3-21+G** – 重原子と水素の分極関数、および重原子の拡散関数
• 4-21G
• 4-31G
• 6-21G
• 6-31G
• 6-31G*
• 6-31+G*
• 6-31G(3df,3pd) – 重原子上の d 関数 3 セットと f 関数 1 セット、水素上の p 関数 3 セットと d 関数 1 セット
• 6-311G
• 6-311G*
• 6-311+G*
• 6-311+G(2df,2p)

要約すると、6-31G* 基底関数セット (H から Zn までの原子に対して定義) は、6-31G セットにLi から Ca までの原子それぞれに5 つのd型直交ガウス分極関数と、Sc から Zn までの原子それぞれに 10 個のf型直交ガウス分極関数を追加した分割原子価二重ゼータ分極基底関数セットです。

Pople基底関数はもともとハートリー・フォック計算で使用するために開発されました。それ以来、相関無撞着基底関数または分極無撞着基底関数（下記参照）が開発され、これらは通常相関波動関数の計算に適しています。^{[6]ただし、ハートリー・フォック理論または密度汎関数理論の場合、電子構造プログラムが複合}sp殻  を利用できる場合、Pople基底関数は他の選択肢と比較して（単位基底関数あたり）より効率的であり、巨大分子の分子構造決定や量子化学複合法の構成要素として現在でも広く使用されています。

最も広く使われている基底関数系のいくつかは、ダニングと同僚によって開発されたものであり^{[7] 、経験的外挿技術を用いて}ポストハートリー-フォック計算を完全な基底関数系の限界に体系的に収束するよう に設計されているためである。

第一列原子と第二列原子の場合、基底関数は cc-pVNZ です。ここで、N  =  D、T、Q、5、6、... ( D  = 二重、T  = 三重など)。「cc-p」は「相関無矛盾分極」を表し、「V」は価電子軌道の基底関数のみが多重ゼータ品質であることを示します。(Pople 基底関数と同様に、コア軌道は単一ゼータ品質です。) これらには、分極 (相関) 関数 ( d、f、gなど) の連続的に大きいシェルが含まれます。最近では、これらの「相関無矛盾分極」基底関数が広く使用されるようになり、相関またはポスト Hartree–Fock計算の現在の最先端技術となっています。拡散関数が基底に含まれる場合は、 aug-プレフィックスが追加されます。これらの例を次に示します。

• cc-pVDZ – ダブルゼータ
• cc-pVTZ – トリプルゼータ
• cc-pVQZ – クアドラプルゼータ
• cc-pV5Z – クインタプルゼータなど
• aug-cc-pVDZ など – 拡散関数を追加した前述の基底セットの拡張バージョン。
• cc-pCVDZ – コア相関を持つダブルゼータ

周期 3 の原子 (Al-Ar) の場合、追加の関数が必要であることが判明しています。これらは cc-pV(N+d)Z 基底関数です。さらに大きな原子では、擬ポテンシャル基底関数 cc-pVNZ-PP または相対論的に縮約された Douglas-Kroll 基底関数 cc-pVNZ-DK が使用される場合があります。

通常のダニング基底関数セットは価電子のみの計算用ですが、コア電子相関を記述するさらなる関数を追加して拡張することができます。これらのコア価電子セット (cc-pCVXZ) は、全電子問題に対する正確な解に近づくために使用することができ、正確な幾何学的および核特性の計算に必要です。

加重コア価電子セット (cc-pwCVXZ) も最近提案されました。加重セットは、コア価電子相関を捉え、コア対コア相関のほとんどを無視して、cc-pCVXZ セットよりも少ないコストで正確なジオメトリを生成することを目的としています。

拡散関数は、陰イオンやファンデルワールス力などの長距離相互作用を記述するため、または電子励起状態の計算や電場特性の計算を行うためにも追加できます。追加の拡張関数を作成するためのレシピが存在し、文献では 2 番目の超分極率の計算に 5 個もの拡張関数が使用されています。これらの基底セットは厳密に構築されているため、ほぼすべてのエネルギー特性に対して外挿を行うことができます。ただし、エネルギー差を外挿する場合は、個々のエネルギー成分が異なる速度で収束するため注意が必要です。ハートリー・フォック エネルギーは指数的に収束しますが、相関エネルギーは多項式的にしか収束しません。

関数の数を取得する方法を理解するには、H の cc-pVDZ 基底セットを検討します。2 つのs ( L = 0) 軌道と、z軸 ( m _L = −1,0,1)に沿ってp _x、p _{y 、}およびp _zに対応する3 つの成分を持つ 1 つのp ( L = 1) 軌道があります。したがって、合計で 5 つの空間軌道があります。各軌道は、反対のスピンの電子を 2 つ保持できることに注意してください。

別の例として、Ar [1s、2s、2p、3s、3p] には 3 つの s 軌道 ( L  = 0) と 2 セットの p 軌道 ( L  = 1) があります。cc-pVDZ を使用すると、軌道は [1s、2s、2p、3s、3s、3p、3p、3d'] (' は追加された分極軌道を表します) となり、4 つの s 軌道 (4 つの基底関数)、3 セットの p 軌道 (3 × 3 = 9 つの基底関数)、および 1 セットの d 軌道 (5 つの基底関数) を持ちます。基底関数を合計すると、cc-pVDZ 基底セットを持つ Ar の関数は合計 18 個になります。

密度汎関数理論は、最近、計算化学で広く使用されるようになりました。しかし、上記の相関無撞着基底関数系は密度汎関数理論には最適ではありません。これは、相関無撞着基底関数系がポストハートリー・フォック向けに設計されているのに対し、密度汎関数理論は波動関数法よりもはるかに速い基底関数系収束を示すためです。

相関無矛盾系列と同様の方法論を採用して、フランク・ジェンセンは、密度汎関数理論の計算を完全な基底関数限界に素早く収束させる方法として、分極無矛盾（pc-n）基底関数を導入しました。^[8]ダニングセットと同様に、pc-nセットは基底関数外挿技術と組み合わせてCBS値を得ることができます。

pc-n セットを拡散関数で拡張して、augpc-n セットを取得できます。

カールスルーエ基底関数系^[9]の様々な価数適応のいくつかを以下に簡単に説明する。

• def2-SV(P) – 重原子（水素以外）の分極関数による原子価の分割
• def2-SVP – スプリット価電子分極
• def2-SVPD – 拡散関数による分割価電子分極
• def2-TZVP – 価電子三重ゼータ分極
• def2-TZVPD – 拡散関数による価電子三重ゼータ分極
• def2-TZVPP – 2組の分極関数を持つ価電子三重ゼータ
• def2-TZVPPD – 2セットの分極関数と1セットの拡散関数を持つ価電子三重ゼータ
• def2-QZVP – 価電子四重極ゼータ分極
• def2-QZVPD – 拡散関数による価電子四重極ゼータ分極
• def2-QZVPP – 2組の分極関数を持つ価電子四重極ゼータ
• def2-QZVPPD – 2組の分極関数と1組の拡散関数を持つ価電子四重極ゼータ

ガウス型軌道基底関数セットは、通常、基底関数セットのトレーニングに使用されるシステムの可能な限り低いエネルギーを再現するように最適化されます。ただし、エネルギーの収束は、電子波動関数のさまざまな側面を調査する核磁気シールド、双極子モーメント、電子運動量密度などの他の特性の収束を意味するものではありません。

マンニネンとヴァーラは完全性最適化基底関数を提案した^[10] 。この基底関数では、指数はエネルギーの最小化ではなく、1電子完全性プロファイルの最大化によって得られる^[11]。完全性最適化基底関数は、理論のあらゆるレベルであらゆる特性の完全基底関数限界に簡単に近づく方法であり、手順は簡単に自動化できる。^[12]

完全性最適化基底関数セットは、特定のプロパティに合わせて調整されます。このように、基底関数セットの柔軟性は、選択されたプロパティの計算要求に集中することができ、通常、エネルギー最適化基底関数セットで達成できるよりもはるかに高速な完全基底関数セットの限界への収束が得られます。

1974 年に Bardo と Ruedenberg ^{[13] は、}次の形式の等比数列に従って ヒルベルト空間を均等に張る基底関数の指数を生成する簡単な方式を提案しました^[14] 。 各角運動量 に対して、 は基本関数の数です。ここでは、との 2 つのパラメータのみを最適化する必要があります。これにより、探索空間の次元が大幅に削減され、指数最適化の問題を回避することさえできます。電子の非局在化状態を適切に記述するために、以前に最適化された標準基底関数に、均等緩和方式によって生成された、指数値が小さい追加の非局在化ガウス関数を追加して補完することができます^{[14] 。このアプローチは、電子以外の量子粒子、たとえば量子核[15]} 、負のミューオン^{[16] 、陽電子[17]}などの基底関数を生成するためにも使用されています。$${\displaystyle \alpha _{i,l}=\alpha _{l}\beta _{l}^{i-1},\quad \alpha _{l},\beta _{l}>0,\quad \beta _{l}\neq 1\quad i=1,2,\dots ,N_{l}}$$${\displaystyle l}$${\displaystyle N_{l}}$${\displaystyle \alpha_{l}}$${\displaystyle \beta_{l}}$

局所的基底関数に加えて、平面波基底関数も量子化学シミュレーションで使用できます。通常、平面波基底関数の選択はカットオフ エネルギーに基づきます。シミュレーション セル内の平面波のうち、エネルギー基準を下回るものが計算に含められます。これらの基底関数は、3 次元周期境界条件を含む計算でよく使用されます。

平面波基底の主な利点は、目標の波動関数に滑らかで単調に収束することが保証されていることです。対照的に、局所的な基底セットを使用すると、過剰完全性の問題により、基底セットの限界への単調収束が困難になる場合があります。大規模な基底セットでは、異なる原子の関数が類似し始め、重なり合う行列の多くの固有値がゼロに近づきます。

さらに、特定の積分や演算は、平面波基底関数を使用すると、局所的な基底関数を使用する場合よりもプログラムや実行がはるかに簡単になります。たとえば、運動エネルギー演算子は逆格子空間では対角です。実空間演算子の積分は、高速フーリエ変換を使用して効率的に実行できます。フーリエ変換の特性により、平面波係数に対する全エネルギーの勾配を表すベクトルを、NPW*ln(NPW) に比例する計算量で計算できます。ここで、NPW は平面波の数です。この特性を、Kleinman-Bylander タイプの分離可能な擬ポテンシャルおよび事前調整された共役勾配解法と組み合わせると、数百個の原子を含む周期問題の動的シミュレーションが可能になります。

実際には、平面波基底関数は「有効コアポテンシャル」または擬似ポテンシャルと組み合わせて使用​​されることが多く、平面波は価電子密度の記述にのみ使用されます。これは、コア電子が原子核の非常に近くに集中する傾向があり、その結果、非常に高いエネルギーカットオフ、つまり短い波長を使用しない限り、原子核の近くで大きな波動関数と密度勾配が生じるためです。平面波基底関数とコア擬似ポテンシャルを組み合わせたこの方法は、しばしばPSPW計算と略されます。

さらに、基底関数のすべての関数は相互に直交しており、特定の原子に関連付けられていないため、平面波基底セットは基底セットの重ね合わせ誤差を示しません。ただし、平面波基底セットはシミュレーションセルのサイズに依存するため、セルサイズの最適化が複雑になります。

周期境界条件の仮定のため、平面波基底セットは局所基底セットよりも気相計算に適していません。分子とその周期的コピーとの相互作用を避けるために、気相分子のすべての側面に広い真空領域を追加する必要があります。ただし、平面波は分子が存在する領域と同等の精度で真空領域を記述するため、実際に相互作用しない限界値を取得するには計算コストがかかる可能性があります。

局所的基底関数と平面波アプローチのいくつかの特性の組み合わせは、線形化拡張平面波(LAPW) 基底関数によって実現されます。これらは、各原子の周囲の重なり合わない球と球間の格子間領域への空間の分割に基づいています。LAPW 基底関数は格子間領域の平面波であり、各球内の数値原子関数によって拡張されます。数値原子関数は、自動的に決定されたエネルギー パラメータの周囲の任意のエネルギーの波動関数の線形化表現を提供します。

平面波基底関数と同様に、LAPW 基底関数は主に格子間領域の平面波表現のカットオフ パラメータによって決定されます。球面では、基底関数にローカル軌道を追加することで変分自由度を拡張できます。これにより、線形化された記述を超えた波動関数の表現が可能になります。

格子間領域の平面波は 3 次元周期境界条件を意味しますが、鎖状構造や薄膜の記述などのために、追加の拡張領域を導入してこれを 1 次元または 2 次元に縮小することも可能です。球内の原子のような表現により、各原子を核における潜在的な特異点とともに扱うことができ、擬似ポテンシャル近似に頼る必要がなくなります。

LAPW 基底関数の欠点は、定義が複雑で、ユーザーまたは自動レシピによって制御する必要がある多くのパラメータが伴うことです。基底関数の形式のもう 1 つの結果として、ハミルトン行列や原子間力の計算などの数式が複雑になります。

実空間アプローチは、その制御可能な精度のおかげで、電子構造の問題を解決するための強力な方法を提供します。実空間基底関数セットは、（未知の）軌道を補間関数のセットで表すという中心的な考え方であるため、 補間理論から生まれたものと考えられます。

実空間で解を構築する方法としては、有限要素法、基底スプライン法、ラグランジュsinc関数法、ウェーブレット法など様々な方法が提案されている。^[1] 有限差分法もこの範疇に含まれることが多いが、厳密に言えば、有限要素法などとは異なり、適切な基底関数を形成せず、変分法でもない。^[1]

すべての実空間法に共通する特徴は、数値基底関数の精度が改善可能であるため、体系的に完全な基底関数の限界に到達できることです。さらに、ウェーブレットと有限要素の場合、システムのさまざまな部分で異なるレベルの精度を使用することは容易であるため、波動関数が急速に変化し、総エネルギーの大部分が存在する原子核の近くではより多くの点が使用され、原子核から遠く離れた場所ではより粗い表現で十分です。この機能は、全電子計算を扱いやすくするために使用できるため、非常に重要です。

例えば、有限要素法 (FEM) では、波動関数は区分多項式の集合の線形結合として表されます。ラグランジュ補間多項式(LIP) は、FEM 計算でよく使用される基底です。次数 LIP 基底の局所補間誤差は、の形式になります。完全な基底セットに到達するには、要素をどんどん小さくする (つまり、空間をどんどん小さく分割する; -適応型 FEM)、次数をどんどん増やす多項式の使用に切り替える ( -適応型 FEM)、または両方の戦略を組み合わせる ( -適応型 FEM) のいずれかの方法があります。高次 LIP の使用は、精度に非常に有益であることが示されています。^[18]${\displaystyle n}$${\displaystyle h^{n+1}\max f^{(n+1)}(\xi )}$${\displaystyle h}$${\displaystyle p}$${\displaystyle hp}$

• 基底関数の重ね合わせ誤差
• 角運動量
• 原子軌道
• 分子軌道
• 量子化学および固体物理学ソフトウェアのリスト

ここで説明されている多くの基底関数セットは、他のものと共に、以下の参考文献で説明されており、それらの参考文献自体が元のジャーナル記事への参照を示しています。

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• EMSL 基底関数交換
• TURBOMOLE 基底関数ライブラリ
• CRYSTAL – 基底関数ライブラリ 2020-02-11 にWayback Machineでアーカイブされました
• Dyall 基底関数ライブラリ
• ピーターソングループの相関整合基底関数
• 札幌セグメント化ガウス基底関数ライブラリ^{[永久リンク切れ‍ ]}
• シュトゥットガルト/ケルンエネルギー無矛盾（ab initio）擬ポテンシャルライブラリ
• ChemViz – 基底関数の実験アクティビティ