円錐形の組み合わせ

有限個のベクトルが与えられた場合${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$実ベクトル空間では、これらのベクトルの円錐結合、円錐和、または重み付き和^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} は、次の形式のベクトルである。

$\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}+\cdots +\alpha_{n}x_{n}}$

どこ$\displaystyle \alpha _{i}}$は非負の実数です。

その名前は、すべての円錐状ベクトル和の集合が円錐（おそらく低次元部分空間内）を定義するという事実に由来する。

与えられた集合に対するすべての円錐組み合わせの集合${\displaystyle S}$は円錐形ハル（または円錐形ハル）と呼ばれます。${\displaystyle S}$そして、${\displaystyle \operatorname {cone} (S)}$^{[ 1 ]}または${\displaystyle \operatorname {coni} (S)}$[ ^{2 ]}つまり^、

${\displaystyle \operatorname {coni} (S)=\left\{\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}:x_{i}\in S,\,\alpha _{i}\in \mathbb {R} _{\geq 0},\,k\in \mathbb {N} \right\}.}$

取ることで${\displaystyle k=0}$ゼロベクトル（原点）はすべての円錐包に属する（総和が空和になるため）。

集合の円錐形の殻${\displaystyle S}$は凸集合である。実際、それはSを含むすべての凸錐と原点の交点である。^{[ 1 ]}もし${\displaystyle S}$がコンパクト集合である場合（特に、それが有限の空でない点の集合である場合）、条件「原点を含む」は不要です。

原点を無視すれば、すべての係数をそれらの合計で割ることで、円錐結合が正の係数でスケーリングされた凸結合であることがわかる。

したがって、「円錐結合」と「円錐包」は、実際にはそれぞれ「凸円錐結合」と「凸円錐包」である。^{[ 1 ]}さらに、原点を捨てて係数を分割するという上記の記述は、円錐結合と包が射影空間における凸結合と凸包とみなせることを示唆している。

コンパクト集合の凸包もコンパクト集合ですが、円錐包の場合はそうではありません。まず、円錐包は非有界です。さらに、必ずしも閉集合であるとは限りません。反例として、原点を通る球面があり、その円錐包は開半空間と原点になります。しかし、${\displaystyle S}$は原点を含まない空でない凸コンパクト集合である。${\displaystyle S}$は閉集合である。^{[ 1 ]}