ポアソン比

材料科学および固体力学において、ポアソン比（記号：ν ( nu )）は、ポアソン効果、つまり特定の荷重方向に対して垂直な方向の材料の変形（膨張または収縮）の尺度です。ポアソン比の値は、横方向のひずみと軸方向のひずみの比を負にしたものです。これらの変化の値が小さい場合、ν は横方向の伸びの量を軸方向の圧縮の量で割った値です。ほとんどの材料のポアソン比の値は0.0～0.5の範囲です。ゴムなどの柔らかい材料^[1]では、体積弾性率が剪断弾性率よりもはるかに高いため、ポアソン比は0.5に近くなります。オープンセルポリマーフォームの場合、圧縮時にセルが崩壊する傾向があるため、ポアソン比はゼロに近くなります。多くの一般的な固体のポアソン比は0.2～0.3の範囲です。この比率はフランスの数学者であり物理学者であるシメオン・ポアソンにちなんで名付けられました。

ポアソン比はポアソン効果の尺度であり、ポアソン効果とは、材料が圧縮方向に対して垂直な方向に膨張する傾向がある現象です。逆に、材料が圧縮されるのではなく引き伸ばされた場合、通常は引き伸ばされた方向に対して横方向に収縮する傾向があります。輪ゴムが引き伸ばされると、明らかに細くなるのはよく見られる現象です。繰り返しますが、ポアソン比は相対収縮と相対膨張の比であり、上記と同じ値になります。まれに、^[2]圧縮されると材料が横方向に収縮する（または引き伸ばされると膨張する）場合があり、ポアソン比は負の値になります。

安定した等方性の線形弾性材料のポアソン比は、ヤング率、せん断弾性率、および体積弾性率が正の値であるという要件のため、 -1.0 から +0.5 の間でなければなりません。 ^[3]ほとんどの材料のポアソン比の値は 0.0 から 0.5 の間です。小さなひずみで弾性変形した完全に非圧縮性の等方性材料のポアソン比はちょうど 0.5 になります。ほとんどの鋼鉄と硬質ポリマーは、設計限界内 (降伏前) で使用すると約 0.3 の値を示し、主に一定の体積で発生する降伏後の変形では 0.5 に増加します。^[4]ゴムのポアソン比はほぼ 0.5 です。コルクのポアソン比は 0 に近く、圧縮されても横方向の膨張がほとんど見られず、ガラスは 0.18 から 0.30 の間です。一部の材料、例えば一部のポリマーフォーム、折り紙の折り目^{[5] [6]}、および特定のセルなどは負のポアソン比を示すことがあり、オーセティック材料と呼ばれます。これらのオーセティック材料を一方向に引き伸ばすと、垂直方向が厚くなります。対照的に、カーボンナノチューブ、ジグザグベースの折り畳まれたシート材料^{[7] [8]}、ハニカムオーセティックメタマテリアル^[9]などのいくつかの異方性材料は、特定の方向で0.5を超えるポアソン比を1つ以上示すことができます。

材料が一方向（下の図の x軸）にのみ伸張または圧縮されると仮定します。

${\displaystyle \nu =-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {trans} }}{d\varepsilon _{\mathrm {axis} }}}=-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {y} }}{d\varepsilon _{\mathrm {x} }}}=-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {z} }}{d\varepsilon _{\mathrm {x} }}}}$

どこ

• νは結果として得られるポアソン比であり、
• ε _{trans は}横方向のひずみである
• ε _axisは軸方向ひずみである

正のひずみは伸長を示し、負のひずみは収縮を示します。

x方向に引き伸ばされた立方体（図1参照）の場合、x方向の長さがΔ L増加し、y方向とz方向の長さがΔ L ′減少すると、微小な対角ひずみは次のように表されます。

${\displaystyle d\varepsilon _{x}={\frac {dx}{x}},\qquad d\varepsilon _{y}={\frac {dy}{y}},\qquad d\varepsilon _{ z}={\frac {dz}{z}}.}$

ポアソン比が変形を通じて一定である場合、これらの式を積分しポアソン比の定義を用いると、次の式が得られます。

${\displaystyle -\nu \int _{L}^{L+\Delta L}{\frac {dx}{x}}=\int _{L}^{L+\Delta L'}{\frac {dy} {y}}=\int _{L}^{L+\デルタ L'}{\frac {dz}{z}}.}$

解き、累乗すると、 Δ LとΔ L ′の関係は次のようになる。

${\displaystyle \left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)^{-\nu }=1+{\frac {\Delta L'}{L}}.}$

Δ LとΔ L ′の値が極めて小さい場合、一次近似では次の式が得られます。

${\displaystyle \nu \estimate -{\frac {\Delta L'}{\Delta L}}.}$

相対的な体積変化⁠ΔV​/五⁠立方体の伸びによる伸びを計算できるようになりました。V = L ³で あり、

${\displaystyle V+\Delta V=(L+\Delta L)\left(L+\Delta L'\right)^{2}}$

導き出すことができる

${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)\left(1+{\frac {\Delta L'}{L}}\right)^{2}-1}$

上記で導出されたΔ LとΔ L ′の関係を使用すると、

${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)^{1-2\nu }-1}$

Δ LとΔ L ′の値が極めて小さい場合、一次近似は次の式で表されます。

${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}\おおよそ (1-2\nu ){\frac {\Delta L}{L}}}$

等方性材料の場合、ラメの関係式^{[10]を使用することができる。}

${\displaystyle \nu \approx {\frac {1}{2}}-{\frac {E}{6K}}}$

ここで、Kは体積弾性率、Eはヤング率です。

直径（または幅、厚さ） dと長さLの棒に張力が加わり、長さがΔ Lだけ変化した場合、直径d は次のように変化します。

${\displaystyle {\frac {\Delta d}{d}}=-\nu {\frac {\Delta L}{L}}}$

上記の式は変形が小さい場合にのみ当てはまります。変形が大きい場合は、次の（より正確な）式を使用できます。

${\displaystyle \Delta d=-d\left(1-{\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)}^{-\nu }\right)}$

どこ

• dは元の直径
• Δ dはロッド直径の変化である
• νはポアソン比である
• Lは伸ばす前の元の長さです
• Δ L は長さの変化です。

長さが増加すると値が減少するため、値は負になります。

圧縮力（つまり法線力）のみを受ける線形等方性材料の場合、1 つの軸方向の材料の変形は、3 次元で他の軸に沿った材料の変形を引き起こします。したがって、フックの法則（圧縮力の場合）を 3 次元に一般化することができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{xx}&={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{xx}-\nu \left(\sigma _{yy}+\sigma _{zz}\right)\right]\\[6px]\varepsilon _{yy}&={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{yy}-\nu \left(\sigma _{zz}+\sigma _{xx}\right)\right]\\[6px]\varepsilon _{zz}&={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{zz}-\nu \left(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}\right)\right]\end{aligned}}}$^[要出典]

どこ：

• ε _xx、 ε _yy、 ε _{zz は}x、 y、 z方向のひずみである
• σ _xx、 σ _yy、 σ _{zz は}x、 y、 z方向の応力である
• Eはヤング率（等方性材料の場合は全方向で同じ）
• νはポアソン比（等方性材料ではすべての方向で同じ）

これらの方程式はすべて次のように合成できます。

${\displaystyle \varepsilon _{ii}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ii}(1+\nu )-\nu \sum _{k}\sigma _{kk} \右]}$

最も一般的なケースでは、せん断応力も法線応力と同様に適用され、フックの法則の完全な一般化は次のように表されます。

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ij}(1+\nu )-\nu \delta _{ij}\sum _{k} \sigma _{kk}\right]}$

ここでδ _{ij は}クロネッカーのデルタです。通常はアインシュタインの表記法が採用されます。

${\displaystyle \sigma _{kk}\equiv \sum _{l}\delta _{kl}\sigma _{kl}}$

式を簡単に書くと次​​のようになります。

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ij}(1+\nu )-\nu \delta _{ij}\sigma _{kk} \右]}$

異方性材料の場合、ポアソン比は伸長方向と横方向の変形に依存する。

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu (\mathbf {n} ,\mathbf {m} )&=-E\left(\mathbf {n} \right)s_{ij\alpha \beta }n_{i }n_{j}m_{\alpha }m_{\beta }\\[4px]E^{-1}(\mathbf {n} )&=s_{ij\alpha \beta }n_{i}n_{j}n_{\alpha }n_{\beta }\end{aligned}}}$

ここでνはポアソン比、Eはヤング率、nは伸長方向に沿った単位ベクトル、mは伸長方向に垂直な単位ベクトルである。ポアソン比は異方性の種類に応じて異なる数の特殊方向を持つ。^{[11] [12]}

直交異方性材料は、材料特性において互いに垂直な対称面が 3 つあります。木材はその一例で、木目に沿って最も硬く (強く)、他の方向では硬さが低くなります。

フックの法則は行列形式で次のように表される^{[13] [14]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\epsilon _{xx}\\\epsilon _{yy}\\\epsilon _{zz}\\2\epsilon _{yz}\\2\epsilon _{zx}\\2\epsilon _{xy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\tfrac {1}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\tfrac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{zx}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}$

どこ

• E _{i は}軸iに沿ったヤング率である
• G _{ij は}、法線が方向iである平面上の方向jのせん断弾性係数である
• ν _{ij は、}方向iに拡張が適用されたときに方向jの収縮に対応するポアソン比です。

直交異方性材料のポアソン比は、各方向（x、y、z）で異なります。ただし、応力テンソルとひずみテンソルの対称性は、方程式の6つのポアソン比がすべて独立しているわけではないことを意味します。独立した材料特性は、弾性係数3つ、せん断係数3つ、ポアソン比3つの9つだけです。残りの3つのポアソン比は、次の関係から得られます。

${\displaystyle {\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}\,,\qquad {\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}={\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}\,,\qquad {\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}}$

上記の関係から、 E _x > E _yの場合、ν _xy > ν _yxであることがわかります。大きい方の比率 (この場合はν _xy ) はメジャーポアソン比と呼ばれ、小さい方 (この場合はν _yx ) はマイナーポアソン比と呼ばれます。他のポアソン比の間にも同様の関係が見られます。

横方向等方性材料は、弾性特性が等方性である等方性面を有する。この等方性面をyz面と仮​​定すると、フックの法則は次のようになる^[15]。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\epsilon _{xx}\\\epsilon _{yy}\\\epsilon _{zz}\\2\epsilon _{yz}\\2\epsilon _{zx}\\2\epsilon _{xy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\tfrac {1}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\tfrac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {yz}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {zx}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xy}}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}$

ここで、等方性のyz平面を使用して定数の数を減らしました。つまり、

${\displaystyle E_{y}=E_{z},\qquad \nu _{xy}=\nu _{xz},\qquad \nu _{yx}=\nu _{zx}.}$。

応力テンソルとひずみテンソルの対称性は、

${\displaystyle {\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}={\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}},\qquad \nu _{yz}=\nu _{zy}.}$

これによって、6つの独立した定数E _x、E _y、G _xy、G _yz、ν _xy、ν _yzが残る。しかし、横方向の等方性により、 G _yzとE _y、ν _yzの間にさらに制約が生じ、

${\displaystyle G_{yz}={\frac {E_{y}}{2\left(1+\nu _{yz}\right)}}.}$

したがって、独立した弾性材料特性が 5 つあり、そのうちの 2 つがポアソン比です。想定される対称面では、ν _xyとν _yxのうち大きい方がメジャー ポアソン比になります。その他のメジャー ポアソン比とマイナー ポアソン比は等しくなります。

オーセチック材料として知られる一部の材料は、負のポアソン比を示します。縦軸に正のひずみを受けると、材料の横方向のひずみは実際には正になります（つまり、断面積が増加します）。これらの材料の場合、これは通常、独自の配向のヒンジ付き分子結合によるものです。これらの結合が縦方向に伸びるためには、ヒンジが横方向に「開く」必要があり、実質的に正のひずみを示します。^{[19]これは構造化された方法で行うこともでき、}機械的メタマテリアル などの材料設計に新しい側面をもたらします。

研究によると、特定の種類の無垢材は、圧縮クリープ試験中にのみ負のポアソン比を示すことがわかっています。 ^{[20] [21]}圧縮クリープ試験では、最初は正のポアソン比を示しますが、徐々に減少して負の値に達します。したがって、これは木材のポアソン比が一定荷重中に時間に依存することも示しており、軸方向と横方向のひずみが同じ速度で増加しないことを意味します。

人工微細構造を持つ媒体は、負のポアソン比を示すことがある。単純なケースでは、オーセチシティは材料を除去して周期的な多孔質媒体を作成することで得られる。^[22]格子はポアソン比のより低い値に達する可能性があり、^[23]等方性の場合、限界値 -1 に無限に近づく可能性がある。^[24]

300種類以上の結晶性物質が負のポアソン比を持っています。^{[25] [26] [27]}例えば、Li、Na、K、Cu、Rb、Ag、Fe、Ni、Co、Cs、Au、Be、Ca、Zn、Sr、Sb、MoS2_などです。

有限ひずみでは、横ひずみε _transと軸方向ひずみε _acetylの関係は、通常、ポアソン比ではうまく説明できません。実際、ポアソン比は、大きなひずみ領域で適用されるひずみの関数であると考えられることがよくあります。このような場合、ポアソン比はポアソン関数に置き換えられますが、これにはいくつかの競合する定義があります。^[28]横方向の伸びλ _trans = ε _trans + 1と軸方向の伸びλ _acetyl = ε _acetyl + 1を定義すると、横方向の伸びは軸方向の伸びの関数であり、最も一般的なのは Hencky、Biot、Green、および Almansi 関数です。

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu ^{\text{Hencky}}&=-{\frac {\ln \lambda _{\text{trans}}}{\ln \lambda _{\text{axial}}}}\\[6pt]\nu ^{\text{Biot}}&={\frac {1-\lambda _{\text{trans}}}{\lambda _{\text{axial}}-1}}\\[6pt]\nu ^{\text{Green}}&={\frac {1-\lambda _{\text{trans}}^{2}}{\lambda _{\text{axial}}^{2}-1}}\\[6pt]\nu ^{\text{Almansi}}&={\frac {\lambda _{\text{trans}}^{-2}-1}{1-\lambda _{\text{axial}}^{-2}}}\end{aligned}}}$

ポアソン効果が大きな影響を及ぼす領域の 1 つは、加圧されたパイプの流れです。パイプ内の空気または液体が高圧になると、パイプの内側に均一な力が加わり、パイプ材料内にフープ応力が生じます。ポアソン効果により、このフープ応力によってパイプの直径が大きくなり、長さがわずかに短くなります。特に長さの減少は、パイプの接合部に顕著な影響を及ぼす可能性があります。これは、直列に接合されたパイプの各セクションに効果が蓄積されるためです。拘束された接合部は引き裂かれるか、その他の理由で破損しやすくなります。^{[引用が必要]}

ポアソン効果のもう一つの応用分野は、構造地質学の分野です。岩石は、ほとんどの物質と同様に、応力を受けるとポアソン効果の影響を受けます。地質学的時間スケールでは、地殻の過度の浸食や堆積により、下にある岩石に大きな垂直応力が生じたり、除去されたりすることがあります。この岩石は、加えられた応力の直接的な結果として垂直方向に膨張または収縮し、ポアソン効果の結果として水平方向にも変形します。この水平方向のひずみの変化は、岩石の節理や潜在的応力に影響を与えたり、形成したりすることがあります。^[29]

コルクは歴史的に他の理由（不活性、不浸透性、柔軟性、密閉性、弾力性など）からワインボトルの密封に選ばれてきましたが、 ^[30]コルクのポアソン比がゼロであることは別の利点をもたらします。コルクをボトルに挿入すると、まだ挿入されていない上部は軸方向に圧縮されても直径が拡大しません。コルクをボトルに挿入するために必要な力は、コルクの半径方向の圧縮によるコルクとボトルの間の摩擦からのみ生じます。たとえば、ストッパーがゴム製（ポアソン比が約 +0.5）の場合、ゴムストッパーの上部の半径方向の膨張を克服するために比較的大きな追加の力が必要になります。

ほとんどの自動車整備士は、ゴムホース（冷却水ホースなど）を金属製のパイプのスタブから引き抜くのは難しいことを知っています。引っ張る力によってホースの直径が縮み、スタブがしっかりとつかまれるためです。（これは、中国製のフィンガートラップで示されているのと同じ効果です。）代わりに、幅広の平らな刃を使用すると、より簡単にホースをスタブから押し出すことができます。

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• 負のポアソン比を持つ材料（オーセチック）についての詳細 2018-02-08 にWayback Machineでアーカイブ