点群

幾何学において、点群は、共通の固定点を持つ対称操作（ユークリッド空間における等長変換）の数学的群である。ユークリッド空間の座標原点は慣例的に固定点とされ、次元dのすべての点群は直交群O( d )の部分群となる。点群は、幾何学的図形や分子などの物理的オブジェクトの対称性を記述するために使用される。

各点群は、y = Mxに従って点x を点yに変換する直交行列Mの集合として表すことができます。点群の各要素は、回転( Mの行列式= 1 )、または反射または不適切な回転( Mの行列式= −1 ) のいずれかです。

結晶の幾何学的対称性は空間群によって記述され、空間群は平行移動を可能にし、点群を部分群として含みます。 1 次元以上の離散点群は無限の族を形成しますが、結晶学的制限定理とビーベルバッハの定理の 1 つにより、各次元数には、その次元数の格子またはグリッド上で対称な点群が有限個しかありません。 これらが結晶学的点群です。

点群は、カイラル（または純粋に回転的な）群とアキラル群に分類できます。^[1] カイラル群は特殊直交群SO( d ) のサブグループです。カイラル群には、方向を保存する直交変換、つまり行列式 +1 の変換のみが含まれます。アキラル群には、行列式 -1 の変換も含まれます。アキラル群では、方向を保存する変換は、指数 2 の（カイラル）サブグループを形成します。

有限コクセター群または反射群は、同じ点を通過する反射鏡の集合によってのみ生成される点群です。ランクnコクセター群にはn 個の鏡があり、コクセター・ディンキン図で表されます。コクセター表記法は、回転点群やその他の部分対称点群のマークアップ記号を含む、コクセター図と同等の括弧表記法を提供します。反射群は必然的にアキラルです (単位元のみを含む自明な群を除く)。

1 次元の点群は恒等群と反射群の 2 つだけです。

2 次元の点群。ロゼット群と呼ばれることもあります。

それらは 2 つの無限のファミリーに分かれています:

1. n 倍回転群の巡回群C _n
2. n回転群と反射群の二面体群D _n

結晶学的制限定理を適用すると、両方のファミリーに対してn の値が 1、2、3、4、6 に 制限され、10 個のグループが生成されます。

1 つまたは 2 つのミラーによって定義される純粋な反射点群のサブセットは、そのCoxeter 群と関連する多角形によっても与えられます。これらには 5 つの結晶群が含まれます。反射群の対称性は同型写像によって 2 倍にすることができ、 2 つのミラーを二分ミラーによって互いにマッピングして、対称性の順序を 2 倍にします。

3 次元の点群。分子の対称性の研究に広く使用されているため、分子点群と呼ばれることもあります。

それらは7つの無限の軸群族（柱状群とも呼ばれる）と7つの追加の多面体群（プラトン群とも呼ばれる）に分類される。シェーンフライス記法では、

• 軸群: C _n、 S _{2 n}、 C _{n h}、 C _{n v}、 D _n、 D _{n d}、 D _{n h}
• 多面体群: T、T _d、T _h、O、O _h、I、I _h

これらの群に結晶学的制限定理を適用すると、 32 個の結晶学的点群が得られます。

1 から 3 の鏡面によって定義される反射点群は、コクセター群および関連する多面体によっても表すことができます。[3,3] 群は 2 倍にすることができ、[[3,3]] と書き、最初の鏡面と最後の鏡面を互いにマッピングし、対称性を 48 に 2 倍にして、[4,3] 群と同型にします。

4次元点群（キラルとアキラル）は、ConwayとSmith ^[1]の第4節、表4.1～4.3にリストされています。

次のリストは、4 次元の反射群を示しています (部分空間を固定したままにして低次元の反射群となるものは除きます)。各群はCoxeter 群として指定され、3D の多面体群と同様に、関連する凸正 4 次元多面体で名​​前を付けることができます。それぞれに対して、半分の位数を持つ関連する純粋な回転群が存在し、指数に '+' を使用した括弧Coxeter表記法で表すことができます。たとえば、[3,3,3] ⁺には 3 つの 3 倍の回転点があり、対称位数は 60 です。[3,3,3] や [3,4,3] などの前後対称群は、Coxeter 表記法で二重括弧として示され、たとえば位数が 240 に倍増した [[3,3,3]] になります。

次の表は、5 次元反射群 (低次元反射群を除く) をCoxeter 群としてリストしたものです。それぞれに半分の位数を持つ関連するカイラル群が存在し、指数に「+」を付けた括弧Coxeter 表記法で表すことができます。たとえば、[3,3,3,3] ⁺には 4 つの 3 倍回転点があり、対称位数は 360 です。

次の表は、6 次元反射群 (低次元反射群を除く) をCoxeter 群としてリストしたものです。それぞれに、半分の位数を持つ関連する純粋回転群が存在し、指数に「+」を付けた括弧Coxeter 表記法で表すことができます。たとえば、[3,3,3,3,3] ^{+ に}は5 つの 3 倍回転点があり、対称位数は 2520 です。

次の表は、7 次元反射群 (低次元反射群を除く) をCoxeter 群としてリストしたものです。それぞれに関連するカイラル群が存在し、その半分の順序は反射回数が偶数で定義され、指数に '+' の括弧Coxeter 表記法で表すことができます。たとえば、[3,3,3,3,3,3] ⁺には 6 つの 3 倍回転点があり、対称順序は 20160 です。

次の表は、8 次元反射群 (低次元反射群を除く) をCoxeter 群としてリストしたものです。それぞれに関連するカイラル群が存在し、その半分の順序は反射回数が偶数で定義され、指数に「+」の括弧Coxeter 表記法で表すことができます。たとえば、[3,3,3,3,3,3,3] ⁺には 7 つの 3 倍回転点があり、対称順序は 181440 です。

• 2次元の点群
• 3次元の点群
• 4次元の点群
• 結晶学
• 結晶点群
• 分子の対称性
• 空間群
• X線回折
• ブラヴェ格子
• 金属カルボニルの赤外分光法

• HSM Coxeter (1995)、F. Arthur Sherk、Peter McMullen、Anthony C. Thompson、Asia Ivic Weiss (編)、Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter、Wiley-Interscience Publication、ISBN 978-0-471-01003-6
  • (論文 23) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
• HSM Coxeter、WOJ Moser (1980)、離散群の生成器と関係（第4版）、ニューヨーク：Springer-Verlag
• NW ジョンソン(2018)、「第 11 章: 有限対称群」、幾何学と変換

• Web ベースのポイント グループ チュートリアル (Java と Flash が必要)
• サブグループの列挙 (Java が必要)
• 幾何学センター: 2.1 直交座標系における対称性の公式 (2 次元)
• 幾何学センター: 10.1 直交座標における対称性の公式 (3 次元)