マルチビュー正投影

テクニカル ドローイングおよびコンピュータ グラフィックスにおいて、マルチビュー投影は、標準化された一連の正投影の 2 次元画像を作成して3 次元オブジェクトの形状を表すイラストレーションの手法です。オブジェクトの最大 6 枚の画像 (プライマリ ビューと呼ばれる) が作成され、各投影面はオブジェクトの座標軸の 1 つに平行になります。ビューは、第 1 角投影または第 3 角投影の 2 つのスキームのいずれかに従って、互いに対して配置されます。各スキームでは、ビューの外観は、オブジェクトの周りに 6 辺のボックスを形成する平面に投影されていると考えることができます。6 つの異なる側面を描くこともできますが、通常、図面の 3 つのビューで 3 次元オブジェクトを作成するのに十分な情報が得られます。

これら 3 つのビューは、正面図(立面図とも呼ばれます)、上面図または平面図、および端面図(側面図または断面図とも呼ばれます) と呼ばれます。

描画される物体の平面または軸が投影面と平行でなく、物体の複数の側面が同じ画像内に見える場合、補助ビューと呼ばれます。

このような各画像をレンダリングするには、オブジェクトに向かう視線(投影線、投影光線、または視線とも呼ばれる) が選択され、オブジェクト上のさまざまな関心点 (たとえば、視線に沿ってオブジェクトを見たときに見える点) が決定されます。これらの関心点は、視線に垂直な何らかの幾何学的平面(投影平面または画像平面と呼ばれる)上の点に正投影によってマッピングされ、3D オブジェクトの 2D 表現が作成されます。

通常、物体の座標系の3つの軸それぞれに対して2つの視線が選択されます。つまり、各軸に平行に、物体は2つの反対方向のいずれかから見ることができ、物体の正投影（または「ビュー」）は合計6つになります。^[1]

• 垂直軸 (多くの場合、y軸) に沿って:平面図とも呼ばれる上面図と底面図(建物の床など、水平面上の特徴の配置を示すため)。
• 水平軸 (多くの場合、Z軸) に沿って:正面図と背面図。これらは標高図と呼ばれます(建物などのオブジェクトの特徴の高さを示すため)。
• 直交軸（多くの場合x軸）に沿って：同じ理由により、左側のビューと右側のビュー（立面図とも呼ばれます）

これらの 6 つの投影面は互いに交差し、オブジェクトの周囲にボックスを形成します。最も均一な構造は立方体です。従来、これらの 6 つのビューは、最初に 3D オブジェクトを立方体の 2D 面に投影し、次に立方体の面を「展開」して、すべての面が同じ平面 (つまり、すべての画像が一緒に表示される媒体の平面、たとえば紙やコンピューター モニターなど) 内に含まれるようにすることで、一緒に表示されます。ただし、ボックスの面が 1 つの標準化された方法で展開されたとしても、特定の面によってどの投影が表示されているのかは不明瞭です。立方体には視線に対して垂直な 2 つの面があり、関心のあるポイントはどちらかの面に投影される可能性があるため、この選択によって、2 つの主要な投影標準が生まれました。

1. 第一角投影: このタイプの投影では、物体は第一象限にあると想定されます。観察者は通常、正面図を得るために象限の右側から見るため、物体は観察者と投影面の間に入り込みます。したがって、この場合、物体は透明であると想定され、投影面と交わるように物体のさまざまな点からプロジェクターが延長されていると想定されます。これらの交わる点が平面上で順番に結合されると、画像が形成されます。したがって、第一角投影では、どのビューも物体から離れた側を表すように配置されます。第一角投影はヨーロッパの一部でよく使用されるため、ヨーロッパ投影と呼ばれることもあります。
2. 第三角投影: このタイプの投影では、物体は第 3 象限にあると想定されます。また、観察者は通常、正面図を取得するために象限の右側から見ることになるため、この方法では投影面が観察者と物体の間に入り込みます。したがって、投影面は透明であると想定されます。この平面と物体のすべての点からの投影面の交差により、透明面上に画像が形成されます。

マルチビュー投影では、オブジェクトの主要なビューが示され、各ビューは主要な座標軸の 1 つに平行な方向から表示されます。これらの主要なビューは、平面図と立面図と呼ばれます。オブジェクトが切断されたか、または内部が見えるように断面に分割されたかのように表示される場合もあります。これらのビューは、断面と呼ばれます。

平面図は、3次元の物体を垂直上方（または下方^{[要出典] ）から見た図である。物体の上方または下方を通過する水平面の位置に描かれることもある。この図における形状の輪郭は、}航空機の翼など、平面図と呼ばれることもある。

建物を上から見た平面図を屋根伏図といいます。壁を通して水平面で見た断面図で、その下の床が見えるものを平面図といいます。

立面図は、3 次元のオブジェクトを、オブジェクトの横にある垂直面の位置から見た図です。つまり、立面図は、前、後、左、または右から見た側面図です (正面図、[左/右]側面図、背面図とも呼ばれます)。

立面図は、3 次元オブジェクトの外部構成と詳細を 2 次元で表現する一般的な方法です。建築図面や技術図面では、建物のファサードが立面図として示されます。

立面図は、建物の外観を外部から伝える最も一般的な正投影です。透視図もこの目的でよく使用されます。建物の立面図は通常、建物が向いている方位、つまり人が建物を見る方向に応じてラベル付けされます。たとえば、建物の北立面図は、方位図で真北に最も近い側です。^[2]

内部の立面図は、木工細工やトリム構成 などの詳細を示すために使用されます。

建築業界では、立面図は構造物の透視図ではありません。これらはスケールに合わせて描かれ、必要なあらゆる側面の測定が可能です。図面セットには、正面、背面、両側面の立面図が含まれます。立面図は、棟の高さ、土地の最終傾斜の位置、外装仕上げ、屋根の傾斜、その他の建築の詳細など、建物のさまざまなファサードの構成を指定します。

展開図は通常の立面図の変形で、複数の隣接する非平行な側面が展開されたかのように一緒に表示されます。たとえば、北側と西側のビューは、適切な正投影を表さなくても、エッジを共有して横に並べて表示される場合があります。

セクション、または横断面は、オブジェクトを通過する平面の位置から見た 3 次元オブジェクトのビューです。

断面は、3 次元オブジェクトの内部配置を 2 次元で表現する一般的な方法です。技術図面でよく使用され、伝統的にクロスハッチングで表されます。クロスハッチングのスタイルは、断面が通過する材料の種類を示すことがよくあります。

コンピュータ断層撮影では、コンピュータがX線データ から断面を構築します。

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  断面が黄色で示された飲料缶ストーブの 3D ビュー。
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  圧縮シールの 2D 断面図。
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  ポルシェ 996の断面図
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  ジェットエンジンの断面
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  建築設計における断面図

補助図または絵画図は、6つの主要図以外の任意の平面に投影される正投影図です。^[3] これらの図は通常、オブジェクトが斜面にある場合に使用されます。斜面と平行な平面に投影することで、表面の実際のサイズと形状が表示されます。補助図は、等角投影を使用して描かれることが多いです。

現代の正投影は、ガスパール・モンジュの記述幾何学から派生したものです。^{[4]モンジュは、水平}H（「地面」）と垂直V （「背景」）の2つの視野面の参照システムを定義しました。これら2つの平面が交差して3D空間を4つの象限に分割し、モンジュは次のようにラベルを付けました。

• I : Hの上、 Vの前
• II : Hの上、Vの後ろ
• III : Hの下、Vの後ろ
• IV : Hの下、 Vの前

これらの象限ラベルは、2D 平面ジオメトリで使用されるものと同じで、 HとV をそれぞれX軸とY軸 として、無限遠から「左」から見たものです。

次に、対象の 3D オブジェクトを象限IまたはIIIに配置し(同様に、2 つの平面間の交差線の位置がシフトされます)、それぞれ第 1角投影と第 3 角投影を取得します。象限IIとIVも数学的には有効ですが、それらを使用すると、1 つのビューが「実際の」ビューになり、もう 1 つのビューは垂直中心線を基準に 180°「反転」されるため、技術図面では混乱を招きます (このようなビューが便利な場合、たとえば上から見た天井では、実際の正投影ビューの鏡像である反射ビューが使用されます)。

モンジュの元の定式化では、2 つの平面のみを使用し、上面と正面のビューのみを取得します。側面ビュー(左または右) を表示するために 3 番目の平面を追加するのは、現代の拡張です。象限という用語は、3 つのビューを持つ現代の正投影が 3D 空間の八分儀に正確に対応しているため、やや時代錯誤です。

第一角投影では、物体は概念的に象限Iに配置されます。つまり、物体は表示面の上方かつ前方に浮かんでおり、表示面は不透明で、各ビューは物体を通して物体から最も遠い面上に押し出されます。(記憶法: 「舞台上の俳優」) 6 面のボックスに拡張すると、物体の各ビューは物体の視線の方向 (感覚) に、ボックスの (不透明な) 内壁に投影されます。つまり、物体の各ビューはボックスの反対側に描画されます。次に、ボックスを「展開」してすべての内壁を表示することにより、物体の 2 次元表現が作成されます。これにより、2 つの平面図と 4 つの立面図が作成されます。これを視覚化するより簡単な方法は、物体を逆さまにしたボウルの上に置くことです。物体をボウルの右端に沿って下にスライドさせると、右側面のビューが表示されます。

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  箱の中にある物体の画像。
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  同じ画像ですが、第一角投影を使用して、オブジェクトのビューが視線の方向に壁に投影されています。
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  オブジェクトの周囲からボックスが展開される様子を示す同様の画像。
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  第一角投影に従って互いの相対的に配置された正投影ビューを示す画像。

第三角投影では、物体は概念的に第 III 象限に配置されます。つまり、物体は表示平面の下と後ろに配置され、平面は透明で、各ビューは最も近い平面に引き寄せられます。(記憶法: 特に床に沈んだ「水槽の中のサメ」) 6 面の表示ボックスを使用して、物体の各ビューは、視覚の方向 (感覚) とは反対に、ボックスの (透明な) 外壁に投影されます。つまり、物体の各ビューはボックスの同じ側に描画されます。次に、ボックスを展開して外壁をすべて表示します。これを視覚化するより簡単な方法は、物体をボウルの底に置くことです。物体をボウルの右端までスライドさせると、右側面のビューが表示されます。

これは、上記と同じオブジェクトの第 3 角投影図の作成です。個々のビューは同じですが、配置が異なることに注意してください。

第一角投影法は、物体が紙の上に置かれているかのように見え、正面から見ると、物体は左側を見せるために右に巻かれ、底面を見せるために上に巻かれます。これは、ヨーロッパとアジア（日本を除く）全体で標準です。第一角投影法は英国で広く使用されていましたが、第二次世界大戦中、ロールスロイスマーリンなどの米国での製造に送られた英国の図面は、パッカード V-1650 マーリンのように、生産される前に第三角投影法で描かれなければなりませんでした。これは、いくつかの英国企業が第三角投影法を完全に採用したことを意味します。BS 308（パート1）エンジニアリング製図法では、両方の投影法を使用するオプションが示されていましたが、一般に、すべての図（第一角と第三角の違いを説明するものを除く）は第一角で描かれていました。 1999 年に BS 308 が廃止された後、BS 8888 は ISO 5456-2「技術図面 - 投影法 - パート 2: 正投影表現」を直接参照していたため、同じ選択肢を提供しました。

第三角法は、オブジェクトが展開される箱であるかのように考えられます。箱を展開して、正面図が 2 つのアームの中央にくるようにすると、上面図はその上に、下面図はその下に、左面図は左に、右面図は右になります。これは、米国 ( ASME Y14.3-2003 ではデフォルトの投影システムとして指定)、日本 ( JIS B 0001:2010 ではデフォルトの投影システムとして指定)、カナダ、オーストラリア ( AS1100.101では推奨投影システムとして指定) では標準です。

第一角投影と第三角投影はどちらも同じ 6 つのビューを生成します。両者の違いは、ボックスの周囲でのこれらのビューの配置です。

図面をある規則から別の規則に移すと、製図室や技術部門で大きな混乱が生じます。技術図面では、右の図に示すように、投影は第一角投影または第三角投影の円錐台を表す国際記号で示されます。

3D の解釈は、小さい方の端が見る人の方を向いている、円錐台です。したがって、正面図は 2 つの同心円です。内側の円が破線ではなく実線で描かれていることから、この図は背面図ではなく正面図であることが分かります。側面図は等脚台形です。

• 第一角投影では、正面図は後ろの壁に押し戻され、右側面図は左の壁に押し戻されるため、第一角記号は、円から離れた最短辺を持つ台形を示します。
• 第三角法では、正面図は正面の壁に向かって引かれ、右側面図は右側の壁に向かって引かれるため、第三角法の記号は、台形の最短辺が円に向くように表示されます。

正投影マルチビュー投影は、記述幾何学の原理から派生したもので、特定の仮想物体を空間の任意の方向から見た画像を作成できます。正投影は、画像化された物体のすべての点から放射され、投影と直角に交差する平行投影によって区別されます。上記では、物体を目的の位置に回転させた後に画像を投影することでさまざまなビューを取得する手法について説明しました。

記述幾何学では通常、物体が静止していると想定し、投影（視線）の方向を変更して目的のビューを取得することにより、さまざまなビューを取得することに依存します。

図 1を参照してください。上記の回転テクニックを使用する場合、傾斜面を垂直に見る正投影ビューは利用できないことに注意してください。技術者が、たとえば、表面に対して垂直にドリルで開ける穴を透視するために、このようなビューを希望するとします。このようなビューは、クリアランスの計算や寸法の測定に必要になる場合があります。複数の回転を行わずにこのビューを取得するには、記述幾何学の原理が必要です。以下の手順では、第三角投影でこれらの原理を使用する方法について説明します。

• 図 1 : 技術者がイメージ化したい仮想物体の図解。
• 図 2 : オブジェクトは垂直な投影面の背後に想像されます。投影面の角度のついたコーナーについては後で説明します。
• 図 3 : プロジェクターは、投影面に対して垂直に、オブジェクトのすべての点から平行に放射します。
• 図4：これにより画像が作成されます。
• 図 5 : 最初の投影面に対して垂直な 2 番目の水平面投影が追加されます。
• 図 6 : プロジェクターは、第 2 の投影面に対して垂直なオブジェクトのすべての点から平行に放射します。
• 図7：これにより画像が作成されます。
• 図 8 : 前の 2 つの平面に垂直な 3 番目の投影平面が追加されます。
• 図9 : プロジェクターは、第3の投影面に対して垂直なオブジェクトのすべての点から平行に放射します。

• 図10：これにより画像が作成されます。
• 図 11 : 4 番目の投影面は、選択した傾斜面と平行に追加され、必然的に最初の (正面) 投影面に対して垂直になります。
• 図12：プロジェクターは、傾斜面に対して垂直にオブジェクトのすべての点から平行に放射され、必然的に、4番目の（補助）投影面に対して垂直になります。
• 図13：これにより画像が作成されます。
• 図14-16 : さまざまな投影面が前頭投影面と平面になるように展開されます。
• 図 17 : 正投影マルチビュー投影の最終的な外観。傾斜面の実際の形状を示す「補助ビュー」が含まれています。

第一角法は世界のほとんどの国で使用されています。^[5]

第三角法はアメリカで最も一般的に使用されており、^[6]日本（JIS B 0001：2010）^[7]、オーストラリアでも好まれており、AS 1100.101—1992 6.3.3に規定されている^。[8]

英国では、BS8888 9.7.2.1 により、ラベル付きビュー、第三角法、第一角法という 3 つの異なるビュー配置規則が許可されています。

• 建築図面
• 断面（形状）
• エンジニアリング図面
• グラフィカル投影
• 計画（図面）

BS 308 (パート 1) エンジニアリング製図の実践 BS 8888 技術製品ドキュメントと仕様 ISO 5456-2 技術図面 - 投影法 - パート 2: 正投影表現 (円錐台記号を含む)

• 第一角投影と第三角投影の原理を説明する教育ウェブサイト —リムリック大学
• 第一角投影と第三角投影の原理を説明する教育ウェブサイト
• Flickr.com で「Elevation」のタグが付けられた画像
• 基本的な投影法 第一角と第三角