ピックの定理

幾何学において、ピックの定理は、頂点座標が整数である単純な多角形の面積を、多角形内とその境界上にある整数点の数で表す公式である。この結果は、1899年にゲオルク・アレクサンダー・ピックによって初めて説明された。 ^{[2]英語では、}ヒューゴ・シュタインハウスが1950年版の著書『数学のスナップショット』で広めた。^{[3] [4]}この定理には複数の証明があり、特定の種類の単純でない多角形に対する公式に一般化できる。

多角形のすべての頂点に整数座標があるとします。 は多角形の内部にある整数点の数、 は境界上の整数点の数（頂点と辺に沿った点の両方を含む）とします。この多角形の面積は次のようになります。 ^{[5] [6] [7] [8]} 示されている例には内部点と境界点があるため、面積は平方単位です。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A=i+{\frac {b}{2}}-1.}$$${\displaystyle i=7}$${\displaystyle b=8}$${\displaystyle A=7+{\tfrac {8}{2}}-1=10}$

この定理の証明の1つは、多角形を3つの整数頂点を持ち、他の整数点を持たない三角形に分割することです。次に、各分割された三角形の面積がちょうど であることを証明できます。したがって、多角形全体の面積は、分割された三角形の数の半分に等しくなります。このように面積と三角形の数を関連付けた後、オイラーの多面体公式を使用して、三角形の数と多角形のグリッドポイントの数を関連付けることで証明が終了します。^[5]${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

この証明の最初の部分は、ピックの公式が述べるように、3 つの整数頂点を持ち、他の整数点を持たない三角形の面積がちょうど であることを示しています。この証明では、すべての三角形が平面 に敷き詰められ、隣接する三角形は共有辺の周りで互いに 180° 回転しているという事実を利用しています。^[9] 3 つの整数頂点を持ち、他の整数点を持たない三角形による敷き詰めでは、整数グリッドの各点は 6 つのタイルの頂点です。グリッド ポイントあたりの三角形の数 (6) は、三角形あたりのグリッド ポイントの数 (3) の 2 倍であるため、平面内の三角形の密度はグリッド ポイントの 2 倍です。平面の任意のスケール領域には、(スケール係数が無限大になる極限で) そこに含まれるグリッド ポイントの数の 2 倍の三角形が含まれます。したがって、各三角形の面積は、証明に必要なとおり です。^[5]これらの三角形に面積があることの別の証明は、対称凸集合の格子点に関するミンコフスキーの定理の使用に基づいています。^[10]${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

これは、これらの特殊三角形の 1 つである多角形に対するピックの公式をすでに証明しています。他の多角形は、特殊三角形に分割できます。多角形内のグリッド ポイントのペアの間に交差しない線分を追加し、線分を追加できなくなるまで続けます。この方法で分割できない唯一の多角形は、上で検討した特殊三角形です。したがって、結果の分割には特殊三角形のみが現れます。各特殊三角形の面積は であるため、面積の多角形は特殊三角形に分割されます。^[5]${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle 2A}$

多角形を三角形に分割すると平面グラフが形成され、オイラーの公式により、任意の平面グラフの頂点、辺、面の数に適用される方程式が得られます。頂点は多角形のグリッド ポイントにすぎず、 個あります。面は、分割された三角形と、多角形の外側の平面の単一の領域です。三角形の数は 個なので、全部で 個の面があります。辺を数えるには、分割された部分に三角形の辺があることに注目してください。多角形の内部にある各辺は、2 つの三角形の辺です。ただし、多角形の境界に沿ってあり、1 つの三角形のみの一部を形成する三角形の辺があります。したがって、三角形の辺の数は方程式 に従い、この方程式から辺の数 を解くことができます。、、のこれらの値をオイラーの公式に代入すると、 ピックの公式が得られます 。これは、この線形方程式を について解くことによって得られます。^[5]同様の計算方法として、同じ細分化の辺の数が であることを証明する方法もあり、同じ結果が得られます。^[11]${\displaystyle V-E+F=2}$${\displaystyle V=i+b}$${\displaystyle 2A}$${\displaystyle F=2A+1}$${\displaystyle 6A}$${\displaystyle b}$${\displaystyle 6A=2E-b}$${\displaystyle E={\tfrac {6A+b}{2}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle V-E+F=2}$$${\displaystyle (i+b)-{\frac {6A+b}{2}}+(2A+1)=2.}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle E=3i+2b-3}$

ピックの定理（別の方法で証明された）をオイラーの公式の証明の基礎として使うことで、逆の方向に進むことも可能である。^{[6] [12]}

オイラーの公式を使用しないピックの定理の代替証明には以下のものがあります。

• 与えられた多角形を再帰的に三角形に分解し、分割された三角形の一部に面積が 1/2 より大きいものも含めることができる。ピックの公式で用いられる面積と点の数は、互いに同じように加算されるため、一般的な多角形に対するピックの公式の真偽は、三角形に対するその真偽から導かれる。任意の三角形は、その境界ボックスを三角形自体と追加の直角三角形に分割し、境界ボックスと直角三角形の両方の面積は簡単に計算できる。これらの面積計算を組み合わせると三角形に対するピックの公式が得られ、三角形を組み合わせると任意の多角形に対するピックの公式が得られる。^{[7] [8] [13]}
• あるいは、グリッドポイントを中心とするグリッドスクエアを使用する代わりに、グリッドポイントを頂点とするグリッドスクエアを使用することもできます。これらのグリッドスクエアは、与えられた多角形を断片に分割し、（多角形の各辺に沿って正方形のペアを一致させることによって）同じ面積のポリオミノに再配置することができます。 ^[14]
• ピックの定理は、ワイエルシュトラスの楕円関数に関連する二重周期関数の複素積分に基づいて証明することもできる。^[15]
• ポアソン和公式を多角形の特性関数に適用すると、別の証明が得られる。 ^[16]

ピックの定理は1999年のウェブ上の「数学定理トップ100」リストに含まれており、後にフリーク・ヴィーダイクによってさまざまな証明支援システムの能力をテストするためのベンチマークセットとして使用されました。2024年の時点で、ピックの定理はヴィーダイクによって記録された10の証明支援システムのうち2つでのみ形式化され証明されていました。^{[17][アップデート]}

ピックの定理を単純でない多角形に一般化すると、より複雑になり、内部頂点と境界頂点の数だけでなく、より多くの情報が必要になります。^{[3] [18]}たとえば、h個の穴を持つ多角形が互いに分離し、境界からも分離している場合、その多角形の面積は^[19] になります。 また、ピックの定理を、整数頂点座標を持つより複雑な平面直線グラフ で囲まれた領域に一般化することもできます。その場合は、領域とその境界のオイラー特性を使用して定義される追加の項を使用します。 ^[18]また、交差できる単一の境界多角形を持つ多角形に一般化することもできます。その場合は、各整数点の周りの多角形の巻き数と総巻き数を含む式を使用します。^[3]$${\displaystyle A=i+{\frac {b}{2}}+h-1.}$$

3次元のリーブ四面体は4つの整数点を頂点とし、他の整数点は含まないが、すべてが同じ体積を持つわけではない。したがって、3次元ではピックの定理に類似するものは存在せず、多面体の体積を内部点と境界点の数のみの関数として表すことはできない。^{[20]しかし、これらの体積は代わりに}エアハルト多項式を使用して表すことができる。^{[21] [22]}

領域の面積とグリッドポイントの数を関連付ける数学的トピックは他にもいくつかある。ブリッヒフェルトの定理は、あらゆる図形は少なくともその面積をグリッドポイントに含むように変換できると述べている。^[23]ガウス円問題は、円の面積とグリッドポイントの数の誤差を制限することに関する。^[24]凸多面体の整数点を数える問題は、数学とコンピュータサイエンスのいくつかの分野で発生する。^[25] 応用分野では、ドットプラニメーターは、図形に含まれるグリッドポイントを数えることで図形の面積を推定する透明度ベースのデバイスである。^[26]ファレー数列は、分母が制限された有理数の順序付き数列であり、その分析にはピックの定理が含まれる。^[27]

多角形の面積を計算するもう一つの簡単な方法は、靴ひも公式である。これは、任意の単純な多角形の面積を、その頂点の連続するペアの座標から計算された項の合計として与える。ピックの定理とは異なり、靴ひも公式では頂点が整数座標を持つ必要はない。^[28]

ウィキメディア・コモンズには、ピックの定理に関連するメディアがあります。

• Ed Pegg, Jr.による Pick の定理、Wolfram Demonstrations Project。
• ピックの定理を使った円周率 (Mark Dabbs、GeoGebra)