凸多面体の整数点

凸多面体における整数点の研究^[1]は、「非負係数を持つ線形方程式系には、非負整数値の解がいくつあるか」や「整数線形計画には、解がいくつあるか」といった疑問から生まれた。多面体における整数点の数え方やそれに関する他の疑問は、表現論、可換代数、代数幾何学、 統計学、コンピュータサイエンスの分野で生じる。^[2]

多面体における整数点の集合、またはより一般的にはアフィン格子の点の集合は、整数集合を表す数学的表記ZにちなんでZ多面体[ ^3]と呼ばれます。 ^[4]${\displaystyle \mathbb {Z} }$

格子Λの場合、ミンコフスキーの定理は、数 d(Λ) (格子の基本平行六面体の体積) と、与えられた対称凸集合 Sの体積を、Sに含まれる格子点の数に関連付けます。

すべての頂点が格子の要素である多面体に含まれる格子点の数は、多面体のエールハルト多項式によって記述されます。この多項式の係数の一部の式には、d(Λ) も含まれています。

ループ最適化の特定のアプローチでは、ループ本体の実行セットは、ループ制約によって定義された多面体内の整数点の集合として扱われます。

• 凸格子多面体
• ピックの定理

• アレクサンダー・バルヴィノック、マティアス・ベック、クリスチャン・ハーゼ、ブルース・レズニック、フォルクマー・ウェルカー (2005)、「多面体の整数点：ユタ州スノーバードで 2003 年 7 月 13 ～ 17 日に開催された AMS-IMS-SIAM 合同夏季研究会議の議事録」、Contemporary Mathematics、第 374 巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、doi :10.1090/conm/374、ISBN 0-8218-3459-2、MR  2134757
• バルヴィノック、アレクサンダー(2008)、「多面体の整数点」、チューリッヒ上級数学講義、チューリッヒ: ヨーロッパ数学協会、doi :10.4171/052、ISBN 978-3-03719-052-4、MR  2455889
• ベック、マティアス。ハーセ、クリスチャン。ブルース・レズニック; Vergne, ミシェル;ヴェルカー、フォルクマール。吉田るり子(2008)、多面体の整数点: 幾何学、数論、表現理論、代数、最適化、統計(PDF)、現代数学、vol. 452、プロビデンス、RI: アメリカ数学協会、doi :10.1090/conm/452、ISBN 978-0-8218-4173-0、MR  2416261