ドットプラニメーター

ドットプラニメータは、図形の面積を推定するために平面測定学で使用される装置であり、正方形のグリッドのドットを含む透明なシートで構成されています。図形の面積を推定するには、シートを図形の上に重ねて、図形内のドットを数えます。面積の推定値は、カウントされたドットの数に1つのグリッド正方形の面積を掛けたものです。いくつかのバリエーションでは、図形の境界上または境界付近にあるドットは、単位の半分としてカウントされます。ドットは、透明シートに描かれた線によってより大きな正方形のグループにグループ化されることもあり、その場合、ドットを1つずつ数えるのではなく、図形内に完全に含まれるグループをカウントに追加できます。^[1]

ドットグリッドによる面積の推定は、ドットグリッド法、または（特にグリッドと形状の配置がランダムな場合は）系統的サンプリングとも呼ばれています。^[2]その単純さからか、繰り返し再発明されてきました。^{[3] [4] [5]}

林業、地図作成、地理学の分野では、ドットプラニメータは土地の区画面積を推定するために地図に適用されてきた。^{[1] [4] [5] [6]}植物学と園芸学では、採取した葉に直接適用され、平均葉面積を推定してきた。^{[7] [8] [9]}

医学では、脳病変の大きさを推定するためにラシュリー図に応用されている。^[10]

鉱物学では、グリッド内の点を数える同様の手法が岩石サンプルの断面に適用され、異なる構成鉱物の相対的な割合を推定するという異なる目的に使用されています。^[11]

より細かいドットのグリッドを持つドットプラニメータを使用すると、より高い精度を達成できます。^[6]または、ドットプラニメータを前回の配置から異なる無理数オフセットで繰り返し配置し、その結果得られた測定値を平均すると、平均が測定された形状の真の面積に近づく傾向があるサンプル測定値のセットが得られます。^[3]より細かいグリッドを使用する方法は、ランダムな配置で繰り返し測定するよりも統計効率が良い傾向があります。 ^[2]

1899年にゲオルク・アレクサンダー・ピックによって発表されたピックの定理によれば、境界ドットを1/2として数えるドットプラニメータのバージョン（および補正項-1を追加）は、ドットを頂点とする多角形に対して正確な結果をもたらします。^{[12] [13] 1914年に}ハンス・フレデリック・ブリヒフェルトによって発表されたブリヒフェルトの定理によれば、ドットプラニメータを回転させずに、図形内のドットの数が少なくともその面積と等しくなるように、常に図形に対してドットプラニメータを移動させることができます。^{[14] [15]}

ガウス円問題は、ドットプラニメータを使用して円の面積を推定する際に得られる誤差に関するものです。その名前が示すように、この問題は19世紀初頭にカール・フリードリヒ・ガウスによって研究されました。最大誤差は円の半径の分数乗で制限され、指数は1/2から131/208の間であることが知られています。^[16]

ドットプラニメーターは、図形の境界の周囲に装置を通過させることで図形の面積を測定する他のタイプのプラニメーターとは異なります。 ^[5]

シュタインハウス経度計は、交差点を数えることで曲線の長さを推定する、同様の透明度ベースの装置である。^[17]

• ドットプラニメーター、クリス・スタッカー、フェアフィールド大学