格子上の疫病モデル

病気の伝染に関する古典的な疫学モデルについては、疫学におけるコンパートメントモデルで説明されている。ここでは、そのようなモデルを格子上でシミュレートした場合の挙動について議論する。セルオートマトンの観点から最初に検討された格子モデルは、より複雑な空間構成の良好な第一近似として機能するが、空間の異質性（人口密度の違い、都市の地理、地形の違いなど）は反映されない。^{[1]格子ベースの疫学モデルは、固定}エージェントベースモデルとして実装することもできる。^[2]

導入

伝染病の数学的モデリングは、もともと微分方程式で実装されており、これは事実上、個体のさまざまな状態が空間全体に均一に分布していると仮定していました。相関とクラスタリングを考慮するために、格子ベースのモデルが導入されました。Grassberger ^{[3] は} 、モデルの同期 (セルオートマトン) バージョンを検討し、感染率が臨界値を下回ると伝染が局所的に留まり、臨界値を超えるとシステム全体に広がるという、伝染病の成長が臨界挙動を経る様子を示しました。Cardy と Grassberger ^{[4] は、この成長}は「動的パーコレーション」普遍性クラスによって制御されるパーコレーションクラスターの成長に似ていると主張しました (完成したクラスターは静的パーコレーションと同じクラスですが、成長するクラスターには追加の動的指数があります)。非同期モデルでは、個体は、運動モンテカルロ法や「確率的格子ガス」のように、一度に 1 つずつ考慮されます。^[^{引用が必要}^]

SIRモデル

「SIR」モデルには、次の 3 つの状態があります。

感受性（S）--まだ感染しておらず、免疫がない
感染者（I）-- 現在「病気」であり、感受性のある近隣住民に伝染する可能性がある
除去（R）は、免疫付与または死亡により、プロセスへのさらなる参加が永久に不可能であるとみなされる場合

これは、サイトが免疫化なしで回復し、したがって「削除」されない「SIS」モデルとは区別されます。

格子上のモデルの非同期シミュレーションは次のように実行されます。

サイトを選択します。それが I の場合、(0,1) 内の乱数 x を生成します。
x < c の場合は R に進みます。
それ以外の場合は、ランダムに最も近い 1 つの隣接サイトを選択します。隣接サイトが S の場合は、それを I にします。
利用可能な S サイトがある限り繰り返します。

I サイトのリストを作成すると、実行が速くなります。

1 人の隣人を感染させる純率を除去率で割った値は、λ = (1-c)/c です。

同期モデルの場合、セルオートマトンと同様に、すべてのサイトが同時に更新されます (格子の 2 つのコピーを使用)。

連絡プロセス（非同期SISモデル）

I → S は単位速度で、S → I は速度 λn _I /z で、ここで n _Iは最も近い隣接 I サイトの数、z は最も近い隣接サイトの合計数です (つまり、各 I は速度 λ で 1 つの隣接サイトに感染しようとします)。

(注: いくつかの定義では S → I の速度は λn であり、これはラムダがここで示されている値の 4 分の 1 になることを意味します)。

格子上の非同期モデルのシミュレーションは、c = 1 / (1 + λ) として次のように実行されます。

サイトを選択します。それが I の場合、(0,1) 内の乱数 x を生成します。

x < c の場合は S に進みます。

それ以外の場合は、ランダムに最も近い 1 つの隣接サイトを選択します。隣接サイトが S の場合は、それを I にします。
繰り返す

同期バージョンは有向パーコレーションモデルに関連していることに注意してください。

参照

参考文献

^ フォン・チェファルベイ、クリス（2023）、「疫病の空間ダイナミクス」、感染症の計算モデル、エルゼビア、pp. 257–303、doi：10.1016 / b978-0-32-395389-4.00017-7、ISBN 978-0-323-95389-4、 2023-03-02取得
^ von Csefalvay, Chris (2023)、「エージェントベースモデリング」、感染症の計算モデリング、Elsevier、pp. 305–375、doi :10.1016/b978-0-32-395389-4.00018-9、ISBN 978-0-323-95389-4、 2023-03-02取得
^グラス バーガー、ピーター（1983）。「一般的な流行過程と動的浸透の臨界挙動について」。数学生物科学。63 （2）：157–172。doi ：10.1016/0025-5564（82）90036-0。
^ Cardy, John ; Grassberger, Peter (1985). 「Epidemic models and percolation」J. Phys. A . 18 (6): L267. Bibcode :1985JPhA...18L.267C. doi :10.1088/0305-4470/18/6/001.
^ ab Tomé, Tânia; David de Souza; Robert M. Ziff (2013). 「格子上のSIR過程の相関と閾値」プレプリント。
^ de Souza, David; Tânia Tomé (2010). 「SIRS 流行過程のダイナミクスを記述する確率的格子ガスモデル」. Physica A. 389 ( 5): 1142–1150. arXiv : 0908.1296 . Bibcode :2010PhyA..389.1142D. doi :10.1016/j.physa.2009.10.039. S2CID 17145631.
^ Tomé, Tânia; Robert Ziff (2010). 「感受性-感染-回復モデルの臨界点について」. Physical Review E. 82 ( 5): 051921. arXiv : 1006.2129 . Bibcode :2010PhRvE..82e1921T. doi :10.1103/PhysRevE.82.051921. PMID 21230514. S2CID 28861135.
^ Arashiro, Everaldo; Tânia Tomé (2007). 「捕食者‐被食者セルオートマトンにおける共存の閾値と臨界挙動」J. Phys. A . 40 (5): 887–900. arXiv : cond-mat/0607360 . Bibcode :2007JPhA...40..887A. doi :10.1088/1751-8113/40/5/002. S2CID 54021762.
^ ab Santos, GBM; Alves, TFA; Alves, GA; Macedo-Filho, A. (2020). 「2次元準周期格子上の疫病の発生」. Physics Letters A . 384 (2): 126063. arXiv : 1901.01403 . Bibcode :2020PhLA..38426063S. doi :10.1016/j.physleta.2019.126063. S2CID 119399157.
^ Alves, TFA; Alves, GA; Macedo-Filho, A. (2019-01-10). 「2次元ランダムデローネ格子上の非同期SIRモデル」. arXiv : 1901.03029 [cond-mat.stat-mech].
^ abcde Sabag、ムニル MS;マリオ J. デオリベイラ (2002)。「1 次元から 5 次元までの保存された接触プロセス」。物理学。 Rev. E . 66 (3): 036115。ビブコード:2002PhRvE..66c6115S。土井：10.1103/PhysRevE.66.036115。PMID 12366192。
^ Dickman, Ronald; I. Jensen (1993). 「非平衡格子モデルのための時間依存摂動理論」J. Stat. Phys . 71 (1/2): 89–127. Bibcode :1993JSP....71...89J. CiteSeerX 10.1.1.540.2166 . doi :10.1007/BF01048090. S2CID 46519524.
^ Moreira, Adriana; Ronald Dickman (1996). 「クエンチされた無秩序性を伴う接触過程の臨界ダイナミクス」. Phys. Rev. E . 54 (4): R3090–R3093. arXiv : cond-mat/9604148 . Bibcode :1996PhRvE..54.3090M. doi :10.1103/PhysRevE.54.R3090. PMID 9965620. S2CID 15905118.
^ Vojta, Thomas; Adam Fraquhar; Jason Mast (2009). 「2次元無秩序接触過程における無限ランダム性臨界点」. Phys. Rev. E. 79 ( 1): 011111. arXiv : 0810.1569 . Bibcode :2009PhRvE..79a1111V. doi :10.1103/PhysRevE.79.011111. PMID 19257005.
^ ab Dickman, Ronald (1999). 「非平衡シミュレーションにおける再重み付け」. Phys. Rev. E. 60 ( 3): R2441–R2444. arXiv : cond-mat/9902304 . Bibcode :1999PhRvE..60.2441D. doi :10.1103/PhysRevE.60.R2441. PMID 11970171. S2CID 17225358.
^ アブ・デ・オリベイラ、マルセロ・M. SGアウベス。 SCフェレイラ;ロナルド・ディックマン (2008)。「ボロノイ三角形分割上の接触プロセス」。物理学。 Rev. E . 78 (3): 031133.arXiv : 0810.0240。Bibcode :2008PhRvE..78c1133D。土井：10.1103/PhysRevE.78.031133。PMID 18851019。S2CID 34027358 。
^ Moreira, Adriana G.; Ronald Dickman (1992). 「3次元接触過程の臨界挙動」. Phys. Rev. E. 45 ( 2): R563–R566. Bibcode :1992PhRvA..45..563J. doi :10.1103/PhysRevA.45.R563. PMID 9907104.

さらに読む

J. Marro および R. Dickman (1999)。「格子モデルにおける非平衡相転移」ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局。

[1] フォン・チェファルベイ、クリス（2023）、「疫病の空間ダイナミクス」、感染症の計算モデル、エルゼビア、pp. 257–303、doi：10.1016 / b978-0-32-395389-4.00017-7、ISBN 978-0-323-95389-4、 2023-03-02取得

[2] von Csefalvay, Chris (2023)、「エージェントベースモデリング」、感染症の計算モデリング、Elsevier、pp. 305–375、doi :10.1016/b978-0-32-395389-4.00018-9、ISBN 978-0-323-95389-4、 2023-03-02取得

[Grassberger83-3] ^グラス バーガー、ピーター（1983）。「一般的な流行過程と動的浸透の臨界挙動について」。数学生物科学。63 （2）：157–172。doi ：10.1016/0025-5564（82）90036-0。

[CardyGrassberger85-4] Cardy, John ; Grassberger, Peter (1985). 「Epidemic models and percolation」J. Phys. A . 18 (6): L267. Bibcode :1985JPhA...18L.267C. doi :10.1088/0305-4470/18/6/001.

[TomedeSouzaZiff13-5] Tomé, Tânia; David de Souza; Robert M. Ziff (2013). 「格子上のSIR過程の相関と閾値」プレプリント。

[deSouzaTome10-6] Souza, David; Tânia Tomé (2010). 「SIRS 流行過程のダイナミクスを記述する確率的格子ガスモデル」. Physica A. 389 ( 5): 1142–1150. arXiv : 0908.1296 . Bibcode :2010PhyA..389.1142D. doi :10.1016/j.physa.2009.10.039. S2CID 17145631.

[TomeZiff10-7] Tomé, Tânia; Robert Ziff (2010). 「感受性-感染-回復モデルの臨界点について」. Physical Review E. 82 ( 5): 051921. arXiv : 1006.2129 . Bibcode :2010PhRvE..82e1921T. doi :10.1103/PhysRevE.82.051921. PMID 21230514. S2CID 28861135.

[ArashiroTome07-8] Arashiro, Everaldo; Tânia Tomé (2007). 「捕食者‐被食者セルオートマトンにおける共存の閾値と臨界挙動」J. Phys. A . 40 (5): 887–900. arXiv : cond-mat/0607360 . Bibcode :2007JPhA...40..887A. doi :10.1088/1751-8113/40/5/002. S2CID 54021762.

[:0-9] Santos, GBM; Alves, TFA; Alves, GA; Macedo-Filho, A. (2020). 「2次元準周期格子上の疫病の発生」. Physics Letters A . 384 (2): 126063. arXiv : 1901.01403 . Bibcode :2020PhLA..38426063S. doi :10.1016/j.physleta.2019.126063. S2CID 119399157.

[10] Alves, TFA; Alves, GA; Macedo-Filho, A. (2019-01-10). 「2次元ランダムデローネ格子上の非同期SIRモデル」. arXiv : 1901.03029 [cond-mat.stat-mech].

[SabagdeOliveira-11] Sabag、ムニル MS;マリオ J. デオリベイラ (2002)。「1 次元から 5 次元までの保存された接触プロセス」。物理学。 Rev. E . 66 (3): 036115。ビブコード:2002PhRvE..66c6115S。土井：10.1103/PhysRevE.66.036115。PMID 12366192。

[DickmanJensen09-12] Dickman, Ronald; I. Jensen (1993). 「非平衡格子モデルのための時間依存摂動理論」J. Stat. Phys . 71 (1/2): 89–127. Bibcode :1993JSP....71...89J. CiteSeerX 10.1.1.540.2166 . doi :10.1007/BF01048090. S2CID 46519524.

[MoreiraDickman96-13] Moreira, Adriana; Ronald Dickman (1996). 「クエンチされた無秩序性を伴う接触過程の臨界ダイナミクス」. Phys. Rev. E . 54 (4): R3090–R3093. arXiv : cond-mat/9604148 . Bibcode :1996PhRvE..54.3090M. doi :10.1103/PhysRevE.54.R3090. PMID 9965620. S2CID 15905118.

[VojtaFarquharMast09-14] Vojta, Thomas; Adam Fraquhar; Jason Mast (2009). 「2次元無秩序接触過程における無限ランダム性臨界点」. Phys. Rev. E. 79 ( 1): 011111. arXiv : 0810.1569 . Bibcode :2009PhRvE..79a1111V. doi :10.1103/PhysRevE.79.011111. PMID 19257005.

[Dickman99-15] Dickman, Ronald (1999). 「非平衡シミュレーションにおける再重み付け」. Phys. Rev. E. 60 ( 3): R2441–R2444. arXiv : cond-mat/9902304 . Bibcode :1999PhRvE..60.2441D. doi :10.1103/PhysRevE.60.R2441. PMID 11970171. S2CID 17225358.

[deOliveiraAlvesFerreiraDickman-16] アブ・デ・オリベイラ、マルセロ・M. SGアウベス。 SCフェレイラ;ロナルド・ディックマン (2008)。「ボロノイ三角形分割上の接触プロセス」。物理学。 Rev. E . 78 (3): 031133.arXiv : 0810.0240。Bibcode :2008PhRvE..78c1133D。土井：10.1103/PhysRevE.78.031133。PMID 18851019。S2CID 34027358 。

[MoreiraDickman92-17] Moreira, Adriana G.; Ronald Dickman (1992). 「3次元接触過程の臨界挙動」. Phys. Rev. E. 45 ( 2): R563–R566. Bibcode :1992PhRvA..45..563J. doi :10.1103/PhysRevA.45.R563. PMID 9907104.