回文数

回文数(数字回文または数値回文とも呼ばれる) は、数字の桁を逆にしても同じ数字 (16461 など) です。言い換えると、縦軸に対して鏡映対称性があります。回文という用語は、文字を逆にしても綴りが変わらない単語 ( rotorやracecarなど) を指す回文 ( palindrome )に由来しています。最初の 30 個の回文数 ( 10 進数) は次のとおりです。

0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、11、22、33、44、55、66、77、88、99、101、111、121、131、141、151、161、171、181、191、202、...（OEISのシーケンスA002113 ）。

回文数は娯楽数学の分野で最も注目されています。典型的な問題は、特定の特性を持ち、回文である数を求めるものです。例えば、

• 回文素数は2、3、5、7、11、101、131、151、... です ( OEISのシーケンスA002385 )。
• 回文平方数は、0、1、4、9、121、484、676、10201、12321、... です ( OEISのシーケンスA002779 )。

どのような基数でも回文数は無限に存在することは明らかです。なぜなら、どのような基数でも、101、1001、10001、100001 などと表記される 無限の数列は、回文数のみで構成されるからです。

回文数は10 進法で最もよく考えられますが、回文性の概念は任意の記数法の自然数に適用できます。基数b ≥ 2 の数n  > 0を考えます。これは、 k +1桁の数字a _i を持つ標準記法で次のように表されます。

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b^{i}}$

ここで、通常どおり、 すべてのiに対して0 ≤ a _i  <  bであり、a _k  ≠ 0 です。このとき、すべてのiに対してa _i  =  a _{k − i}である場合に限り、n は回文です。ゼロはどの基数でも 0 と書き、定義により回文でもあります。

1 桁の数字はすべて回文なので、10 進数では 1 桁の回文の数字が 10 個あります。

{0、1、2、3、4、5、6、7、8、9}。

2 桁の回文数は 9 個あります。

{11、22、33、44、55、66、77、88、99}。

偶数桁の回文数はすべて11で割り切れる。^[1]

3 桁の回文数は 90 個あります (積の法則を使用: 最初の桁の 9 つの選択肢 (これによって 3 番目の桁も決定されます) に、2 番目の桁の 10 つの選択肢を掛けます):

{101、111、121、131、141、151、161、171、181、191、...、909、919、929、939、949、959、969、979、989、999}

同様に、4 桁の回文数は 90 個あります (この場合も、最初の桁の選択肢は 9 個で、2 番目の桁の選択肢は 10 個です。残りの 2 桁は、最初の 2 桁の選択によって決まります)。

{1001、1111、1221、1331、1441、1551、1661、1771、1881、1991、...、9009、9119、9229、9339、9449、9559、9669、9779、9889、 9999}、

^{つまり、10 4}より小さい回文数は 199 個あります。

^{10 5}より小さい回文数は 1099 個あり、10 ⁿの他の指数は1999、10999、19999、109999、199999、1099999、... ( OEISのシーケンスA070199 ) です。他の特性を持つ回文数の数は、以下のとおりです。

回文の完全累乗 n ^{k は}多数存在します。ここでnは自然数、kは 2、3、または 4 です。

• 回文の正方形: 0、1、4、9、121、484、676、10201、12321、14641、40804、44944、... ( OEISのシーケンスA002779 )
• 回文キューブ: 0、1、8、343、1331、1030301、1367631、1003003001、... ( OEISのシーケンスA002781 )
• 回文の4 乗: 0、1、14641、104060401、1004006004001、... ( OEISのシーケンスA186080 )

^{1 2}、 11 ²、 111 ²、 1111 ² 、 ...という数列の最初の 9 つの項は、回文 1、 121、 12321、 1234321、 ... を形成します ( OEISのA002477という数列)。

立方体が回文となる唯一の既知の非回文数は 2201 であり、すべての回文の 4 乗の 4 乗根は 100000...000001 (10 ⁿ + 1) の回文になるという推測があります。

グスタフス・シモンズは、 k > 4（かつn > 1）の場合にはnk^形式の回文は存在しないと予想した。 ^[3]

回文数は、 10 進数以外の記数法でも考えられます。たとえば、2 進回文数とは、2 進表現が次の数です。

0、1、11、101、111、1001、1111、10001、10101、11011、11111、100001、...（OEISのシーケンスA057148）

または10進数で:

0、1、3、5、7、9、15、17、21、27、31、33、...（OEISのシーケンスA006995）

フェルマー素数とメルセンヌ素数は、二元回文素数のサブセットを形成します。

任意の数はのすべての基数で回文です(は のとき 1 桁の数なので当然です)。また も基数で回文です(のとき なので)。数が基数より小さい場合を除いても、ほとんどの数は 2 つ以上の基数で回文です。たとえば、、 です。の場合、数は基数で回文になることはありません。また、 の場合、素数は基数で回文になることはありません。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b>n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 11_{n-1}}$${\displaystyle 1221_{4}=151_{8}=77_{14}=55_{20}=33_{34}=11_{104}}$${\displaystyle 1991_{10}=7C7_{16}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n/2\leq b\leq n-2}$${\displaystyle p}$${\displaystyle b}$${\displaystyle {\sqrt {p}><b<p-1}$

2 ≤ b  ≤  n − 2の範囲で すべての基数bにおいて回文でない数は、厳密に非回文数 と呼ばれる。例えば、数 6 は基数 2 では「110」、基数 3 では「20」、基数 4 では「12」と表記されるが、いずれも回文ではない。6 より大きい厳密に非回文な数はすべて素数である。実際、が合成数である場合、ある に対してとなるか（この場合、 nは基数 における回文「aa」）、そうでなければ は完全平方数 となり、この場合、nは基数 における回文「121」となる（ の特殊な場合を除く）。^{[4] [5]}${\displaystyle n>6}$${\displaystyle n=ab}$${\displaystyle 1<a<b-1}$${\displaystyle b-1}$${\displaystyle n=a^{2}}$${\displaystyle a-1}$${\displaystyle n=9=1001_{2}}$

最初のいくつかの厳密に非回文的な数（OEISのシーケンスA016038）は次のとおりです。

0、1、2、3、4、6、11、19、47、53、79、103、137、139、149、163、167、179、223、263、269、283 、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ 293、311、317、347、359、367、389、439、491、563、569、593、607、659、739、827、853、877、977、983、997、...

自然数の数字の順序を逆にするだけでなく、 から減算して元の数列に戻す必要がある場合、その数は逆回文であるという。正式には、自然数を を基数とする通常の分解において、数が逆回文である場合と である場合の両者に等しい。^[6]${\displaystyle b-1}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a_{i}=b-1-a_{ki}}$

非回文数は、一連の操作によって回文数と組み合わせることができます。まず、非回文数を反転し、その結果を元の数に加えます。結果が回文数でない場合は、回文数になるまでこれを繰り返します。このような数は「遅延回文」と呼ばれます。

すべての非回文数がこのように回文数と対になるかどうかはわかっていません。対になっていないことが証明された数はありませんが、対になっていない数が多いようです。たとえば、196 は 700,000,000 回繰り返しても回文になりません。このようにして決して回文にならない数は、ライクレル数として知られています。

2017年1月24日、1,999,291,987,030,606,810という数字がOEISでA281509として公開され、「最も遅延した回文」として発表されました。1,999,291,987,030,606,810に先行し、これまで報告されていなかった125個の261ステップの最も遅延した回文のシーケンスは、A281508として別途公開されました。

回文数の逆数の合計は収束する数列であり、その値はおよそ 3.37028... ( OEISのシーケンスA118031 ) です。

シェヘラザード数は、バックミンスター・フラーが著書『シナジェティクス』で特定した数集合である。^[7] フラーはこの用語の正式な定義を与えていないが、彼の挙げた例から、n ≥ 13 でその数の中で最大の素因数である、原始数 n # の因数を含む数であると理解 できる。フラーがこれらの数をシェヘラザード数と呼んだのは、これらの数が必ず 1001 の因数を持たなければならないからである 。シェヘラザードは『千夜一夜物語』の語り手で、処刑を遅らせるために毎晩新しい話を語る。nは少なくとも 13 でなければならないので、原始数は少なくとも 1·2·3·5·7·11·13 でなければならず、7×11×13 = 1001 となる。フラーは 1001 の累乗もシェヘラザード数と呼んでいる。シェヘラザード数を含む最小の原始数は 13# = 30,030 です。

フラーは、これらの数のいくつかは数字のグループによって回文的であると指摘しました。たとえば、17# = 510,510 は、3 桁のグループの対称性を示しています。フラーは、このような数をシェヘラザードの崇高に記憶可能な包括的配当、または SSRCD 数と呼びました。フラーは、1001 を累乗すると、 3 桁のグループで回文的な崇高に記憶可能な数になるだけでなく、グループの値が二項係数になることにも注目しています。たとえば、

${\displaystyle (1001)^{6}=1,006,015,020,015,006,001}$

この数列は、いくつかのグループで左のグループに桁上げ数字が持ち込まれるため、(1001) ^{13で失敗します。フラーは、これらの}スピルオーバーを別の行に書くことを提案しています。これを実行すると、必要に応じてスピルオーバー行をさらに使用して、対称性は任意の累乗に対して無限に保持されます。^[8] 他の多くのシェヘラザード数も、このように表現すると同様の対称性を示します。^[9]

2018年には、5進数以上のあらゆる数体系において、すべての正の整数は3つの回文数の和として表すことができることを実証する論文が発表されました。^[10]

• マルコム E. ラインズ:あなたの思考のための数字: ユークリッドから最新のコンピュータまでの数に関する事実と推測: CRC プレス 1986、ISBN 0-85274-495-1、S. 61 (限定オンライン版 (Google ブックス)) 

• Weisstein、Eric W.「回文数」。MathWorld。
• ジェイソン・ドゥセッテ - 196 回文クエスト / 最も遅れた回文数
• 196 およびその他の Lychrel 番号
• MathPages の一般的な回文数について
• 100,000 までの回文数 (Ask Dr. Math より)
• P. De Geest、回文立方体
• 西山 裕, 数値回文と196問題, IJPAM, Vol.80, No.3, 375–384, 2012.