積の法則

組合せ論において、積の法則または乗法の原理は基本的な計数原理（計数の基本原理とも呼ばれる）である。簡単に言えば、あることを行う方法がa通りあり、別のことを行う方法がb通りある場合、両方の動作を実行する方法がa ・ b通りあるという直感的な考え方である。^{[1] [2]}

${\displaystyle {\begin{行列}&\underbrace {\left\{A,B,C\right\}} &&\underbrace {\left\{X,Y\right\}} \\\mathrm {To} \ \mathrm {選択} \ \mathrm {1 つ} \ \mathrm {of} &\mathrm {これら} &\mathrm {AND} \ \mathrm {1 つ} \ \mathrm {of} &\mathrm {これら} \end{行列}}}$

${\displaystyle {\begin{行列}\mathrm {is} \ \mathrm {to} \ \mathrm {choose} \ \mathrm {one} \ \mathrm {of} &\mathrm {these} .\\&\overbrace {\left\{AX,AY,BX,BY,CX,CY\right\}} \end{行列}}}$

この例では、ルールは「3 を 2 で 乗算して6 を得る」というものです。

この例の集合 { A、B、C } と { X、Y } は互いに素な集合ですが、必ずしもそうである必要はありません。{ A、B、C } のメンバーを選択し、その後再度同じ操作を行って、実質的に各要素が { A、B、C } に含まれる順序付きペアを選択する方法の数は、3 × 3 = 9 です。

別の例として、ピザを注文する場合、まずクラストの種類（薄焼きか深焼きか（2 つの選択肢））を選択する必要があります。次に、トッピング（チーズ、ペパロニ、ソーセージ（3 つの選択肢））を 1 つ選択します。

積の法則を使用すると、ピザを注文する際の組み合わせは 2 × 3 = 6 通りあることがわかります。

集合論では、この乗法原理は基数の 積 の定義としてよく用いられる。^[1]

${\displaystyle |S_{1}|\cdot |S_{2}|\cdots |S_{n}|=|S_{1}\times S_{2}\times \cdots \times S_{n}|}$

ここで、は直積演算子です。これらの集合は有限である必要はなく、また積の因数が有限個である必要もありません。 ${\displaystyle \times }$

積の法則を拡張すると、k 個のオブジェクト (人など)に関連付けられるn 個の異なるオブジェクト (お菓子など) があるとみなされます。人々がお菓子を受け取る方法は、何通りあるでしょうか。

各人はn 種類のお菓子のうちどれかを受け取ることができ、人がk人いるので、これを行う方法は複数あります。 ${\displaystyle \overbrace {n\cdots \cdot n} ^{k}=n^{k}}$

和の法則は、もう一つの基本的な計算原理です。簡単に言えば、あることをする方法がa通りあり、別のことをする方法がb通りあり、両方を同時に行うことができない場合には、どちらかの行動を選択する方法がa  +  b通りあるという考え方です。 ^[3]

• 組み合わせ原理