オシーン方程式

流体力学 において、オゼーン方程式（またはオゼーン流）は、1910年にカール・ヴィルヘルム・オゼーンによって定式化された、低レイノルズ数での粘性非圧縮性 流体の流れを記述する。オゼーン流は、ストークス流と比較して、対流加速を（部分的に）含めてこれらの流れを改良した記述である。^[1]

オシーンの研究は、粘性流体中を球が落下する現象を研究したGG ストークスの実験に基づいています。彼は、ストークスの計算で使用される流速に対する慣性係数を含む補正項を開発し、ストークスのパラドックスとして知られる問題を解決しました。彼の近似により、ストークスの計算は改善されました。

オゼーン方程式は、物体が流体中を一定の流速 Uで動いている場合（流体は物体から離れた場所で静止している）、物体に付属する参照フレーム内で次の よう に表される： ^[1] $${\displaystyle {\begin{aligned}-\rho \mathbf {U} \cdot \nabla \mathbf {u} &=-\nabla p\,+\,\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} ,\\\nabla \cdot \mathbf {u} &=0,\end{aligned}}}$$

• u は移動する物体によって引き起こされる流速の乱れであり、すなわち物体とともに移動する基準フレーム内の全流速は − U + u、
• pは圧力、
• ρは流体の密度であり、
• μは動粘度であり、
• ∇は勾配演算子であり、
• ∇ ^2はラプラス演算子です。

剛体の周りのオシーン流の境界条件は、 r が 物体の中心からの距離、p _{∞ が}物体から離れた不撹乱圧力です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} &=\mathbf {U} &&{\text{物体表面で}},\\\mathbf {u} &\to 0&&{\text{および}}\quad p\to p_{\infty }\quad {\text{の場合}}\quad r\to \infty 、\end{aligned}}}$$

オシーン方程式の基本的な特性は、一般解を縦波と横波に分割できることです。

速度が非回転的であり粘性項がなくなる場合、 解は縦波となる。方程式は${\displaystyle \left(\mathbf {u} _{\text{L}},p'\right)}$$${\displaystyle {\mathbf {u} _{\text{L}}}_{t}+U{\mathbf {u} _{\text{L}}}_{x}+{\frac {1} {\rho }}\nabla p=0,\quad \nabla \cdot \mathbf {u} _{\text{L}}=0,\quad \nabla \times \mathbf {u} _{\text{L}}=0}$$

その結果 $${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{L}}=\nabla \phi ,\quad \nabla ^{2}\phi =0,\quad p'=p-p_{\infty }=-\ rho U\mathbf {u} _{\text{L}}}$$

速度はポテンシャル理論から導き出され、圧力は線形化されたベルヌーイの方程式から導き出されます。

圧力が常にゼロで速度場がソレノイドである 場合、解は横波となる。方程式は${\displaystyle (\mathbf {u} _{\text{T}},0)}$${\displaystyle p'}$$${\displaystyle {\mathbf {u} _{\text{T}}}_{t}+U{\mathbf {u} _{\text{T}}}_{x}=\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} _{\text{T}},\quad \nabla \cdot \mathbf {u_{T}} =0.}$$

すると、完全なオシーン解は次のように与えられる。 $${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\text{L}}+\mathbf {u} _{\text{T}}}$$

ホレス・ラムによる分割定理。^[3]無限遠（例えば ）における条件が指定されている場合、分割は一意である。 ${\displaystyle \mathbf {u} =0,\ p=p_{\infty }}$

特定のオゼーン流では、横波をさらに非回転成分と回転成分に分割することが可能です。 を を満たし、無限大でゼロになるスカラー関数とし、逆にが となるように与えられると、横波は となり、 はから決定され、は単位ベクトルとなります。 またははそれ自体では横波ではありませんが、は横波です。したがって、 ${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{T}}=\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}.}$${\displaystyle \chi}$${\displaystyle U\chi _{x}=\nu \nabla ^{2}\chi }$${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{T}}=(u_{\text{T}},v_{\text{T}})}$${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }v_{\text{T}}\,dy=0}$$${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{T}}=-{\frac {\nu }{U}}\nabla \chi +\chi \mathbf {i} ,\quad \mathbf {u} _ {\text{1}}=-{\frac {\nu }{U}}\nabla \chi ,\quad \mathbf {u} _{\text{2}}=\chi \mathbf {i} .}$$${\displaystyle \chi}$${\textstyle \chi ={\frac {U}{\nu }}\int _{y}^{\infty }v_{T}\,dy}$${\displaystyle \mathbf {i} }$${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}}$$${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\text{L}}+\mathbf {u} _{\text{T}}=\mathbf {u} _{\text{L}}+\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}}$$

唯一の回転コンポーネントは です。 ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$

オゼーン流に埋め込まれた特異点力による基本解はオゼーンレットである。任意の時間依存の並進運動と回転運動を伴う一般化非定常ストークス流とオゼーン流の閉じた形式の基本解は、ニュートン流体^[4]とマイクロポーラ流体^[5]に対して導出されている。

1911年、ホレス・ラムはオゼーン方程式を用いて球の周りの粘性流の改良された表現を導き出し、レイノルズ数がやや高い場合のストークスの法則を改良した。 ^[1]また、ラムは初めて円筒の周りの粘性流の解を導いた。^[1]

外部境界が存在しないときの 特異力の応答の解は次のように表される。${\displaystyle \mathbf {f} }$$${\displaystyle U\mathbf {u} _{x}+{\frac {1}{\rho }}\nabla p-\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} =\mathbf {f} ,\quad \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$$

、ここで は点に集中する特異力であり、 は任意の点であり、は特異力の方向を与える与えられたベクトルである場合、境界がない場合、速度と圧力は基本テンソルと基本ベクトルから導かれます。${\displaystyle \mathbf {f} =\delta (q,q_{o})\mathbf {a} }$${\displaystyle \delta (q,q_{o})}$${\displaystyle q_{o}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \Gamma (q,q_{o})}$${\displaystyle \Pi (q,q_{o})}$ $${\displaystyle \mathbf {u} (q)=\Gamma (q,q_{o})\mathbf {a} ,\quad p'=p-p_{\infty }=\Pi (q,q_{o})\cdot \mathbf {a} }$$

ここで、 が空間の任意の関数である場合、無限領域の解は、 が点の周りの無限小の体積/面積要素 であるときです。 ${\displaystyle \mathbf {f} }$$${\displaystyle \mathbf {u} (q)=\int \Gamma (q,q_{o})\mathbf {f} (q_{o})dq_{o},\quad p'(q)=\int \Pi (q,q_{o})\cdot \mathbf {f} (q_{o})dq_{o}}$$${\displaystyle dq_{o}}$${\displaystyle q_{o}}$

一般性を失うことなく、原点とでとられます。すると、基本テンソルとベクトルは、 ゼロ次 の第二種修正ベッセル関数です 。 ${\displaystyle q_{o}=(0,0)}$${\displaystyle q=(x,y)}$$${\displaystyle \Gamma ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial A}{\partial x}}&{\frac {\partial A}{\partial y}}\\{\frac {\partial A}{\partial y}}&-{\frac {\partial A}{\partial x}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2\pi \nu }}e^{\lambda x}K_{o}(\lambda r){\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \Pi ={\frac {\rho }{2\pi }}\nabla (\ln r)}$$$${\displaystyle \lambda ={\frac {U}{2\nu }},\quad r^{2}=x^{2}+y^{2},\quad A=-{\frac {1}{2\pi U}}\left[\ln r+e^{\lambda x}K_{o}(\lambda r)\right]}$$${\displaystyle K_{o}(\lambda r)}$

原点とでとった一般性を失うことなく、基本テンソルと基本ベクトルは 、 ${\displaystyle q_{o}=(0,0,0)}$${\displaystyle q=(x,y,z)}$$${\displaystyle \Gamma ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial A}{\partial x}}&{\frac {\partial B}{\partial x}}&{\frac {\partial C}{\partial x}}\\{\frac {\partial A}{\partial y}}&{\frac {\partial B}{\partial y}}&{\frac {\partial C}{\partial y}}\\{\frac {\partial A}{\partial z}}&{\frac {\partial B}{\partial z}}&{\frac {\partial C}{\partial z}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{4\pi \nu }}{\frac {e^{-\lambda (r-x)}}{r}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\quad \Pi =-{\frac {\rho }{4\pi }}\nabla \left({\frac {1}{r}}\right)}$$

オシーンは、球が静止しており、流体が球から無限遠を流速( )で流れていると考えた。ストークスの計算では慣性項は無視された。 ^{[6]レイノルズ数がゼロに近づく場合、それは極限解である。レイノルズ数が0.1のように小さく有限である場合、慣性項の補正が必要である。オシーンは、}ナビエ-ストークス方程式に次の流速値を代入した。 ${\displaystyle U}$$${\displaystyle u_{1}=u+u_{1}',\qquad u_{2}=u_{2}',\qquad u_{3}=u_{3}'.}$$

これらをナビエ・ストークス方程式に代入し、プライム付きの量の二次項を無視すると、オゼーンの近似が導かれます。 $${\displaystyle u{\partial u_{1}' \over \partial x_{1}}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x_{1}}+\nu \nabla ^{2}u_{i}'\qquad \left({i=1,2,3}\right).}$$

運動は軸に関して対称であり、渦度ベクトルの発散は常にゼロであるため、次式が得られます。 関数は、の適切な関数に追加することで消去できます。 は渦度関数であり、前の関数は次のように記述できます。 また、積分により、 の解は次のようになります。 したがって、を「特権方向」と すると、次式が生成されます。${\displaystyle x}$$${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{U \over 2v}{\partial \over \partial x}\right)\chi =G(x)=0}$$${\displaystyle G(x)}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle {U \over v}{\partial u' \over \partial x}=\nabla ^{2}u'}$$${\displaystyle \chi }$$${\displaystyle e^{-Ux \over 2v}\chi ={{Ce^{-U\operatorname {Re} \over 2v}} \over \operatorname {Re} }}$$${\displaystyle x}$$${\displaystyle \varphi ={A_{0} \over \operatorname {Re} }+A_{1}{\partial \over \partial x}{1 \over \operatorname {Re} }+A_{2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}{1 \over \operatorname {Re} }+\ldots }$$

次に、3つの境界条件を適用することで、 新しい改良された抗力係数が得られます。これは次のようになります。 最後に、ストークスの解をオシーン近似に基づいて解くと、結果として得られる抗力は次のように 表されます。$${\displaystyle C=-{3 \over 2}Ua,\ A_{0}=-{3 \over 2}va,\ A_{1}={1 \over 4}Ua^{3}\ {\text{, etc.}}}$$$${\displaystyle C_{\text{d}}={12 \over \operatorname {Re} }\left(1+{3 \over 8}\operatorname {Re} \right)}$$$${\displaystyle F=6\pi \,\mu \,au\left(1+{3 \over 8}\operatorname {Re} \right),}$$

どこ：

• ${\displaystyle \mathrm {Re} =\rho ua/\mu }$球の半径に基づくレイノルズ数である。${\displaystyle a}$
• ${\displaystyle F}$流体力である
• ${\displaystyle u}$流速は
• ${\displaystyle \mu \,}$流体の粘度は

オシーンの方程式から得られる力はストークスの方程式から得られる力と次の係数だけ異なる。 $${\displaystyle 1+{3 \over 8}\mathrm {Re} .}$$

摂動の方程式は次の通りである: ^[7] しかし速度場が次の場合: $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla u'&~=0\\u\cdot \nabla u'&~=-\nabla p+\nu \nabla ^{2}u',\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{y}&=u\cos \theta \left({1+{a^{3} \over 2r^{3}}-{3a \over 2r}}\right)\\u_{z}&=-u\sin \theta \left({1-{a^{3} \over 4r^{3}}-{3a \over 4r}}\right).\end{aligned}}}$$

遠方場≫ 1 では、粘性応力は最後の項によって支配されます。つまり、 ${\displaystyle {r \over a}}$$${\displaystyle \nabla ^{2}u'=O\left({a^{3} \over r^{3}}\right).}$$

慣性項は、次の項によって支配されます。 $${\displaystyle u{\partial u' \over \partial z_{1}}\sim O\left({a^{2} \over r^{2}}\right).}$$

誤差は次の比率で表されます。 $${\displaystyle u{{\partial u' \over \partial z_{1}} \over {\nu \nabla ^{2}u'}}=O\left({r \over a}\right).}$$

これは ≫ 1 に対して無限大になるため、遠方場では慣性を無視できません。回転をとると、ストークス方程式は次のようになります。 物体は渦度の発生源であるため、は が大きい に対して対数的に無限大になります。これは明らかに非物理的であり、ストークスのパラドックスとして知られています。 ${\displaystyle {r \over a}}$${\displaystyle \nabla ^{2}\zeta \,=0.}$${\displaystyle \zeta \,}$${\displaystyle {r \over a}.}$

静止した液体中を一定の速度で移動する固体球の場合を考えてみましょう。液体は非圧縮性流体（つまり、密度が一定）としてモデル化され、静止しているということは、球からの距離が無限大に近づくにつれて、その速度がゼロに近づくことを意味します。

実際の物体の場合、動き始めると加速による一時的な影響が生じますが、十分な時間が経過するとゼロに近づくため、流体の速度はどこでも、物体がすでに無限の時間動いている仮想的なケースで得られる速度に近づきます。

したがって、無限遠で静止している非圧縮性流体中を、一定の速度で動いている半径a の球体を想定します。座標中心が球体の中心にある状態で、球体とともに移動する 座標で作業します。次の式が成り立ちます。${\displaystyle {\vec {U}}}$${\displaystyle {\vec {x}}_{m}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {u}}\left(\left\|{{\vec {x}}_{m}}\right\|=a\right)&={\vec {U}}\\{\vec {u}}\left(\left\|{{\vec {x}}_{m}}\right\|\rightarrow \infty \right)&\rightarrow 0\end{aligned}}}$$

これらの境界条件は、運動方程式と同様に、座標で表現されると時間不変（つまり、時間のシフトによって変化しない）であるため、解はこれらの座標を通じてのみ時間に依存します。 ${\displaystyle t\rightarrow t+\Delta t}$${\displaystyle {\vec {x}}_{m}}$

運動方程式は、静止座標系 で定義されたナビエ・ストークス方程式です。空間微分は両方の座標系で等しいですが、方程式に現れる時間微分は次式を満たします。 ここで、微分は移動座標 に対するものです。これ以降、添え字m は省略します。 ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {x}}_{m}-{\vec {U}}\cdot t}$$${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {u}}\left({\vec {x}},t\right)}{\partial t}}=\sum _{i}{{\frac {d{x_{m}}_{i}}{dt}}{\frac {\partial {\vec {u}}\left({\vec {x}}_{m}\right)}{\partial {x_{m}}_{i}}}}=-\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}_{m}\right){\vec {u}}}$$${\displaystyle {\vec {\nabla }}_{m}}$${\displaystyle {\vec {x}}_{m}}$

オゼーンの近似は、 における非線形項を無視することに等しい。したがって、非圧縮ナビエ・ストークス方程式は次のようになる。 密度ρ および動粘性ν = μ/ρ (μ は動粘性) を持つ流体の場合。p は圧力である。 ${\displaystyle {\vec {u}}}$$${\displaystyle \left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {u}}+\nu \nabla ^{2}{\vec {u}}={\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}p}$$

非圧縮性流体の連続方程式により、解はベクトルポテンシャルを使って表すことができます。これは 方向に向いており、その大きさは 2 次元問題で使用される流れ関数に相当します。次の式が成り立ちます。 ここで は球に近い流れの レイノルズ数です。${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}=0}$ ${\displaystyle {\vec {\psi }}}$${\displaystyle {\vec {\varphi }}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=Ua^{2}\left(-{\frac {a}{4r^{2}}}\sin \theta +3{\frac {1-\cos \theta }{r\sin \theta }}{\frac {1-e^{-{\frac {Rr}{4a}}(1+\cos \theta )}}{R}}\right)\\{\vec {u}}&={\vec {\nabla }}\times (\psi {\hat {\varphi }})={\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\psi \sin \theta \right){\hat {r}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\psi \right){\hat {\theta }}\end{aligned}}}$$${\displaystyle R=2aU/\nu }$

いくつかの表記ではが に置き換えられ、からの の導出が2 次元の場合 (極座標) の 流れ関数からの の導出に近くなることに注意してください。${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \Psi =\psi \cdot r\sin \theta }$${\displaystyle {\vec {u}}}$${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \psi }$次のように表現できます。 $${\displaystyle \psi =\psi _{1}+\psi _{2}-\psi _{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}}$$

ここで 、 となる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}&\equiv -{\frac {Ua^{3}}{4r^{2}}}\sin \theta \\\psi _{2}&\equiv {\frac {3Ua^{2}}{Rr}}{\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle k\equiv {\frac {R}{4a}}}$$${\displaystyle {\frac {U}{2k}}={\frac {2Ua}{R}}=\nu }$

型のベクトルのベクトルラプラシアンは次 のようになります。 ${\displaystyle V(r,\theta ){\hat {\varphi }}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla ^{2}\left(V(r,\theta ){\hat {\varphi }}\right)={\hat {\varphi }}\cdot \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)V(r,\theta )=\\&{\hat {\varphi }}\cdot \left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}V(r,\theta )\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}V(r,\theta )\right)-{\frac {V(r,\theta )}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right]\end{aligned}}}$$

したがって、次のように計算できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\left(\psi _{1}{\hat {\varphi }}\right)&=0\\\nabla ^{2}\left(\psi _{2}{\hat {\varphi }}\right)&=0\end{aligned}}}$$

したがって： $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}{\vec {\psi }}&=-\nabla ^{2}\left(\psi _{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}\right)\\&=-\left(\psi _{2}\nabla ^{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}+2{\frac {\partial \psi _{2}}{\partial r}}{\frac {\partial }{\partial r}}e^{-kr(1+\cos \theta )}+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial \psi _{2}}{\partial \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}e^{-kr(1+\cos \theta )}\right){\hat {\varphi }}\\&=-{\frac {6Ua^{2}}{R}}\sin \theta \left({\frac {k^{2}}{r}}+{\frac {k}{r^{2}}}\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}\end{aligned}}}$$

したがって、渦度は次のようになります。 $${\displaystyle {\vec {\omega }}\equiv {\vec {\nabla }}\times {\vec {u}}=-\nabla ^{2}{\vec {\psi }}={\frac {6Ua^{2}}{R}}\sin \theta \left({\frac {k^{2}}{r}}+{\frac {k}{r^{2}}}\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}}$$

ここで、の発散の消失を利用して、ベクトルラプラシアンと二重回転を関連付けています。 ${\displaystyle {\vec {\psi }}}$

運動方程式の左辺は次の回転です。 $${\displaystyle \left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {\psi }}+\nu \nabla ^{2}{\vec {\psi }}=\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {\psi }}-\nu {\vec {\omega }}}$$

の各項ごとに導関数を個別に計算します。 ${\displaystyle \psi }$

ご了承ください： $${\displaystyle {\vec {U}}=U\left(\cos \theta {\hat {r}}-\sin \theta {\hat {\theta }}\right)}$$

さらに: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \psi _{2}}{\partial r}}&=-{\frac {1}{r}}\psi _{2}\\\sin \theta {\frac {\partial \psi _{2}}{\partial \theta }}&=\psi _{2}\end{aligned}}}$$

したがって、次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(\psi _{1}{\hat {\varphi }}\right)&=U\left(\cos \theta {\frac {\partial \psi _{1}}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \theta {\frac {\partial \psi _{1}}{\partial \theta }}\right){\hat {\varphi }}={\frac {3U^{2}a^{3}}{4r^{3}}}\sin \theta \cos \theta {\hat {\varphi }}\\\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(\psi _{2}{\hat {\varphi }}\right)&=U\left(\cos \theta {\frac {\partial \psi _{2}}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \theta {\frac {\partial \psi _{2}}{\partial \theta }}\right){\hat {\varphi }}=-U{\frac {1}{r}}(1+\cos \theta )\psi _{2}{\hat {\varphi }}=-{\frac {3U^{2}a^{2}}{Rr^{2}}}\sin \theta {\hat {\varphi }}\\\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(-\psi _{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}\right)&=-e^{-kr(1+\cos \theta )}\left(\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(\psi _{2}{\hat {\varphi }})+\psi _{2}\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(-kr(1+\cos \theta \right){\hat {\varphi }}\right)\right)\\&=U\psi _{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}\left({\frac {1}{r}}(1+\cos \theta )+\cos \theta {\frac {\partial (kr(1+\cos \theta ))}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \theta {\frac {\partial (kr(1+\cos \theta ))}{\partial \theta }}\right){\hat {\varphi }}\\&=U\psi _{2}(1+\cos \theta )\left({\frac {1}{r}}+k\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}={\frac {3U^{2}a^{2}}{R}}\sin \theta \left({\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {k}{r}}\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}\\&={\frac {U}{2k}}{\vec {\omega }}=\nu {\vec {\omega }}\end{aligned}}}$$

すべての用語を組み合わせると次のようになります。 $${\displaystyle \left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {\psi }}+\nu \nabla ^{2}{\vec {\psi }}=\left({\frac {3U^{2}a^{3}}{4r^{3}}}\sin \theta \cos \theta -{\frac {3U^{2}a^{2}}{Rr^{2}}}\sin \theta \right){\hat {\varphi }}}$$

回転を取ると、次の関数の勾配（圧力）の倍数 に等しい式が見つかります。${\displaystyle 1/\rho }$$${\displaystyle p=p_{0}-{\frac {3\mu Ua}{2r^{2}}}\cos \theta +{\frac {\rho U^{2}a^{3}}{4r^{3}}}\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)}$$

ここで、 は無限遠での圧力、は前方のよどみ点の反対側から発生する極角です (は前方のよどみ点です)。 ${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta =\pi }$

また、速度は回転角を取ることによって導かれます。 ${\displaystyle {\vec {\psi }}}$$${\displaystyle {\vec {u}}=U\left[-{\frac {a^{3}}{2r^{3}}}\cos \theta +{\frac {3a^{2}}{Rr^{2}}}-{\frac {3a^{2}}{R}}\left({\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {k}{r}}[1-\cos \theta ]\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}\right]{\hat {r}}-U\left[{\frac {a^{3}}{4r^{3}}}\sin \theta +{\frac {3a^{2}}{Rr}}k\sin \theta e^{-kr(1+\cos \theta )}\right]{\hat {\theta }}}$$

これらのpとu は運動方程式を満たし、したがって Oseen の近似の解を構成します。

しかし、補正項が偶然に選択されたのではないかと疑問に思う人もいるかもしれない。なぜなら、球とともに移動する基準フレームでは、球の近くの流体はほぼ静止しており、その領域では慣性力は無視でき、ストークスの方程式は十分に正当化されるからである。^[6]球から遠く離れると、流速はuに近づき、オシーンの近似の方が正確である。^[6]しかし、オシーンの方程式は、流れ場全体に方程式を適用して得られた。この疑問は、1957 年に Proudman と Pearson によって回答された。^[8]彼らはナビエ-ストークス方程式を解き、球の近傍での改良されたストークスの解と無限遠での改良されたオシーンの解を与え、2 つの解を、それらの有効性の想定される共通領域で一致させた。彼らは次の式を得た。

$${\displaystyle F=6\pi \,\mu \,aU\left(1+{3 \over 8}\operatorname {Re} +{9 \over 40}\operatorname {Re} ^{2}\ln \operatorname {Re} +{\mathcal {O}}\left(\operatorname {Re} ^{2}\right)\right).}$$

非常に低いレイノルズ数での流れを解析する方法と定式化は重要です。流体中の小さな粒子のゆっくりとした動きは、バイオエンジニアリングでは一般的です。オシーンの抗力定式化は、粒子の含有、粒子の沈降、懸濁液、コロイド、および腫瘍と抗原の分離による血液の遠心分離または超遠心分離など、さまざまな特殊な条件下での流体の流れに関連して使用できます。^{[6]流体は液体である必要はなく、粒子は固体である必要はありません。スモッグの形成や液体の}霧化など、さまざまな用途に使用できます。

毛細血管などの小血管内の血流は、レイノルズ数とウォマーズリー数が小さいことが特徴です。直径10 µmの血管で、流量1 ミリメートル/秒、血液の粘度 0.02 ポアズ、密度1 g/cm ³、心拍数2 Hzの場合、レイノルズ数は 0.005、ウォマーズリー数は 0.0126 になります。レイノルズ数とウォマーズリー数がこのように小さいと、流体の粘性効果が優勢になります。これらの粒子の動きを理解することは、薬物送達や癌の転移の動きを研究する上で不可欠です。