双対（圏論）

数学の一分野である圏論において、双対性とは、圏Cの性質と、その対となる圏C ^opの双対的な性質との間の対応関係のことである。圏Cに関する命題が与えられたとき、各射の始点と終点を入れ替え、さらに2つの射の合成順序を入れ替えることで、対となる圏C ^opに関する対応する双対命題が得られる。（C ^opは、 Cのすべての射を反転させることによって構成される。）双対性とは、命題に対するこの操作の下で真理が不変であるという主張である。言い換えれば、命題SがCについて真であるならば、その双対命題はC ^opについて真である。また、命題がCについて偽であるならば、その双対命題はC ^opについて偽でなければならない。（簡潔に言えば、Cに関するS が真であるのは、 C ^opに関するその双対命題が真である場合に限る。）

具体的なカテゴリーCが与えられた場合、反対のカテゴリーC ^{op は}それ自体が抽象的なものであることが多い。C ^{op は}数学的実践から生じるカテゴリーである必要はない。この場合、別のカテゴリーDも、 DとC ^opがカテゴリーとして同等であれば、Cと双対関係にあると言われる。

Cとその反対C ^opが同値である場合、そのようなカテゴリーは自己双対である。^{[ 1 ]}

圏論の基本言語を、対象と射を異なる種類とする2種類に分類された一階述語論理の言語と、対象が射の始点または終点となる関係、および2つの射を合成するための記号と定義する。

σ をこの言語における任意の文とする。双対 σ^演算子を次のように構成する。

1. σ に含まれる「source」を「target」にすべて置き換えてください。
2. 合成射の順序を入れ替えます。つまり、各出現箇所を置き換えます。${\displaystyle g\circ f}$と${\displaystyle f\circ g}$

非公式には、これらの条件は、命題の双対が矢印と合成を反転することによって形成されることを述べている。

双対性とは、あるカテゴリーCに対して σ が真であるのは、 C ^opに対してσ ^{op が}真である場合に限るという観察である。^{[ 2 ] [ 3 ]}

• 射${\displaystyle f\colon A\to B}$単射であるのは、${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$暗示する${\displaystyle g=h}$双対演算を実行すると、次のステートメントが得られます。${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$暗示する${\displaystyle g=h.}$この逆射${\displaystyle f\colon B\to A}$は定義上、まさに全射準同型写像である。つまり、単射準同型写像であるという性質は、全射準同型写像であるという性質と双対関係にある。

双対性を適用すると、ある圏Cにおける射が単射であるのは、反対の圏C ^op ( Cにおけるすべての射を反転させたもの)における逆射が全射である場合に限る、ということになる。

• 例として、半順序における不等式の方向を反転させる方法があります。Xが集合で ≤ が半順序関係である場合、新しい半順序関係 ≤ _newを次のように定義できます。

x ≤ _new y は、 y ≤ xの場合に限り成り立つ。

順序に関するこの例は特殊なケースです。なぜなら、半順序は、Hom( A , B )（ある圏のAからBへのすべての射の集合）が最大で1つの要素しか持たないような特定の種類の圏に対応するからです。論理学への応用では、これは否定（つまり、証明が逆方向に行われる）の非常に一般的な記述のように見えます。例えば、束の反対を取ると、交わりと結合の役割が入れ替わっていることがわかります。これは、ド・モルガンの法則、あるいは束に適用された双対性の抽象的な形式です。

• 極限と余極限は双対概念である。
• ファイブレーションとコファイブレーションは、代数トポロジーとホモトピー理論における双対概念の例である。この文脈では、双対性はしばしばエックマン・ヒルトン双対性と呼ばれる。

• 随伴関手
• 二重オブジェクト
• 双対性（数学）
• 反対のカテゴリー
• ポレーションスクエア