開水路の流れ

流体力学と水力学において、開水路流れは、水路と呼ばれる自由表面を持つ導管内の液体の流れの一種である。^{[1] [2]}導管内のもう1つのタイプの流れはパイプ流れである。これら2つのタイプの流れは多くの点で類似しているが、1つの重要な点で異なる。開水路流れには自由表面があるのに対し、パイプ流れには自由表面がないため、流れは重力によって支配され、水圧によって支配されない。

開水路の流れは、時間と空間に対する流れの深さの変化に基づいて、さまざまな方法で分類および記述できます。^[3]開水路水理学で扱われる基本的な流れの種類は次のとおりです。

• 基準としての時間
  • 安定した流れ
    • 流れの深さは時間の経過とともに変化しません。または、検討中の時間間隔中は一定であると想定できます。
  • 不安定な流れ
    • 流れの深さは時間とともに変化します。
• 基準としての空間
  • 均一な流れ
    • 流れの深さは、チャネルのどの部分でも同じです。均一な流れは、深さが時間とともに変化するかどうかによって、安定または非定常になります (ただし、非定常な均一な流れはまれです)。
  • 多様な流れ
    • 流れの深さは、水路の長さに応じて変化します。変化する流れは、技術的には、定常または非定常のいずれかです。変化する流れは、さらに、急激に変化するか、徐々に変化するかに分類できます。
      • 急速に変化する流れ
        • 比較的短い距離で水深が急激に変化します。流れが急激に変化する現象は局所的な現象として知られています。例としては、跳水現象や水圧降下現象があります。
      • 徐々に変化する流れ
        • 長距離にわたって深さが変化します。
  • 連続フロー
    • 対象とする水路の全域にわたって流量は一定です。これは定常流の場合によく見られます。この流れは連続的であると考えられるため、連続定常流の連続方程式を使用して記述できます。
  • 空間的に変化する流れ
    • 定常流の流量は、水路に沿って不均一です。これは、水が流れの経路に沿って水路に出入りするときに発生します。水路に入る流れの例としては、道路脇の側溝が挙げられます。水路から出る流れの例としては、灌漑用水路が挙げられます。この流れは、連続方程式を使用して記述できます。連続した非定常流では、時間の影響を考慮する必要があり、時間要素が変数として含まれます。

開水路の流れの挙動は、流れの慣性力に対する粘性と重力の影響によって決まります。表面張力の寄与は小さいですが、ほとんどの状況では支配要因になるほど大きな役割を果たしません。自由表面が存在するため、重力は一般に開水路の流れの最も重要な要因です。したがって、慣性力と重力力の比は最も重要な無次元パラメータです。^{[4]このパラメータは}フルード数と呼ばれ、次のように定義されます。ここで、 は平均速度、は水路の深さの特性長さスケール、 は重力加速度です。レイノルズ数で表される慣性に対する粘性の影響に応じて、流れは層流、乱流、または遷移流のいずれかになります。ただし、レイノルズ数は粘性力を無視できるほど十分に大きいと想定するのが一般的です。^[4]$${\displaystyle {\text{Fr}}={U \over {\sqrt {gD}}}}$$${\displaystyle U}$${\displaystyle D}$${\displaystyle g}$

開水路の流れに有用な 3 つの量、すなわち質量、運動量、エネルギーの保存則を記述する方程式を定式化することができます。支配方程式は、成分 を持つ流速 ベクトル場 のダイナミクスを考慮することで得られます。直交座標では、これらの成分はそれぞれ x、y、z 軸の流速に対応します。 ${\displaystyle {\bf {v}}}$${\displaystyle {\bf {v}}={\begin{pmatrix}u&v&w\end{pmatrix}}^{T}}$

方程式の最終的な形を単純化するために、いくつかの仮定を置くことは許容されます。

1. 流れは非圧縮性である（これは急速に変化する流れに対しては良い仮定ではない）
2. レイノルズ数は十分に大きいので粘性拡散は無視できる。
3. 流れはx軸に沿って1次元である

質量保存を記述する 一般的な連続方程式 は、次の形式をとります。ここで、は流体の密度、は発散演算子です。非圧縮性の流れで制御体積が一定であると仮定すると、この方程式は という簡単な式になります。ただし、断面積はチャネル内の時間と空間の両方で変化する可能性があります。連続方程式の積分形式から始めると、体積積分を断面積と長さに分解することができ、次の形式になります。非圧縮性の 1D フローであると仮定すると、この方程式は次のようになります。 に注目し、体積流量 を定義すると、方程式は次のように簡略化されます。最終的に、これは非圧縮性の 1D 開チャネル フローの連続方程式につながります。$${\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})=0}$$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \nabla \cdot ()}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle \nabla \cdot {\bf {v}}=0}$ ${\displaystyle A}$$${\displaystyle {d \over {dt}}\int _{V}\rho \;dV=-\int _{V}\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\;dV}$$$${\displaystyle {d \over {dt}}\int _{x}\left(\int _{A}\rho \;dA\right)dx=-\int _{x}\left[\int _{A}\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\;dA\right]dx}$$$${\displaystyle {d \over {dt}}\int _{x}\left(\int _{A}dA\right)dx=-\int _{x}{\partial \over {\partial x}}\left(\int _{A}u\;dA\right)dx}$$${\displaystyle \int _{A}dA=A}$ ${\displaystyle Q=\int _{A}u\;dA}$$${\displaystyle \int _{x}{\partial A \over {\partial t}}\;dx=-\int _{x}{\partial Q \over {\partial x}}dx}$$

開水路流の運動量方程式は、非圧縮ナビエ・ストークス方程式から始めることで求めることができます 。ここで、は圧力、は動粘性、はラプラス演算子、は重力ポテンシャルです。高レイノルズ数と 1D フローの仮定を適用すると、次の方程式が得られます。2番目の方程式は静水圧 を意味し、水路深度は自由表面標高と水路底の差です。最初の方程式に代入すると、次の式が得られます。ここで、水路床勾配 です。水路堤防に沿ったせん断応力を考慮するには、力の項を次のように定義します。ここで、はせん断応力、は水力半径です。摩擦損失を定量化する方法として摩擦勾配 を定義すると、運動量方程式の最終的な形が得られます。$${\displaystyle \overbrace {\underbrace {\partial {\bf {v}} \over {\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Local}}\\{\text{Change}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {{\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}} _{\text{Advection}}} ^{\text{慣性加速度}}=-\underbrace {{1 \over {\rho }}\nabla p} _{\begin{smallmatrix}{\text{圧力}}\\{\text{Gradient}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\nu \Delta {\bf {v}}} _{\text{拡散}}-\underbrace {\nabla \Phi } _{\text{重力}}+\underbrace {\bf {F}} _{\begin{smallmatrix}{\text{外部}}\\{\text{力}}\end{smallmatrix}}}$$${\displaystyle p}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Phi =gz}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}&=-{1 \over {\rho }}{\partial p \over {\partial x}}+F_{x}\\-{1 \over {\rho }}{\partial p \over {\partial z}}-g&=0\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle p=\rho g\zeta }$${\displaystyle \eta (t,x)=\zeta (t,x)-z_{b}(x)}$${\displaystyle \zeta}$${\displaystyle z_{b}}$$${\displaystyle {\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}+g{\partial \zeta \over {\partial x}}=F_{x}\implies {\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}+g{\partial \eta \over {\partial x}}-gS=F_{x}}$$${\displaystyle S=-dz_{b}/dx}$$${\displaystyle F_{x}=-{1 \over {\rho }}{\tau \over {R}}}$$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S_{f}=\tau /\rho gR}$

エネルギー方程式 を導くには、移流加速度項を次のように分解できることに注意します。ここで、 は流れの渦度、 はユークリッドノルムです。これにより、外力項を無視した運動量方程式の形が得られ、次のように表されます。この方程式とのドット積をとると、次のようになります。この方程式は、スカラー三重積 を使用して導き出されました。をエネルギー密度と定義します。が時間に依存しないことに注目すると、次の方程式が得られます。 エネルギー密度が時間に依存せず、流れが 1 次元であると仮定すると、次のように簡略化されます。が定数である状態で、これはベルヌーイの定理と同等です。開水路の流れで特に重要なのは、次のように定義される水頭を計算するために使用される比エネルギーです。${\displaystyle {\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}}$$${\displaystyle {\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}=\omega \times {\bf {v}}+{1 \over {2}}\nabla \|{\bf { v}}\|^{2}}$$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \|\cdot \|}$$${\displaystyle {\partial {\bf {v}} \over {\partial t}}+\omega \times {\bf {v}}=-\nabla \left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}+{p \over {\rho }}+\Phi \right)}$$${\displaystyle {\bf {v}}}$$${\displaystyle {\partial \over {\partial t}}\left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}\right)+{\bf {v}}\cdot \nabla \left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}+{p \over {\rho }}+\Phi \right)=0}$$ ${\displaystyle {\bf {v}}\cdot (\omega \times {\bf {v}})=0}$${\displaystyle E}$$${\displaystyle E=\underbrace {{1 \over {2}}\rho \|{\bf {v}}\|^{2}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Kinetic}}\\{\text{Energy}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\rho \Phi } _{\begin{smallmatrix}{\text{Potential}}\\{\text{Energy}}\end{smallmatrix}}}$$${\displaystyle \Phi }$$${\displaystyle {\partial E \over {\partial t}}+{\bf {v}}\cdot \nabla (E+p)=0}$$$${\displaystyle E+p=C}$$${\displaystyle C}$ ${\displaystyle e=E/\rho g}$ ${\displaystyle h}$

は比重です。しかし、現実的なシステムでは、運動量方程式の外力項を無視することで無視された 摩擦と乱流によるエネルギー散逸を考慮するために、損失水頭項を追加する必要があります。${\displaystyle \gamma =\rho g}$${\displaystyle h_{f}}$

• 根津家久、中川博司 (1993)。開水路流れの乱流。IAHRモノグラフ。ロッテルダム、オランダ：AAバルケマ。ISBN 9789054101185。 
• Syzmkiewicz, Romuald (2010)。開水路水理学における数値モデリング。水科学技術図書館。ニューヨーク、NY: Springer。ISBN 9789048136735。 

• カリフォルニア工科大学の講義ノート:
  • 開水路流れ方程式の導出
  • 定常流路流れの表面プロファイル
• 開水路の流れ
• 開水路の流れの概念
• ハイドロリックジャンプとは何ですか?
• 開水路の流れの例
• 乱流のシミュレーション（p. 26-38）