オメガとアゲモのサブグループ

数学、より具体的には群論において、オメガ部分群とアゲモ部分群は、有限p群のいわゆる「冪構造」を記述する。これらは( Hall 1933 )で導入され、有限アーベルp群の構造と十分に類似した構造を持つ有限 p 群のクラス、いわゆる正則 p 群を記述するために使用された。冪と交換子構造の関係は、一様冪 p群の研究に代表されるように、現代のp群の研究における中心的なテーマとなっている。

「上女」という言葉は「オメガ」を逆から綴ったもので、上女の下位グループは逆さまのオメガ（℧）で表されます。

オメガ部分群とは、有限p群Gの部分群の列であり、自然数によって添え字付けられる。

${\displaystyle \Omega _{i}(G)=\langle \{g\in G:g^{p^{i}}=1\}\rangle .}$

上為部分群は、以下の部分群の系列である。

${\displaystyle \mho ^{i}(G)=\langle \{g^{p^{i}}:g\in G\}\rangle .}$

i = 1 でpが奇数の場合、定義からiは通常省略されます。pが偶数の場合、省略されたiは、慣例によってi = 1 またはi = 2のいずれかを意味する可能性があります。この記事では、省略されたiは常にi = 1 を意味するという慣例を用います。

位数 8 の二面体群Gは、 ℧( G ) = Z( G ) = [ G , G ] = Φ( G ) = Soc( G ) を満たします。これは、通常、恒等写像と180 °回転を含む部分群として実現される、位数 2 の唯一の正規部分群です。しかし、Ω( G ) = Gは、 G が鏡映によって生成されるため、全体群です。これは、Ω( G ) が位数pの要素の集合である必要がないことを示しています。

位数 8 の四元数群Hは、 Ω( H ) = ℧( H ) = Z( H ) = [ H , H ] = Φ( H ) = Soc( H ) を満たし、位数 2 の唯一の部分群であり、通常は 1 と −1 のみを含む部分群として実現されます。

p ²点上の対称群のシロー p 部分群 P は、素数位数の2つの巡回群のリース積です。 p = 2 の場合、これは位数 8 の二面体群になります。これも Ω( P ) = P を満たします。 ℧( P ) = Z( P ) = Soc( P ) は位数pの巡回群ですが、[ P , P ] = Φ( G ) は位数p ^{p −1}の初等アーベル群です。

位数4の巡回群の半直積が位数4の巡回群に非自明に作用する場合、

${\displaystyle K=\langle a,b:a^{4}=b^{4}=1,ba=ab^{3}\rangle ,}$

℧( K ) は位数 4 の基本アーベル群ですが、平方数の集合は単に { 1, aa , bb } です。ここで、 ℧( K ) の要素aabbは平方数ではないため、℧ は単に平方数の集合ではないことがわかります。

この節では、G を位数| G | = p ⁿ、指数exp( G ) = p ^kの有限p群とする。このとき、オメガ族とアゲモ族はいくつかの有用な性質を満たす。

一般特性

• Ω _i ( G ) と ℧ ⁱ ( G ) はどちらも、すべての自然数iに対してGの特性部分群です。
• オメガ群とアゲモ群は、2つの正規系列を形成する。

G = ℧ ⁰ ( G ) ≥ ℧ ¹ ( G ) ≥ ℧ ² ( G ) ≥ ... ≥ ℧ ^{k −2} ( G ) ≥ ℧ ^{k −1} ( G ) > ℧ ^k ( G ) = 1

G = Ω _k ( G ) ≧ Ω _{k −1} ( G ) ≧ Ω _{k −2} ( G ) ≧ ... ≧ Ω ₂ ( G ) ≧ Ω ₁ ( G ) > Ω ₀ ( G ) = 1

そして、これらの数列は緩やかに絡み合っています。1からkまでのすべてのiについて：

℧ ⁱ ( G ) ≤ Ω _{k − i} ( G ) だが

℧ ^{i −1} ( G ) は Ω _{k − i} ( G )に含まれません。

商とサブグループにおける行動

H ≤ GがGの部分群であり、N ⊲ GがGの正規部分群である場合、次のことが成り立つ。

• ℧ ⁱ ( H ) ≤ H ∩ ℧ ⁱ ( G )
• ℧ ⁱ ( N ) ⊲ G
• Ω _i ( N ) ⊲ G
• ℧ ⁱ ( G / N ) = ℧ ⁱ ( G ) N / N
• Ω _i ( G / N ) ≥ Ω _i ( G ) N / N

他の重要なサブグループとの関係

• Soc( G ) = Ω(Z( G ))、位数pの中心要素からなる部分群は、 GのソクルSoc( G ) である。
• Φ ( G ) = ℧( G )[ G , G ]、すべてのp乗と交換子によって生成される部分群は、 GのFrattini 部分群Φ( G )です。

特殊なクラスのグループにおける関係

• アーベルp群、あるいはより一般的には正則p群において：

|℧ ⁱ ( G )|⋅|Ω _i ( G )| = | G |

[℧ ⁱ ( G ):℧ ^{i +1} ( G )] = [Ω _i ( G ):Ω _{i +1} ( G )],

ここで、| H | はHの位数であり、[ H : K ] = | H |/| K | は部分群K ≤ Hのインデックスを表します。

オメガおよびアゲモ部分群の最初の応用は、 ( Hall 1933 )において正則p群とアーベルp群の類似性を引き出すことであった。

Ω( G ) ≤ Z( G )となる群は、ジョン・G・トンプソンによって研究され、最近ではいくつかの応用例が見られる。

双対概念として、[ G , G ] ≤ ℧( G ) を満たす群は強力p群と呼ばれ、アヴィノアム・マンによって導入されました。これらの群は、有限p群の構造と分類を理解するための重要な方法を導入したコクラス予想の証明に不可欠でした。

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