核殻モデル

原子核物理学、原子物理学、原子核化学において、原子核殻モデルはパウリの排他原理を利用して、エネルギーレベルの観点から原子核の構造をモデル化する。 ^[1]最初の殻モデルは、 1932年にドミトリ・イヴァネンコ（E. ガポンと共著）によって提唱された。このモデルは、数人の物理学者による独立した研究の後に1949年に開発された。最も有名なのは、このモデルへの貢献により1963年のノーベル物理学賞を受賞したマリア・ゲッパート・マイヤーとJ・ハンス・D・ジェンセン、そして彼らとともに原子核に関する初期の基盤となる研究によりノーベル賞を受賞したユージン・ウィグナーである。 ^[2]

原子殻モデルは、原子内の電子の配置を記述する原子殻モデルと部分的に類似しており、殻が満たされると安定性が向上します。原子核に核子（陽子と中性子）を追加すると、次の核子の結合エネルギーが前の核子よりも大幅に低くなるポイントがあります。核子の特定の魔法量子数（2、8、20、28、50、82、および126）は、それに続くより高い数よりも強く結合しているというこの観察が、殻モデルの起源です。

陽子と中性子の殻は互いに独立している。したがって、どちらか一方の核子タイプが魔法数である「魔法核」と、両方が魔法数である「二重魔法量子核」の両方が存在する可能性がある。軌道充填の変動により、中性子の上限魔法数は 126 で、推測では 184 であるが、陽子の場合は 114 のみであり、いわゆる安定の島の探索に役割を果たしている。いくつかの半魔法数、特にZ  =  40が発見されており、これはさまざまな元素の核殻充填を与える。16 も魔法数である可能性がある。^[3]

これらの数値を得るために、原子核殻モデルは、正方形井戸と調和振動子の間のどこかの形状を持つ平均ポテンシャルから始まります。このポテンシャルに、スピン軌道項が追加されます。それでも、全体の摂動は実験とは一致せず、研究対象の原子核に応じて、少なくとも 2 つまたは 3 つの異なる結合定数値を持つ経験的なスピン軌道結合を追加する必要があります。

原子核の魔法数やその他の特性は、3次元調和振動子とスピン軌道相互作用を加えたモデルを近似することで得ることができます。より現実的ですが複雑なポテンシャルは、ウッズ・サクソンポテンシャルとして知られています。

3次元の調和振動子を考えてみましょう。これは、例えば、最初の3つのレベルで次のようになります（「ℓ 」は角運動量量子数です）。

原子核は陽子と中性子を追加することで構築されます。これらは常に利用可能な最低レベルを満たし、最初の 2 つの陽子はレベル 0 を満たし、次の 6 つの陽子はレベル 1 を満たすというように続きます。周期表の電子と同様に、最外殻の陽子は原子核の中心から最も遠いため、その殻に少数の陽子しか存在しない場合、原子核との結合は比較的緩くなります。したがって、外側の陽子殻がいっぱいの原子核は、同様の総陽子数を持つ他の原子核よりも核結合エネルギーが高くなります。中性子についても同じことが言えます。

これは、マジックナンバーは、占有されているシェルがすべて満杯の場合の数字であると予想されることを意味します。実験によると、最初の 2 つの数字は 2 (レベル 0 が満杯) と 8 (レベル 0 と 1 が満杯) になります。ただし、マジックナンバーの完全なセットは正しく算出されません。これらは次のように計算できます。

• 3次元調和振動子では、レベルnにおける状態の全縮退はです。${\displaystyle {(n+1)(n+2) \over 2}}$
• スピンにより、縮退は 2 倍になり、 になります。${\displaystyle (n+1)(n+2)}$
• したがって、魔法の数はすべての整数kに対して になります。これにより、次の魔法の数が得られます: 2、8、20、40、70、112、...。これは、最初の 3 つのエントリのみが実験と一致します。これらの数は、パスカルの三角形の四面体数(1、4、10、20、35、56、...)の 2 倍です。$${\displaystyle \sum _{n=0}^{k}(n+1)(n+2)={\frac {(k+1)(k+2)(k+3)}{3}}}$$

特に、最初の 6 つのシェルは次のとおりです。

• レベル0: 2つの状態 ( ℓ = 0) = 2。
• レベル1: 6つの状態 ( ℓ = 1) = 6。
• レベル 2: 2 つの状態 ( ℓ = 0) + 10 つの状態 ( ℓ = 2) = 12。
• レベル 3: 6 つの状態 ( ℓ = 1) + 14 つの状態 ( ℓ = 3) = 20。
• レベル 4: 2 つの状態 ( ℓ = 0) + 10 つの状態 ( ℓ = 2) + 18 つの状態 ( ℓ = 4) = 30。
• レベル 5: 6 つの状態 ( ℓ = 1) + 14 つの状態 ( ℓ = 3) + 22 つの状態 ( ℓ = 5) = 42。

ここで、各ℓに対して 2 ℓ +1 個の異なるm _lの値と 2 個のm _sの値があり、特定のレベルごとに 合計 4 ℓ +2 個の状態が存在します。

これらの数字は、パスカルの三角形の三角数1、3、6、10、15、21、... の 2 倍の値です。

次にスピン軌道相互作用を取り入れます。まず、水素のような原子の場合のℓ、m _l、m _sの代わりに、量子数 j、m _j、パリティでシステムを記述する必要があります。すべての偶数レベルにはℓの偶数値のみが含まれるため、偶数 (正) パリティの状態のみが含まれます。同様に、すべての奇数レベルには奇数 (負) パリティの状態のみが含まれます。したがって、状態を数えるときにパリティを無視できます。新しい量子数で記述される最初の 6 つのシェルは、

• レベル 0 ( n = 0): 2 つの状態 ( j = ⁠1/2⁠）。偶数パリティ。
• レベル 1 ( n = 1): 2 つの状態 ( j = ⁠1/2⁠ ) + 4 つの状態 ( j = ⁠3/2⁠ ) = 6. 奇数パリティ。
• レベル 2 ( n = 2): 2 つの状態 ( j = ⁠1/2⁠ ) + 4 つの状態 ( j = ⁠3/2⁠ ) + 6 状態 ( j = ⁠5/2⁠ ) = 12。偶数パリティ。
• レベル 3 ( n = 3): 2 つの状態 ( j = ⁠1/2⁠ ) + 4 つの状態 ( j = ⁠3/2⁠ ) + 6 状態 ( j = ⁠5/2⁠ ) + 8 状態 ( j = ⁠7/2⁠ ) = 20。奇数パリティ。
• レベル 4 ( n = 4): 2 つの状態 ( j = ⁠1/2⁠ ) + 4 つの状態 ( j = ⁠3/2⁠ ) + 6 状態 ( j = ⁠5/2⁠ ) + 8 状態 ( j = ⁠7/2⁠ ) + 10 状態 ( j = ⁠9/2⁠ ) = 30。偶数パリティ。
• レベル 5 ( n = 5): 2 つの状態 ( j = ⁠1/2⁠ ) + 4 つの状態 ( j = ⁠3/2⁠ ) + 6 状態 ( j = ⁠5/2⁠ ) + 8 状態 ( j = ⁠7/2⁠ ) + 10 状態 ( j = ⁠9/2⁠ ) + 12 状態 ( j = ⁠11/2⁠ ) = 42。奇数パリティ。

ここで、すべてのjに対して、m _jの異なる値から2 j + 1 個の異なる状態が存在します。

スピン軌道相互作用により、同じレベルだがjが異なる状態のエネルギーは同一ではなくなる。これは、元の量子数において、が に平行なとき、相互作用エネルギーは正であり、この場合、j = ℓ + s = ℓ + ⁠となるためである。${\displaystyle \scriptstyle {\vec {s}}}$${\displaystyle \scriptstyle {\vec {l}}}$1/2⁠ 。が と反平行（つまり反対向きに並んでいる）のとき、相互作用エネルギーは負であり、この場合j = ℓ − s = ℓ − ⁠${\displaystyle \scriptstyle {\vec {s}}}$${\displaystyle \scriptstyle {\vec {l}}}$1/2さらに、相互作用の強さはℓ。

たとえば、レベル 4 の状態を考えてみましょう。

• j = ⁠の 10 州9/2⁠ ℓ = 4から来ており、 ℓに平行です。したがって、それらは正のスピン軌道相互作用エネルギーを持ちます。
• j = ⁠の 8 つの状態7/2⁠ はℓ = 4から来ており、 s はℓと反平行です。したがって、それらは負のスピン軌道相互作用エネルギーを持ちます。
• j = ⁠の 6 つの状態5/2⁠ はℓ = 2から来ており、 s はℓに平行です。したがって、これらは正のスピン軌道相互作用エネルギーを持ちます。ただし、その大きさはj = ⁠ の状態と比較すると半分です。9/2⁠ .
• j = ⁠の 4 つの状態3/2⁠ はℓ = 2から来ており、 s はℓと反平行です。したがって、それらは負のスピン軌道相互作用エネルギーを持ちます。ただし、その大きさはj = ⁠の状態と比較すると半分です。7/2⁠ .
• j = ⁠の 2 つの状態1/2⁠ ℓ = 0から来ており、したがってスピン軌道相互作用エネルギーはゼロです。

調和振動子ポテンシャルは、中心rからの距離が無限大に近づくにつれて、無限に大きくなります。ウッズ・サクソン ポテンシャルなどのより現実的なポテンシャルは、この極限で定数に近づきます。主な結果の 1 つは、現実的なポテンシャルでは核子の軌道の平均半径が大きくなることです。これにより、ハミルトニアン演算子のラプラス演算子の項が縮小されます。もう 1 つの主な違いは、平均半径が大きい軌道 (高いnまたは高いℓを持つ軌道など) は、調和振動子ポテンシャルの場合よりもエネルギーが低くなることです。両方の効果により、高いℓ軌道のエネルギー レベルが低下します。 ${\displaystyle V(r)=\mu \omega ^{2}r^{2}/2}$${\displaystyle \scriptstyle \hbar ^{2}l(l+1)/2mr^{2}}$

スピン軌道相互作用と、両方の効果の適切な大きさを組み合わせると、次の定性的な図が得られます。すべてのレベルで、最も高いj状態のエネルギーは下方にシフトしており、特にn が高い場合(最も高いjが高い場合) に顕著です。これは、負のスピン軌道相互作用エネルギーと、ポテンシャルをより現実的なものに変形することで生じるエネルギーの減少の両方によるものです。逆に、2 番目に高いj状態は、最初の効果によってエネルギーが上方にシフトし、2 番目の効果によってエネルギーが下方にシフトするため、全体的なシフトは小さくなります。したがって、最も高いj状態のエネルギーのシフトにより、あるレベルの状態のエネルギーが、より低いレベルの状態のエネルギーに近づく可能性があります。シェル モデルの「シェル」は、 nで示されるレベルと同じではなくなり、マジック ナンバーが変更されます。

ここで、n = 3 の最高j状態はn = 2 とn = 3の平均エネルギーの中間のエネルギーを持ち、 nが大きい場合(少なくともn = 7 まで) の最高j状態はn − 1の平均エネルギーに近いエネルギーを持つと仮定します。すると、次のシェルが得られます (図を参照)。

• 1番目のシェル: 2つの状態 ( n = 0、j = ⁠1/2⁠）。
• 2番目のシェル: 6つの状態 ( n = 1、j = ⁠1/2⁠または⁠3/2⁠）。
• 3番目のシェル: 12の状態 ( n = 2、j = ⁠1/2⁠、⁠3/2⁠または⁠5/2⁠）。
• 4番目のシェル: 8つの状態 ( n = 3、j = ⁠7/2⁠）。
• 5番目のシェル: 22の状態 ( n = 3、j = ⁠1/2⁠、⁠3/2⁠または⁠5/2⁠ ; n = 4、j = ⁠9/2⁠）。
• 6番目のシェル: 32の状態 ( n = 4、j = ⁠1/2⁠、⁠3/2⁠、⁠5/2⁠または⁠7/2⁠ ; n = 5、j = ⁠11/2⁠）。
• 7番目のシェル: 44の状態 ( n = 5、j = ⁠1/2⁠、⁠3/2⁠、⁠5/2⁠、⁠7/2⁠または⁠9/2⁠ ; n = 6、j = ⁠13/2⁠）。
• 8番目のシェル: 58の状態 ( n = 6、j = ⁠1/2⁠、⁠3/2⁠、⁠5/2⁠、⁠7/2⁠、⁠9/2⁠または⁠11/2⁠ ; n = 7、j = ⁠15/2⁠）。

等々。

4 番目の殻以降の状態の数は、2 倍の三角数に 2 を加えた数であることに注意してください。スピン軌道相互作用により、いわゆる「侵入者レベル」が次の上位殻から前の殻の構造に落ち込みます。侵入者のサイズは、結果として生じる殻のサイズ自体が調和振動子のサイズから次の上位の 2 倍の三角数に増加するようなサイズです。たとえば、1f2p には 20 個の核子があり、スピン軌道相互作用により 1g9/2 (10 個の核子) が追加され、30 個の核子を持つ新しい殻が生成されます。1g2d3s には 30 個の核子があり、侵入者 1h11/2 (12 個の核子) を追加すると、新しい殻のサイズは 42 になります。

魔法の数字は

•   2
•   8 = 2 + 6
•  20 = 2 + 6 + 12
•  28 = 2 + 6 + 12 + 8
•  50 = 2 + 6 + 12 + 8 + 22
•  82 = 2 + 6 + 12 + 8 + 22 + 32
• 126 = 2 + 6 + 12 + 8 + 22 + 32 + 44
• 184 = 2 + 6 + 12 + 8 + 22 + 32 + 44 + 58

などなど。これにより、観測された魔法数がすべて得られ、また、184 という値で新しい魔法数 (いわゆる安定の島) が予測されます (陽子の場合、魔法数 126 はまだ観測されておらず、より複雑な理論的考察により、魔法数は 114 になると予測されています)。

魔法数（および半魔法数）を予測する別の方法は、理想的な充填順序（スピン軌道分割あり、エネルギーレベルは重ならない）を並べることです。一貫性を保つために、s はj = ⁠に分割されます。1/2⁠そしてj = − ⁠1/2⁠それぞれ 2 個と 0 個の要素を持つコンポーネント。ここで / で囲まれたシーケンス内の左端と右端の合計カウントを取得すると、マジックナンバーとセミマジックナンバーが得られます。

• s (2,0)/p(4,2) > 2,2/6,8なので、（半）魔法数は2,2/6,8となる。
• d (6,4): s (2,0)/ f (8,6): p (4,2) > 14,18:20,20/28,34:38,40なので、14,20/28,40
• g (10,8): d (6,4): s (2,0)/ h (12,10): f (8,6): p (4,2) > 50,58,64,68,70,70/82,92,100,106,110,112なので、50,70/82,112
• i (14,12): g (10,8): d (6,4): s (2,0)/ j (16,14): h (12,10) : f (8,6): p (4,2) > 126,138,148,156,162,166,168,168/184,198,210,220,228,234,238,240 なので、126,168/184,240

/ で二等分される四つ組内の各ペアの右端の予測魔法数は、パスカルの三角形からの二重四面体数です。2、8、20、40、70、112、168、240 は 2x 1、4、10、20、35、56、84、120、... であり、ペアの左端のメンバーは、右端のメンバーと二重三角数で異なります。2 − 2 = 0、8 − 6 = 2、20 − 14 = 6、40 − 28 = 12、70 − 50 = 20、112 − 82 = 30、168 − 126 = 42、240 − 184 = 56 です。ここで、0、2、6、12、20、30、 42、56、...は2×0、1、3、6、10、15、21、28、...です。

このモデルは、原子核の他の特性、特に原子核の基底状態のスピンとパリティ、そしてある程度は励起原子核状態も予測または説明することに成功している。¹⁷
₈O (酸素-17 ) を例に挙げると、その原子核には最初の 3 つの陽子「殻」を満たす 8 つの陽子と、最初の 3 つの中性子「殻」を満たす 8 つの中性子、および余分な中性子が 1 つあります。完全な陽子殻内のすべての陽子は、角運動量が互いに打ち消し合うため、合計角運動量がゼロになります。中性子についても同様です。同じレベル ( n ) 内のすべての陽子は同じパリティ (+1 または -1) を持ち、粒子のパリティはそれらのパリティの積であるため、同じレベル ( n ) の偶数個の陽子は +1 パリティを持ちます。したがって、8 つの陽子と最初の 8 つの中性子の合計角運動量はゼロで、合計パリティは +1 です。これは、原子核のスピン (つまり角運動量) とパリティが、9 番目の中性子のスピンとパリティによって完全に決定されることを意味します。これは第4殻の最初の（つまり最もエネルギーの低い）状態、すなわちd殻（ℓ = 2）にあり、p = (−1) ^ℓなので、原子核全体のパリティは+1となる。この第4d殻にはj = ⁠5/2⁠、したがって、¹⁷
₈Oは正のパリティと全角運動量を持つことが予想される⁠5/2⁠、確かにそうなっている。

原子核殻の順序付けの規則は原子殻のフントの規則に似ていますが、原子物理学での使用とは異なり、殻の完成は次のnに到達することによって意味されるわけではありません。そのため、殻モデルは励起原子核状態の順序を正確に予測することはできませんが、基底状態の予測には非常に成功しています。最初のいくつかの項の順序は次のとおりです。1s、1p ⁠3/2⁠、1p ⁠1/2⁠、1日⁠5/2⁠、2秒、1日⁠3/2⁠ ... 表記法の詳細については、ラッセル–サンダース項記号に関する記事を参照してください。

魔法量子数から遠い原子核の場合、強い核力と全角運動量との関係により、同じnを持つ陽子または中性子は反対の角運動量のペアを形成する傾向があるという仮定を追加する必要があります。したがって、陽子と中性子の数が偶数である原子核は、スピンが 0 でパリティが正です。陽子の数が偶数で中性子の数が奇数である原子核 (またはその逆) は、最後の中性子 (または陽子) のパリティを持ち、スピンはこの中性子 (または陽子) の全角運動量に等しくなります。「最後」とは、最も高いエネルギー レベルから来る特性を意味します。

陽子と中性子の数が奇数の原子核の場合、最後の中性子と最後の陽子の両方の合計角運動量とパリティを考慮する必要があります。原子核パリティはそれらの積であり、原子核スピンはその角運動量の合計の可能な結果の 1 つになります(他の可能な結果は原子核の励起状態です)。

各殻内の角運動量レベルの順序は、スピン軌道相互作用による上記の原則に従っており、高角運動量状態はポテンシャルの変形（つまり、調和振動子ポテンシャルからより現実的なポテンシャルへの移動）によりエネルギーが下方にシフトします。しかし、核子対の場合、単一の核子のエネルギーレベルの方が高くなる場合でも、高角運動量であることがエネルギー的に有利になることがよくあります。これは、角運動量と強い核力の関係によるものです。

中性子と陽子の核磁気モーメントは、この単純な殻モデルによって部分的に予測されます。磁気モーメントは「最後の」核子のj、ℓ、sによって計算されますが、核は明確に定義されたℓとsの状態ではありません。さらに、奇数-奇数核の場合、重水素の場合のように、2 つの「最後の」核子を考慮する必要があります。したがって、核磁気モーメントには、 ℓとs の組み合わせの各状態に対して 1 つずつ、複数の可能な答えが得られ、核の実際の状態はそれらの重ね合わせになります。したがって、実際の (測定された) 核磁気モーメントは、可能な答えの間のどこかになります。

原子核の電気双極子は常にゼロです。なぜなら、その基底状態は明確なパリティを持つからです。物質密度 ( ψ ²、ここでψは波動関数) は常にパリティの下で不変です。これは通常、原子の電気双極子の場合に当てはまります。

重水素の場合と同様の理由により、この単純な殻モデルでは、より高い電気および磁気多重極モーメントを予測することはできません。

2つ以上の価核子（つまり閉殻外の核子）を持つ核の場合、残余の2体相互作用を追加する必要があります。この残余項は、近似平均ポテンシャルに含まれていない核子間相互作用の一部から生じます。この包含により、異なる殻構成が混合され、同じ構成に対応する状態のエネルギー縮退が破られます。^{[5] [6]}

これらの残留相互作用は、シェルモデル計算を通じて切断モデル空間（または価電子空間）に組み込まれます。この空間は、モデル空間内の単一粒子状態のみがアクティブである多粒子状態の基底によって張られます。シュレーディンガー方程式は、モデル空間に特に適した有効ハミルトニアンを使用して、この基底で解かれます。このハミルトニアンは、特に除外された構成を補償する必要があるため、自由核子のハミルトニアンのハミルトニアンは異なります。^[6]

モデル空間を以前は不活性であったコアまで拡張し、モデル空間の切り捨てまでのすべての単一粒子状態を活性として扱うことで、平均ポテンシャル近似を完全に排除することができます。これは、第一原理法であるコアなしシェルモデルの基礎を形成します。実験と一致させるには、このような計算に3体相互作用を含める必要があります。^[7]

1953 年に、原子核内に回転バンドが存在する最初の実験例が見つかりました。このエネルギー レベルは、回転する分子の場合と同じ J(J+1) のエネルギー パターンに従います。量子力学的には、球を集団的に回転させることなど不可能なので、このことはこれらの原子核の形状が非球形であることを意味しています。原理的には、これらの回転状態は、球状ポテンシャルの単一粒子状態からなる基底における粒子-正孔励起のコヒーレントな重ね合わせとして記述できます。しかし実際には、この方法でこれらの状態を記述することは、価粒子の数が多いために扱いにくく、計算能力が極めて未熟だった 1950 年代には、この扱いにくさはさらに顕著でした。これらの理由から、Aage Bohr、Ben Mottelson、およびSven Gösta Nilsson は、ポテンシャルを楕円形に変形したモデルを構築しました。このタイプの最初の成功したモデルは、現在、Nilsson モデルとして知られています。これは本質的にはこの記事で説明した調和振動子モデルですが、異方性が追加されたため、3 つの直交軸に沿った振動子周波数はすべて同じではありません。通常、形状は長楕円体で、対称軸は z とされます。ポテンシャルは球対称ではないため、単一粒子状態は角運動量 J が良好な状態ではありません。ただし、「クランキング」項として知られるラグランジュ乗数をハミルトニアンに追加できます。通常、角周波数ベクトル ω は対称軸に垂直になるように取られますが、傾斜軸クランキングも考慮できます。単一粒子状態をフェルミ レベルまで満たすと、クランキング軸に沿った予想される角運動量が目的の値である状態が生成されます。 ${\displaystyle -\omega \cdot J}$${\displaystyle \langle J_{x}\rangle }$

イガル・タルミは、実験データから情報を取得し、それを使用して測定されていないエネルギーを計算して予測する方法を開発しました。この方法は多くの原子物理学者によって効果的に使用され、原子核構造のより深い理解につながりました。これらの特性を適切に説明する理論が開発されました。この説明は、エレガントで成功した相互作用ボソンモデルのシェルモデルの基礎を提供することになりました。

原子核殻モデルから派生したモデルとして、ヘンリー・マーゲノー、エドワード・テラー、JK・ペリング、TH・スカイムによって開発されたアルファ粒子モデルがあり、スカイムモデルとも呼ばれる。^{[8] [9]}ただし、スカイムモデルは通常、原子核をアルファ粒子の「雲」として表すモデルではなく、中間子（パイ中間子）の「雲」として表す核子自体のモデルであると考えられることに注意する必要がある。

• 核構造
• 核種表
• 液滴モデル
• 異性体シフト
• 相互作用ボソンモデル

• タルミ、イガル。デ・シャリット、A. (1963)。核殻理論。学術出版局。ISBN 978-0-486-43933-4。
• タルミ、イガル (1993)。複雑な核の単純なモデル: 殻モデルと相互作用ボソンモデル。ハーウッド アカデミック パブリッシャー。ISBN 978-3-7186-0551-4。

• Igal Talmi (2010 年 11 月 24 日)。単一核子の波動関数について。理化学研究所仁科センター。