ニルソンモデル

ニルソンモデルは、原子核を変形した球体として扱う核殻モデルです。1953 年に、原子核に回転バンドが存在する最初の実験例が見つかりました。このエネルギー レベルは、回転する分子と同じ J(J+1) のエネルギー パターンに従います。量子力学的には、球体の集団回転は不可能であるため、これはこれらの原子核の形状が非球体であることを意味していました。原理的には、これらの回転状態は、球状ポテンシャルの単一粒子状態からなる基底における粒子正孔励起のコヒーレントな重ね合わせとして記述できます。しかし、実際には、価粒子の数が多いため、この方法でこれらの状態を記述することは困難です。この困難さは、計算能力が極めて初歩的だった 1950 年代にはさらに顕著でした。これらの理由から、オーゲ・ボーア、ベン・モッテルソン、スヴェン・イェスタ・ニルソンは、ポテンシャルを楕円形に変形したモデルを構築しました。このタイプの最初の成功したモデルは、現在ニルソンモデルとして知られているものです。これは本質的には調和振動子ポテンシャルを使用する原子殻モデルですが、異方性が加えられているため、3つの直交軸に沿った振動子周波数はすべて同じではありません。通常、形状は長楕円体で、対称軸はzとされます。

対称軸がz軸である軸対称形状の場合、ハミルトニアンは

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}m\omega _{z}^{2}z^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega _{\perp }^{2}(x^{2}+y^{2})-c_{1}\ell \cdot s-c_{2}(\ell ^{2}-\langle \ell ^{2}\rangle _{N}).}$

ここで、m は核子の質量、N は球面基底における調和振動子量子の総数、は軌道角運動量演算子、はその平方（固有値）、は N 殻上の の平均値、s は固有スピンです。 ${\displaystyle \ell}$${\displaystyle \ell^{2}}$${\displaystyle \ell (\ell +1)}$${\displaystyle \langle \ell ^{2}\rangle _{N}=(1/2)N(N+3)}$${\displaystyle \ell^{2}}$

ポテンシャルの異方性は、 zに沿った等ポテンシャルの長さが、比率で横軸上の長さよりも大きくなるようなものである。これは通常、変形パラメータ δ で表現されるため、ポテンシャルの調和振動子部分は、球対称の調和振動子と δ に比例する項の合計として記述できます。δ の値が正の場合、アメリカンフットボールのように長楕円形の変形を示します。基底状態のほとんどの原子核は平衡形状を持ち、δ は 0 から 0.2 の範囲ですが、超変形状態では(軸比 2 対 1) になります。 ${\displaystyle \omega _{\perp }/\omega _{z}}$${\displaystyle \delta \approx 0.5}$

変形パラメータの数学的詳細は次のとおりです。原子核を非圧縮性流体とする核液滴モデルの成功を考慮すると、調和振動子の周波数は、等電位面の体積を保存しながら変形しても が一定になるように制約されます。観測された核物質の密度を再現するには が必要です。ここで、Aは質量数です。δ と異方性の関係は であり、δ と軸比の関係は です。 ${\displaystyle \omega _{z}\omega _{\perp }^{2}=\omega _{0}^{3}}$${\displaystyle \hbar \omega _{0}\approx (42\ {\text{MeV}})A^{-1/3}}$${\displaystyle (\omega _{\perp }/\omega _{z})^{2}=(1+{\frac {2}{3}}\delta )/(1-{\frac {4} {3}}\デルタ )}$${\displaystyle R=\omega _{\perp }/\omega _{z}}$${\displaystyle \delta =(3/2)(R^{2}-1)/(2R^{2}+1)}$

ハミルトニアンの残りの 2 つの項は変形に関係せず、球殻モデルにも存在します。スピン軌道項は、強い核力のスピン軌道依存性を表します。これは、特殊相対論的なスピン軌道分裂よりもはるかに大きく、符号が逆です。この項の目的は、核ポテンシャルの平坦なプロファイルを半径の関数として模擬することです。核波動関数の場合 (原子波動関数とは異なり)、角運動量が大きい状態では、確率密度がより大きな半径に集中します。この項は、主要な殻が全体として上または下にシフトするのを防ぎます。2 つの調整可能な定数は、慣例的におよび としてパラメータ化されます。重い核の κ と μ の一般的な値は、0.06 と 0.5 です。このパラメータ化により、 はすべての計算を通じて単純なスケーリング係数として使用されます。 ${\displaystyle \ell^{2}}$${\displaystyle -\langle \ell ^{2}\rangle _{N}}$${\displaystyle c_{1}=2\kappa \hbar \omega _{0}}$${\displaystyle c_{2}=\mu \kappa \hbar \omega _{0}}$${\displaystyle \hbar \omega _{0}}$

1950 年代の計算リソースを使用して計算を簡単にするために、ニルソンは球状ハミルトニアンの固有状態からなる基底を使用しました。ニルソンの量子数は です。球状ハミルトニアンの差は に比例し、この基底では計算しやすい行列要素があります。これらは異なる N 殻を結合します。変形ハミルトニアンの固有状態は、良好なパリティ (偶数または奇数の N に対応) と、対称軸に沿った全角運動量の投影である Ω を持ちます。クランキング項がない場合 (以下を参照)、時間反転対称性により Ω の反対符号の状態が縮退するため、計算では Ω の正の値のみを考慮する必要があります。 ${\displaystyle \{N,\ell ,m_{\ell },m_{s}\}}$${\displaystyle r^{2}Y_{20}\delta }$

奇数のよく変形した原子核では、単一粒子レベルはフェルミレベルまで満たされ、奇数粒子の Ω とパリティが基底状態のスピンおよびパリティを与えます。

ポテンシャルは球対称ではないため、単一粒子状態は角運動量 J が良好な状態ではありません。ただし、「クランキング」項として知られるラグランジュ乗数をハミルトニアンに追加できます。通常、角周波数ベクトル ω は対称軸に垂直になるように取られますが、傾斜軸クランキングも考慮されます。単一粒子状態をフェルミ レベルまで満たすと、クランキング軸に沿った予想される角運動量がラグランジュ乗数によって設定された目的の値を持つ状態が生成されます。 ${\displaystyle -\omega \cdot J}$${\displaystyle \langle J_{x}\rangle }$

多くの場合、変形の関数として全エネルギーを計算したい場合があります。この関数の最小値は、予測される平衡形状です。単一粒子のエネルギーを追加しても、この目的には適していません。これは、運動項とポテンシャル項が 2 倍不均衡であるためと、エネルギーの小さな誤差が合計に蓄積されるためです。このため、このような合計は通常、Strutinsky によって導入された手順を使用して再正規化されます。

単一粒子レベルは、変形の関数として「スパゲッティ プロット」で表示できます。変形がゼロのときのエネルギー レベル間の大きなギャップは、殻が閉じる粒子数、つまり従来の「マジック ナンバー」を示します。変形がゼロまたは非ゼロのときのこのようなギャップは、フェルミ レベルがその高さにあるときに、核が液滴モデルに対して安定していることを示します。

• オープンソースソフトウェアの実装

• ニルソン、SG「強く変形した核における個々の核子の結合状態」、博士論文、1955年
• Olivius, P.、「核クランキングモデルの傾斜軸回転と代替平均場ポテンシャルへの拡張」、博士論文、ルンド大学、2004 年、http://www.matfys.lth.se/staff/Peter.Olivius/thesis.pdf — モデルの最新の実装について説明しています。
• Strutinsky, Nucl. Phys. A122 (1968) 1 -- Strutinsky 法に関するオリジナル論文
• Salamon と Kruppa、「Strutinsky 法における曲率補正」、http://arxiv.org/abs/1004.0079 — Strutinsky 法のオープン アクセスの説明
• 著者不明、「付録 核構造」には、陽子殻と中性子殻の両方のニルソン図の完全な配列と、さまざまな変形における単純な調和振動子核の同等の図が含まれています。https://application.wiley-vch.de/books/info/0-471-35633-6/toi99/www/struct/struct.pdf ***