半経験的質量式

用語${\displaystyle a_{\text{V}}A}$これは体積項として知られています。原子核の体積はAに比例するため、この項は体積に比例し、そのためこの名前が付けられています。

この用語の根拠は強い核力です。強い力は陽子と中性子の両方に影響を与え、予想通り、この用語はZに依存しません。A粒子から取り出せるペアの数は${\displaystyle A(A-1)/2}$に比例する項が期待されるかもしれない${\displaystyle A^{2}}$しかし、強い力の作用範囲は非常に限られており、ある核子は最も近い隣接核子と次に近い隣接核子としか強く相互作用しない。したがって、実際に相互作用する粒子のペアの数は、おおよそAに比例し、体積項の形が決まる。

係数${\displaystyle a_{\text{V}}}$は、核子が隣接する核子に対して持つ結合エネルギーよりも小さい（${\displaystyle E_{\text{b}}}$これは、原子核内の核子の数が多いほど、パウリの排他原理により、その運動エネルギーが大きくなるためです。原子核をフェルミ球として扱うと、 ${\displaystyle A}$陽子と中性子の数が等しい核子の場合、全運動エネルギーは${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}A\varepsilon _{\text{F}}}$、 と${\displaystyle \varepsilon _{\text{F}}}$フェルミエネルギーは38 MeVと推定される。したがって、期待値は ${\displaystyle a_{\text{V}}}$このモデルでは${\displaystyle E_{\text{b}}-{\tfrac {3}{5}}\varepsilon _{\text{F}}\sim 17~\mathrm {MeV} ,}$測定値からそれほど遠くない。

用語${\displaystyle a_{\text{S}}A^{2/3}}$これは表面項として知られています。この項も強い力に基づいており、体積項に対する補正項です。

体積項は、各核子がAの値によらず一定数の核子と相互作用することを示唆している。これは原子核内部の核子についてはほぼ正しいが、原子核表面の核子は最近接核子の数が少ないため、この補正が必要となる。これは表面張力項と考えることもでき、実際、同様のメカニズムが液体の表面張力を生み出す。

原子核の体積がAに比例する場合、半径は に比例するはずです。${\displaystyle A^{1/3}}$そして表面積は${\displaystyle A^{2/3}}$これは、表面項がに比例する理由を説明する。${\displaystyle A^{2/3}}$また、以下のことも推測できる。${\displaystyle a_{\text{S}}}$同様の桁数を持つべきである${\displaystyle a_{\text{V}}}$。

用語${\displaystyle a_{\text{C}}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}}}$または${\displaystyle a_{\text{C}}{\frac {Z^{2}}{A^{1/3}}}}$これはクーロン項または静電項として知られています。

この用語の根拠は、陽子間の静電反発力である。非常に大まかな近似では、原子核は均一な電荷密度の球体とみなすことができる。このような電荷分布のポテンシャルエネルギーは、次のように表される。

${\displaystyle E={\frac {3}{5}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q^{2}}{R}},}$

ここで、 Qは総電荷、Rは球の半径です。${\displaystyle a_{\text{C}}}$この式を使用してポテンシャルエネルギーを計算すると、経験的な核半径を使用して、おおよそ計算できます。${\displaystyle R\approx r_{0}A^{\frac {1}{3}}}$また、Q = Ze である。ただし、静電反発は複数の陽子に対してのみ存在するため、${\displaystyle Z^{2}}$になる${\displaystyle Z(Z-1)}$:

${\displaystyle E={\frac {3}{5}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q^{2}}{R}}={\frac {3}{5}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {(Ze)^{2}}{r_{0}A^{1/3}}}={\frac {3e^{2}Z^{2}}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}A^{1/3}}}\approx {\frac {3e^{2}Z(Z-1)}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}A^{1/3}}}=a_{\text{C}}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}},}$

ここで静電クーロン定数は${\displaystyle a_{\text{C}}}$は

${\displaystyle a_{\text{C}}={\frac {3e^{2}}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}.}$

微細構造定数を用いると、の値を書き換えることができる。${\displaystyle a_{\text{C}}}$として

${\displaystyle a_{\text{C}}={\frac {3}{5}}{\frac {\hbar c\alpha }{r_{0}}}={\frac {3}{5}}{\frac {R_{\text{P}}}{r_{0}}}\alpha m_{\text{p}}c^{2},}$

どこ${\displaystyle \alpha }$は微細構造定数であり、${\displaystyle r_{0}A^{1/3}}$は原子核の半径であり、${\displaystyle r_{0}}$約1.25フェムトメートルである。 ${\displaystyle R_{\text{P}}}$陽子のコンプトン波長は、${\displaystyle m_{\text{p}}}$は陽子の質量です。これにより、${\displaystyle a_{\text{C}}}$理論上の近似値は0.691 MeVで、測定値とそれほどかけ離れていない。 

用語${\displaystyle a_{\text{A}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}}$これは非対称項（またはパウリ項）として知られています。

この用語の理論的根拠はより複雑です。パウリの排他原理によれば、原子内では2つの同一のフェルミオンが全く同じ量子状態を占めることはできません。特定のエネルギー準位において、粒子が取り得る量子状態は有限個しかありません。原子核においては、粒子が「追加」されるにつれて、これらの粒子はより高いエネルギー準位を占める必要があり、その結果、原子核の全エネルギーが増加し（結合エネルギーは減少します）。この効果は、重力や電磁力などの基本的な力に基づくものではなく、パウリの排他原理のみに基づくものであることに注意してください。

陽子と中性子は異なる種類の粒子であるため、それぞれ異なる量子状態をとります。つまり、陽子と中性子それぞれに、2つの異なる「状態のプール」が存在すると考えることができます。例えば、原子核内に陽子よりも中性子が著しく多い場合、一部の中性子は陽子プールで利用可能な状態よりも高いエネルギーを持つことになります。もし中性子プールから陽子プールへ粒子を移動させる、つまり一部の中性子を陽子に変えることができれば、エネルギーは大幅に低下します。陽子と中性子の数の不均衡によって、核子の数に対してエネルギーが本来必要な値よりも高くなってしまうのです。これが非対称性項の根拠です。 

非対称項の実際の形式は、原子核を陽子と中性子のフェルミ球としてモデル化することによって再び導出できます。その全運動エネルギーは

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {3}{5}}(Z\varepsilon _{\text{F,p}}+N\varepsilon _{\text{F,n}}),}$

どこ${\displaystyle \varepsilon _{\text{F,p}}}$そして${\displaystyle \varepsilon _{\text{F,n}}}$これらは陽子と中性子のフェルミエネルギーです。これらは${\displaystyle Z^{2/3}}$そして${\displaystyle N^{2/3}}$それぞれ、

${\displaystyle E_{\text{k}}=C(Z^{5/3}+N^{5/3})}$ある定数Cに対して。

差異の拡大における主要な用語${\displaystyle N-Z}$すると

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {C}{2^{2/3}}}\left(A^{5/3}+{\frac {5}{9}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A^{1/3}}}\right)+O{\big (}(N-Z)^{4}{\big )}.}$

展開のゼロ次では、運動エネルギーは全体のフェルミエネルギーに等しい。${\displaystyle \varepsilon _{\text{F}}\equiv \varepsilon _{\text{F,p}}=\varepsilon _{\text{F,n}}}$を掛ける${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}A}$こうして、

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {3}{5}}\varepsilon _{\text{F}}A+{\frac {1}{3}}\varepsilon _{\text{F}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}+O{\big (}(N-Z)^{4}{\big )}.}$

第1項は半経験的質量公式の体積項に寄与し、第2項は非対称項のマイナス項です（運動エネルギーは負の符号で全結合エネルギーに寄与することに注意してください）。

${\displaystyle \varepsilon _{\text{F}}}$は 38 MeVなので、計算すると${\displaystyle a_{\text{A}}}$上記の式から得られる値は、測定値の半分に過ぎません。このずれは、私たちのモデルが正確ではないことに起因します。実際には、核子は互いに相互作用しており、原子核全体に均等に分布しているわけではありません。例えば、殻モデルでは、波動関数が重なり合う陽子と中性子の間には、より強い相互作用とより強い結合エネルギーが生じます。このため、陽子と中性子が同じ量子数（アイソスピンを除く）を持つ方がエネルギー的に有利（つまりエネルギーが低い）となり、両者の非対称性によるエネルギーコストが増加します。

非対称性という用語を直感的に理解するには、次のようにすればよい。それは絶対差に依存するはずだ。${\displaystyle |N-Z|}$、そしてその形式${\displaystyle (N-Z)^{2}}$これは単純で微分可能であり、これはこの公式の特定の応用において重要である。さらに、ZとNの小さな差は高いエネルギーコストを伴わない。分母のAは、与えられた差が${\displaystyle |N-Z|}$Aの値が大きいほど、重要性は低くなります。

用語${\displaystyle \delta (A,Z)}$これはペアリング項（ペアワイズ相互作用とも呼ばれる）として知られています。この項はスピン結合の効果を捉えています。これは^{[ 7 ]で与えられます。}

${\displaystyle \delta (A,Z)={\begin{cases}+\delta _{0}&{\text{for even }}Z,N~({\text{even }}A),\\0&{\text{for odd }}A,\\-\delta _{0}&{\text{for odd }}Z,N~({\text{even }}A),\end{cases}}}$

どこ${\displaystyle \delta _{0}}$は経験的に約 1000 keV の値を持ち、質量数A とともに徐々に減少することがわかっています。奇奇核は、中性子を陽子に、またはその逆に変えて、隣接する偶偶核にベータ崩壊する傾向があります。これらのペアは波動関数が重なり合い、他のどの構成よりも強い結合で非常に近くに存在します。 ^{[ 7 ]}ペアリング項を結合エネルギー方程式に代入すると、偶数Z、Nの場合、ペアリング項は結合エネルギーを追加し、奇数 Z、N の場合、ペアリング項は結合エネルギーを取り除きます。 

質量数への依存性は一般的に次のようにパラメータ化される。

${\displaystyle \delta _{0}=a_{\text{P}}A^{k_{\text{P}}}.}$

指数kPの値は_、実験的な結合エネルギーデータから決定されます。過去にはその値はしばしば-3/4と仮定されていましたが、最近の実験データによると、-1/2の方がより妥当な値である ことが示されています。 

${\displaystyle \delta _{0}=a_{\text{P}}A^{-1/2}}$または${\displaystyle \delta _{0}=a_{\text{P}}A^{-3/4}.}$

パウリの排他原理により、スピンアップの陽子の数とスピンダウンの陽子の数が等しい場合、原子核のエネルギーは低くなります。これは中性子についても同様です。陽子と中性子の両方がスピンアップ粒子とスピンダウン粒子を同数持つことができるのは、原子番号Zと原子番号Nがともに偶数の場合のみです。これは非対称項と同様の効果です。

その要因${\displaystyle A^{k_{\text{P}}}}$理論的には簡単に説明できない。上で使用したフェルミボール計算は、液滴モデルに基づいているが相互作用を無視しており、${\displaystyle A^{-1}}$非対称項のように、依存性があります。これは、大きな原子核の場合、実際の効果は、そのモデルで予測されるよりも大きくなることを意味します。これは、核子間の相互作用によって説明されるべきです。たとえば、殻モデルでは、同じ量子数（スピンを除く）を持つ 2 つの陽子は、完全に重なり合う波動関数を持ち、したがって、それらの間の強い相互作用が大きくなり、結合エネルギーも大きくなります。これにより、陽子が反対のスピンのペアを形成する方がエネルギー的に有利（つまり、エネルギーが低くなる）になります。中性子についても同様です。