非通信定理

物理学において、無通信定理または無信号原理は、量子情報理論の禁制定理であり、量子もつれ状態の測定中に、ある観測者が全体の状態のサブシステムを測定することによって、別の観測者に情報を伝達することはできないと述べています。この定理が重要である理由は、量子力学において、量子もつれとは、一見すると光よりも速い通信の可能性を示唆するような方法で、特定の広く離れたイベントを相関させることができる効果であるためです。無通信定理は、2人の観測者間でそのような情報の転送が不可能な条件を示しています。これらの結果は、 EPRパラドックスや、ベルの定理のテストで得られる局所的実在性の違反など、量子力学におけるいわゆるパラドックスを理解するために適用できます。これらの実験では、無通信定理は、局所的実在論の失敗が「遠隔での不気味な通信」と呼ばれる現象につながらないことを示しています (QM の完全性を前提として、アインシュタインが量子もつれを「遠隔での不気味な作用」を必要とすると分類したことと類似しています)。

非通信定理は、量子力学の文脈では、エンタングルメントの有無にかかわらず、慎重に準備された混合状態または純粋状態によって古典的な情報ビットを伝送することは不可能であると述べています。この定理は、クラウス行列が可換である場合に量子エンタングルメント状態を介した通信は不可能であるという十分な条件にすぎず、これはすべての通信に当てはまります。相対性理論と量子場の観点からは、光よりも速い通信や「瞬間的な」通信も許可されていません。^{[1] ：100} 十分な条件にすぎないため、通信が許可されない追加のケースが発生する可能性があり、古典的な情報よりも多くの情報をエンコードする量子チャネルを介して通信できるケースもあります。

通信に関しては、量子チャネルは常に共有量子状態によって古典的な情報を転送するために使用できます。^{[2] [3]} 2008 年にMatthew Hastings は、最小出力エントロピーがすべての量子チャネルに対して加算的ではないという反例を証明しました。したがって、 Peter Shorによる同等の結果により、^[4] Holevo 容量は加算的であるだけでなく、エントロピーのように超加算的であり、結果として、古典的な容量よりも多くの容量を転送できる量子チャネルが存在する可能性があります。^{[5] [6]}通常、全体的な通信は量子チャネルと非量子チャネルを介して同時に行われ、一般に時間の順序と因果関係に違反することはできません。

定理の基本的な仮定は、量子力学系がいくつかのエンタングルメント状態を持つ初期状態で準備され、この初期状態がヒルベルト空間 H内の混合状態または純粋状態として記述可能であるということです。一定の時間が経過すると、系は 2 つの部分に分割され、それぞれの部分にはいくつかの非エンタングルメント状態と量子エンタングルメント状態の半分が含まれます。2 つの部分は空間的に別個になり、AとB になります。これらは 2 人の別個の観測者、アリスとボブに送られ、2 人は系全体のうちの自分の部分 (つまり A と B) に対して自由に量子力学的測定を行うことができます。問題は、アリスが A に対して実行でき、ボブが B を観測することで検出できるアクションがあるかどうかです。定理は「いいえ」と答えます。

この定理の重要な前提は、アリスもボブも、いかなる形でも初期状態の準備に影響を与えることはできないということです。アリスが初期状態の準備に参加できるとしたら、アリスがメッセージをエンコードするのは非常に簡単です。したがって、アリスもボブも初期状態の準備には参加しません。この定理では、初期状態が何らかの形で「ランダム」または「バランスが取れている」または「均一」である必要はありません。実際、初期状態を準備する第三者は、アリスとボブが受け取るメッセージを簡単にエンコードできます。簡単に言えば、この定理は、何らかの方法で準備された初期状態が与えられた場合、アリスがボブに検出されるようなアクションは実行できないと述べています。

証明は、ヒルベルト空間H全体を 2 つの部分H _AとH _Bに分割して、アリスとボブがアクセスできる部分空間を定義することによって進められます。システム全体の状態は、密度行列σ によって記述されると想定されています。密度行列は量子力学における純粋状態と混合状態の両方を記述するのに十分であるため、これは妥当な仮定であると思われます。定理のもう 1 つの重要な部分は、一般化された射影演算子 P を状態 σ に適用することによって測定が行われることです。射影演算子は量子測定の適切な数学的記述を与えるため、これも妥当です 。アリスによる測定の後、システム全体の状態は状態P (σ) に崩壊したと言われます。

定理の目的は、ボブが測定前の状態 σ と測定後の状態P (σ)をまったく区別できないことを証明することです。これは、σ のトレースとP (σ)のトレースを比較することで数学的に達成されます。トレースはサブスペースH _A上で取得されます。トレースはサブスペース上でのみ行われるため、技術的には部分トレースと呼ばれます。このステップの鍵となるのは、(部分) トレースがボブの観点からシステムを適切に要約しているという仮定です。つまり、ボブがアクセスできる、またはアクセスする可能性のある、測定できる、または検出できるものはすべて、システムσ のH _A上の部分トレースによって完全に記述されます。これも標準的な量子力学の一部であるため、合理的な仮定です。アリスが測定を実行してもこのトレースが変わらないという事実は、無通信定理の証明の結論です。

この定理の証明は、2人の観測者アリスとボブが共通の二部系に対して局所観測を行うベルテストの設定でよく示され、量子力学の統計的機構、すなわち密度状態 と量子演算が使用される。^{[1] [7] [8]}

アリスとボブは、基礎となるヒルベルト空間が $${\displaystyle H=H_{A}\otimes H_{B}.}$$

また、収束の問題を避けるため、すべてが有限次元であると仮定します。複合システムの状態は、H上の密度演算子によって与えられます。H上の任意の密度演算子σ は、次の形式の和です。 ここで、T _iおよび S _{i は}、それぞれH _AおよびH _B上の演算子です。以下では、T _iおよび S _{i が} 状態射影演算子であると仮定する必要はありません。つまり、必ずしも非負である必要はなく、1 のトレースを持つ必要もありません。つまり、 σ は、密度行列の定義よりもいくらか広い定義を持つことができます。その場合でも定理は有効です。定理は分離可能な状態に対して自明に成立することに注意してください。共有状態 σ が分離可能であれば、アリスによるローカル操作によってボブのシステムがそのまま残ることは明らかです。したがって、定理のポイントは、共有エンタングルメント状態を介して通信を行うことはできないということです。 $${\displaystyle \sigma =\sum _{i}T_{i}\otimes S_{i}}$$

アリスはサブシステム上で局所的な測定を行う。一般的に、これはシステム状態に対する次のような量子操作で記述される。 ここでV _kはクラウス行列と 呼ばれ、$${\displaystyle P(\sigma )=\sum _{k}(V_{k}\otimes I_{H_{B}})^{*}\ \sigma \ (V_{k}\otimes I_{H_{B}}),}$$$${\displaystyle \sum _{k}V_{k}V_{k}^{*}=I_{H_{A}}.}$$

この式の 項は 、アリスの測定装置がボブのサブシステムと相互作用しないことを意味します。 $${\displaystyle I_{H_{B}}}$$$${\displaystyle (V_{k}\otimes I_{H_{B}})}$$

結合されたシステムが状態 σ で準備され、議論の目的上、非相対論的な状況を想定すると、アリスが測定を実行した直後 (時間遅延なし)、ボブのシステムの相対的な状態は、アリスのシステムに関する全体状態の部分トレースで与えられます。記号で表すと、アリスの操作後のボブのシステムの相対的な状態は、 アリスのシステムに関する部分トレース マッピングです 。$${\displaystyle \operatorname {tr} _{H_{A}}(P(\sigma ))}$$${\displaystyle \operatorname {tr} _{H_{A}}}$

この状態を直接計算することができます: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} _{H_{A}}(P(\sigma ))&=\operatorname {tr} _{H_{A}}\left(\sum _{k}(V_{k}\otimes I_{H_{B}})^{*}\sigma (V_{k}\otimes I_{H_{B}})\right)\\&=\operatorname {tr} _{H_{A}}\left(\sum _{k}\sum _{i}V_{k}^{*}T_{i}V_{k}\otimes S_{i}\right)\\&=\sum _{i}\sum _{k}\operatorname {tr} (V_{k}^{*}T_{i}V_{k})S_{i}\\&=\sum _{i}\sum _{k}\operatorname {tr} (T_{i}V_{k}V_{k}^{*})S_{i}\\&=\sum _{i}\operatorname {tr} \left(T_{i}\sum _{k}V_{k}V_{k}^{*}\right)S_{i}\\&=\sum _{i}\operatorname {tr} (T_{i})S_{i}\\&=\operatorname {tr} _{H_{A}}(\sigma ).\end{aligned}}}$$

このことから、統計的には、ボブはアリスが行ったこととランダムな測定（あるいはアリスが何かを行ったかどうか）の違いを区別できないと主張されます。

• 密度演算子がAとBの間の非局所的相互作用の影響下で進化することを許す場合、適切な交換関係が仮定されない限り、一般に証明の計算は成立しなくなる。^[9]${\displaystyle P(\sigma )}$
• したがって、無通信定理は、共有エンタングルメントだけではいかなる情報も送信できないことを示しています。これを、古典的な情報チャネルでは量子情報を送信できないとする無テレポーテーション定理と比較してください。(送信とは、完全な忠実度での送信を意味します。) ただし、量子テレポーテーション方式では、どちらか一方だけでは不可能なことを実現するために、両方のリソースを活用します。
• 非通信定理は、非複製定理を意味し、これは量子状態を（完全に）複製することはできないというものです。つまり、複製は古典情報の通信が発生するための十分な条件です。これを理解するために、量子状態を複製できると仮定します。最大限にエンタングルされた ベル状態の一部がアリスとボブに配布されていると仮定します。アリスは、次の方法でボブにビットを送信できます。アリスが「0」を送信したい場合、 z方向の電子のスピンを測定し、ボブの状態を または に縮小します。アリスは「1」を送信する場合、自分の量子ビットに何も行いません。ボブは自分の電子状態のコピーを多数作成し、各コピーのz方向のスピンを測定します。ボブは、すべての測定で同じ結果が生成された場合、アリスが「0」を送信したことを認識します。そうでない場合、測定では結果がまたはとなり、確率は同じです。これにより、アリスとボブは古典ビットを相互に通信できます（空間的な分離を越えて通信する場合もあり、因果律に違反します）。${\displaystyle |z+\rangle _{B}}$${\displaystyle |z-\rangle _{B}}$${\displaystyle |z+\rangle _{B}}$${\displaystyle |z-\rangle _{B}}$
• この記事で議論されている無通信定理のバージョンは、アリスとボブが共有する量子システムが複合システムであると仮定しています。つまり、その基礎となるヒルベルト空間はテンソル積であり、その最初の因子はアリスが相互作用できるシステムの部分を記述し、2番目の因子はボブが相互作用できるシステムの部分を記述します。量子場の理論では、この仮定は、アリスとボブが空間的に分離されているという仮定に置き換えることができます。^[10]この無通信定理の代替バージョンは、量子場の理論のルールに従うプロセスを使用して光より速い通信を実現できないことを示しています。
• 非通信定理の証明は、ボブのシステムのすべての測定可能な特性は、その縮約密度行列から計算できると仮定しており、これはさまざまな測定を行う確率を計算するためのボルンの規則を考えると正しい。しかし、ボルンの規則とのこの同等性は、本質的には逆方向にも導くことができ、空間的に分離されたイベントは互いに影響を及ぼして因果関係に違反することはできないという仮定からボルンの規則が導かれることを示すことが可能である。^[11]

• 非放送定理
• クローン不可定理
• 削除不可能定理
• 非隠蔽定理
• テレポーテーションの否定定理

• フロリグ、マーティン; サマーズ、スティーブン J. (1997)。「観測可能な代数の統計的独立性について」。Journal of Mathematical Physics。38 ( 3)。AIP Publishing: 1318–1328。Bibcode : 1997JMP ....38.1318F。doi :10.1063/1.531812。ISSN 0022-2488  。